Шектелген орташа тербеліс - Bounded mean oscillation

Жылы гармоникалық талдау жылы математика, функциясы шектелген орташа тербеліс, сондай-ақ а BMO функциясы, Бұл нақты бағаланатын функция оның орташа тербелісі шектелген (ақырлы). Функциясының кеңістігі шектелген орташа тербеліс (БМО), Бұл кеңістік бұл, белгілі бір мағынада, теориясында бірдей рөл атқарады Қатты кеңістіктер Hб бұл кеңістік L туралы мәні бойынша шектелген функциялар теориясында ойнайды Lб- кеңістіктер: ол сондай-ақ аталады Джон-Ниренберг кеңістігі, кейін Фриц Джон және Луи Ниренберг оны кім алғаш енгізді және зерттеді.

Тарихи нота

Сәйкес Ниренберг (1985), б. 703 және б. 707),[1] шектелген орташа тербеліс функциясының кеңістігі енгізілді Джон (1961, 410–411 бб.) оқуына байланысты кескіндер а шектелген жиынтық Ω тиесілі Rn ішіне Rn және туындаған сәйкес мәселелер серпімділік теориясы, дәл тұжырымдамасынан серпімді штамм: негізгі жазба келесі құжатта енгізілген Джон және Ниренберг (1961),[2] мұнда осы функция кеңістігінің бірнеше қасиеттері дәлелденді. Теорияны дамытудағы келесі маңызды қадам болды Чарльз Фефферман[3] туралы екі жақтылық арасында БМО және Таза кеңістік H1, көрсетілген қағазда Fefferman & Stein 1972 ж: жаңа әдістерді енгізе отырып, теорияның әрі қарай дамуын бастаған осы нәтиженің конструктивті дәлелі келтірілген Акихито Учияма.[4]

Анықтама

Анықтама 1. The тербелісті білдіреді а жергілікті интеграцияланатын функция сен астам гиперкуб[5] Q жылы Rn келесі мән ретінде анықталады ажырамас:

қайда

  • |Q| болып табылады көлем туралы Q, яғни оның Лебег шарасы
  • сенQ орташа мәні болып табылады сен текшеде Q, яғни

Анықтама 2. A BMO функциясы жергілікті интеграцияланатын функция болып табылады сен оның орташа тербелісі супремум, бәрін жинады текшелер Q құрамында Rn, ақырлы.

1-ескерту. Орташа тербелістің супремумы деп аталады BMO нормасы туралы сен.[6] және || арқылы белгіленедісен||БМО (және кейбір жағдайларда оны || деп те белгілейдісен||).

2-ескерту. Пайдалану текшелер Q жылы Rn ретінде интеграция домендер онда тербелісті білдіреді есептеледі, міндетті емес: Вигеринк (2001) қолданады шарлар орнына және, атап өткендей Штайн (1993 ж.), б. 140), мұнымен тамаша эквивалентті анықтама функциялары шектелген орташа тербеліс пайда болады.

Ескерту

  • Берілген домендегі BMO функцияларының жиынтығы үшін қолданылатын жалпыға бірдей қабылданған белгі Ω болып табылады БМО(Ω): қашан Ω = Rn, БМО(Rn) жай символы болып табылады БМО.
  • The BMO нормасы берілген BMO функциясы сен || арқылы белгіленедісен||БМО: кейбір жағдайларда оны || деп те белгілейдісен||.

Негізгі қасиеттері

BMO функциялары жергілікті б- интегралды

BMO функциялары жергілікті Lб егер 0 < б <∞, бірақ олармен шектелудің қажеті жоқ. Шындығында, Джон-Ниренберг теңсіздігін пайдаланып, біз мұны дәлелдей аламыз

.

БМО - бұл Банах кеңістігі

Тұрақты функциялар орташа тербелістің нөлдік мәні бар, сондықтан функциялар тұрақты үшін ерекшеленеді c > 0 бірдей айырмашылық нөлге тең болмаса да, бірдей BMO норма шамасын бөлісе алады барлық жерде дерлік. Демек, функция ||сен||БМО дұрыс норма болып табылады кеңістік BMO функциялары модуль кеңістігі тұрақты функциялар қарастырылатын доменде.

Көршілес кубтардың орташа мәні салыстырмалы

Атауынан көрініп тұрғандай, BMO-дағы функцияның орташа немесе орташа мәні оны позициясы мен масштабы бойынша бір-біріне жақын кубтармен есептеу кезінде өте тербелмейді. Дәл, егер Q және R болып табылады диадты текшелер олардың шекаралары жанасатын және бүйірлік ұзындығы Q жағының ұзындығының жартысынан кем емес R (және керісінше), содан кейін

қайда C > 0 - кейбір әмбебап тұрақты. Бұл қасиет, шын мәнінде, барабар f BMO-да болу, яғни, егер f | сияқты жергілікті интегралды функцияfRfQ| ≤ C барлық диадты текшелер үшін Q және R жоғарыда сипатталған мағынада және f диадикалық БМО-да болады (мұнда супремум тек диадты текшелерден алынады) Q), содан кейін f BMO-да.[7]

BMO - бұл вектордың екі векторлық кеңістігі H1

Феферман (1971) БМО кеңістігінің қосарланған екенін көрсетті H1, Харди кеңістігі б = 1.[8] Арасындағы жұптасу f ∈ H1 және ж ∈ BMO беріледі

дегенмен бұл интегралды анықтауда біраз мұқият болу керек, өйткені ол мүлдем сәйкес келмейді.

Джон-Ниренберг теңсіздігі

The Джон-Ниренберг теңсіздігі шекті орташа тербеліс функциясы оның орташа мәнінен белгілі бір шамада қаншалықты ауытқуы мүмкін екенін басқаратын бағалау болып табылады.

Мәлімдеме

Әрқайсысы үшін , тұрақтылар бар , кез келген текше үшін жылы ,

Керісінше, егер бұл теңсіздік бәріне бірдей әсер етсе текшелер тұрақты C орнына ||f||БМО, содан кейін f БМО-да норма ең көп дегенде тұрақты болады C.


Нәтижесі: БМО-ға дейінгі арақашықтық L

Джон-Ниренберг теңсіздігі іс жүзінде функцияның BMO нормасынан гөрі көбірек ақпарат бере алады. Жергілікті интеграцияланатын функция үшін f, рұқсат етіңіз A(f) шексіз болу A> 0 ол үшін

Джон-Ниренберг теңсіздігі осыны білдіреді A(f) ≤ C ||f||БМО кейбір әмбебап тұрақты үшін C. Үшін L функциясы, алайда, жоғарыдағы теңсіздік бәріне бірдей әсер етеді A > 0. Басқаша айтқанда, A(f) = 0 егер f L-да. Демек тұрақты A(f) бізге BMO-дағы функцияның ішкі кеңістіктен қаншалықты алыс екендігін өлшеу әдісін береді L. Бұл мәлімдемені нақтырақ жасауға болады:[9] тұрақты бар C, тек байланысты өлшем n, кез-келген функция үшін f ∈ BMO (Rn) келесі екі жақты теңсіздік орын алады

Жалпылау және кеңейту

BMOH және BMOA кеңістіктері

Қашан өлшем қоршаған кеңістіктің 1-і, BMO кеңістігін а деп қарастыруға болады сызықтық ішкі кеңістік туралы гармоникалық функциялар үстінде бірлік диск теориясында үлкен рөл атқарады Қатты кеңістіктер: пайдалану арқылы анықтама 2, BMO анықтауға болады (Т) кеңістік бірлік шеңбер кеңістігі ретінде функциялары f : ТR осындай

яғни оның тербелісті білдіреді I доғасының үстінде бірлік шеңбер[10] шектелген Мұнда бұрынғыдай fМен I доғасы бойынша f-тің орташа мәні.

Анықтама 3. Бойынша аналитикалық функция бірлік диск тиесілі дейді Гармоникалық BMO немесе BMOH кеңістігі егер ол болса ғана Пуассон интеграл БМО-ның (Т) функциясы. Сондықтан BMOH - бұл барлық функциялардың кеңістігі сен формамен:

нормамен жабдықталған:

BMOH-ге жататын аналитикалық функциялардың ішкі кеңістігі деп аталады БМО-ның аналитикалық кеңістігі немесе BMOA кеңістігі.

BMOA қосарланған кеңістік ретінде H1(Д.)

Чарльз Фефферман өзінің түпнұсқа жұмысында нақты БМО кеңістігі жоғарғы бағаланған Гармониялық Гарди кеңістігіне қосарланған екендігін дәлелдеді жартылай бос орын Rn × (0, ∞].[11] Комплексті және гармоникалық талдау теориясында бірлік дискіде оның нәтижесі келесідей көрсетілген.[12] Келіңіздер Hб(Д.) аналитикалық болу Таза кеңістік үстінде бірлік Диск. Үшін б = 1 біз анықтаймыз (H1) * BMOA-мен жұптастыру арқылы fH1(Д.) және ж Using қолдану арқылы BMOA сызықтық түрлендіру Тж

Назар аударыңыз, бірақ әрқашан шегі бар H1 f және функциясы Тж қос кеңістіктің элементі болып табылады (H1) *, өйткені түрлендіру болып табылады сызықтыққа қарсы, бізде изометриялық изоморфизм жоқ (H1) * және BMOA. Алайда, егер олар түрін қарастыратын болса, изометрияны алуға болады конъюгаталық BMOA функциясының кеңістігі.

Кеңістік VMO

Кеңістік VMO функцияларының жоғалу орта тербелісі бұл BMO-да шексіздікке жоғалып кететін үздіксіз функциялардың жабылуы. Мұны текшелердегі «орташа тербелісі» болатын функциялар кеңістігі ретінде де анықтауға болады Q шектелген ғана емес, текше радиусы бойынша біркелкі нөлге ұмтылады Q 0 немесе ∞-ге ұмтылады. VMO кеңістігі - бұл шексіздікте жоғалып кететін үздіксіз функциялар кеңістігінің, атап айтқанда Гардидің нақты бағаланған гармоникалық кеңістігінің біршама Hardy ғарыштық аналогы. H1 VMO қосарланған болып табылады.[13]

Гильберт түрлендіруге қатысы

Жергілікті интеграцияланатын функция f қосулы R егер ол жазылуы мүмкін болса ғана BMO болып табылады

қайда fменL, α тұрақты және H болып табылады Гильберт түрлендіру.

Содан кейін BMO нормасы шексізге тең барлық осындай өкілдіктердің үстінен.

Сол сияқты f VMO болып табылады, егер ол жоғарыда көрсетілген формада ұсынылған болса ғана fмен шектелген біркелкі үздіксіз функциялар R.[14]

БДО кеңістігі

Келіңіздер Δ жиынтығын белгілеңіз диадты текшелер жылы Rn. Кеңістік dyadic BMO, жазылған BMOг. - бұл BMO функцияларымен бірдей теңсіздікті қанағаттандыратын функциялар кеңістігі, тек супремум барлық диадты кубтардың үстінде болады. Бұл супремум кейде белгіленеді ||•||БМОг..

Бұл кеңістікте BMO бар. Атап айтқанда, функция журнал (x) χ[0,∞) бұл диадикалық BMO-да болатын, бірақ BMO-да жоқ функция. Алайда, егер функция f осындай ||f(•−х)||БМОг.C барлығына х жылы Rn кейбіреулер үшін C > 0, содан кейін үштен бірі f сонымен қатар BMO-да. BMO жағдайында Тn орнына Rn, функция f осындай ||f(•−х)||БМОг.C n + 1 сәйкес таңдалған х, содан кейін f сонымен қатар BMO-да. Бұл BMO дегенді білдіреді (Тn ) бұл dyadic BMO n + 1 аудармасының қиылысы. Х.1(Тn ) - бұл dyadic H-тің n + 1 аудармасының қосындысы1.

БДО-ға қарағанда диадикалық БМО әлдеқайда тар класс болғанымен, БМО-ға сәйкес келетін көптеген теоремаларды диадикалық БМО үшін дәлелдеу әлдеқайда қарапайым, ал кейбір жағдайларда арнайы Диадикалық жағдайда бірінші дәлелдеу арқылы БМО-ның бастапқы теоремаларын қалпына келтіруге болады.[15]

Мысалдар

BMO функцияларының мысалдары мыналарды қамтиды:

  • Барлық шектеулі (өлшенетін) функциялар. Егер f L-да, содан кейін ||f||БМО ≤ 2 || f ||:[16] дегенмен, келесі мысалда көрсетілгендей, керісінше емес.
  • Функциялар журналы (|P|) кез келген көпмүшелік үшін P бұл нөлге тең емес: атап айтқанда, бұл |P(х)| = |х|.[16]
  • Егер w болып табылады A салмағы, содан кейін тіркеу (w) BMO болып табылады. Керісінше, егер f ол BMO болып табылады eδf болып табылады A салмағы small> 0 үшін жеткілікті аз: бұл факт салдары болып табылады Джон-Ниренберг теңсіздігі.[17]

Ескертулер

  1. ^ Жиналған қағаздардан басқа Фриц Джон Шектелген орташа тербеліс функциялары теориясының жалпы анықтамасы, сонымен қатар көптеген (қысқа) тарихи жазбалармен бірге аталған кітап болып табылады. Штайн (1993 ж.), IV тарау).
  2. ^ Қағаз (Джон 1961 ) тек қағаздың алдында (Джон және Ниренберг 1961 ж 14-томда Таза және қолданбалы математика бойынша байланыс.
  3. ^ Элиас Стейн осы фактіні анықтағаны үшін тек Феферманға несие береді: қараңыз (Штейн 1993, б. 139)
  4. ^ Оның дәлелін қағаздан қараңыз Учияма 1982.
  5. ^ Қашан n = 3 немесе n = 2, Q сәйкесінше а текше немесе а шаршы, қашан n = 1 интеграциядағы домен а шектелген жабық аралық.
  6. ^ Бастап, көрсетілгендей »Негізгі қасиеттері «бөлімі, ол дәл a норма.
  7. ^ Джонс, Питер (1980). «BMO үшін кеңейту теоремалары». Индиана университетінің математика журналы. 29 (1): 41–66. дои:10.1512 / iumj.1980.29.29005.
  8. ^ Түпнұсқа қағазды қараңыз Fefferman & Stein (1972) немесе қағаз Учияма (1982) немесе кешенді монография туралы Штайн (1993 ж.), б. 142) дәлелдеу үшін.
  9. ^ Қағазды қараңыз Гарнетт және Джонс 1978 ж толығырақ.
  10. ^ Доға бірлік шеңбер Т деп анықтауға болады сурет а ақырғы аралық үстінде нақты сызық R астында үздіксіз функция кімдікі кодомейн болып табылады Т өзі: қарапайым, біршама аңғал анықтаманы жазба табуға болады «Доға (геометрия) ".
  11. ^ Қараңыз Феферман теоремасы бойынша бөлім осы жазбаның.
  12. ^ Мысалға қараңыз Гирела, 102-103 б.).
  13. ^ Анықтаманы қараңыз Штейн 1993, б. 180.
  14. ^ Гарнетт 2007
  15. ^ Сілтеме жасалған қағазды қараңыз Гарнетт және Джонс 1982 ж осы тақырыптарды жан-жақты дамыту үшін.
  16. ^ а б Анықтаманы қараңыз Штейн 1993, б. 140.
  17. ^ Анықтаманы қараңыз Штейн 1993, б. 197.

Әдебиеттер тізімі

Тарихи сілтемелер

Ғылыми сілтемелер