Дирихлет энергиясы - Dirichlet energy - Wikipedia

Жылы математика, Дирихлет энергиясы дегеніміз - бұл қалай айнымалы а функциясы болып табылады. Неғұрлым абстрактілі, бұл а квадраттық функционалды үстінде Соболев кеңістігі H1. Дирихле энергиясы тығыз байланысты Лаплас теңдеуі және неміс математигінің есімімен аталады Питер Густав Лежен Дирихле.

Анықтама

Берілген ашық жиынтық Ω ⊆ Rn және функция сен : Ω → R The Дирихлет энергиясы функциясысен болып табылады нақты нөмір

қайда сен : Ω → Rn дегенді білдіреді градиент векторлық өріс функциясысен.

Қасиеттері мен қосымшалары

Ол теріс емес шаманың интегралы болғандықтан, Дирихле энергиясы өзі теріс емес, яғни. E[сен] ≥ 0 әр функция үшінсен.

Лаплас теңдеуін шешу барлығына , сәйкесінше шекаралық шарттар, шешуге тең вариациялық есеп функцияны табусен шекаралық шарттарды қанағаттандыратын және минималды Дирихле энергиясына ие.

Мұндай шешім а деп аталады гармоникалық функция және мұндай шешімдер зерттеу тақырыбы болып табылады потенциалдар теориясы.

Неғұрлым жалпы жағдайда, қайда Ω ⊆ Rn кез келгенімен ауыстырылады Риманн коллекторы М, және сен : Ω → R ауыстырылады сен : М → Φ басқа (әр түрлі) Риман коллекторы үшін Φ, Дирихле энергиясы арқылы беріледі сигма моделі. Шешімдері Лагранж теңдеулері сигма моделі үшін Лагранж бұл функциялар сен бұл Дирихлет энергиясын азайтуға / арттыруға мүмкіндік береді. Осы жалпы істі нақты жағдайға дейін шектеу сен : Ω → R тек Лагранж теңдеулерін (немесе баламалы түрде, Гамильтон-Якоби теңдеулері ) экстремалды шешімдерді алудың негізгі құралдарымен қамтамасыз етіңіз.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  • Лоуренс С. Эванс (1998). Жартылай дифференциалдық теңдеулер. Американдық математикалық қоғам. ISBN  978-0821807729.