Бьорлинг проблемасы - Björling problem

Каталонның минималды беті. Оны циклоидтан симметриялы өтетін минималды бет деп анықтауға болады.

Жылы дифференциалды геометрия, Бьорлинг проблемасы а табу проблемасы болып табылады минималды беті белгіленген қисық арқылы белгіленген қалыпты (немесе тангенстік жазықтықтармен). Мәселені швед математигі қойды және шешті Эмануэль Габриэль Бьорлинг,[1] әрі қарай жетілдіре отырып Герман Шварц.[2]

Мәселені комплексті пайдаланып қисықтан бетті кеңейту арқылы шешуге болады аналитикалық жалғасы. Егер ℝ нақты аналитикалық қисық болып табылады3 аралықта анықталған Мен, бірге және векторлық өріс бойымен c осындай және , онда келесі бет минималды:

қайда , , және - бұл интервал қосылатын және қуат қатарының кеңеюі болатын жай байланысқан домен және конвергентті.[3]

Классикалық мысал Каталонның минималды беті, арқылы өтеді циклоид қисық. Әдісті a-ға қолдану жарты жартылай парабола өндіреді Хенеберг беті және шеңберге (қалыпты бұралған қалыпты өріспен) минимум Мобиус жолағы.[4]

Бірегей шешім әрқашан бар. Оны а ретінде қарастыруға болады Коши проблемасы минималды беттер үшін, егер геодезиялық, асимптоталық немесе қисықтық сызықтары белгілі болса, бетті табуға мүмкіндік береді. Атап айтқанда, егер қисық жазық және геодезиялық болса, онда қисық жазықтығы беттің симметрия жазықтығы болады.[5]

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Е.Г. Бьорлинг, Арх. Грюнерт, IV (1844) 290 бет
  2. ^ Х.А. Шварц, Джейн Рейн. Математика. 80 280-300 1875 ж
  3. ^ Кай-Винг саңырауқұлағы, изотропты қисықтар сияқты минималды беттер C3Байланысқан минималды беттер және Бьорлинг мәселесі. MIT бакалаврлық диссертациясы. 2004 ж http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-994-seminar-in-geometry-fall-2004/projects/main1.pdf
  4. ^ В.Х. Meeks III (1981). «Толық минималды беттердің жіктелуі R3 жалпы қисықтықтан үлкен ". Герцог Математика. Дж. 48 (3): 523–535. дои:10.1215 / S0012-7094-81-04829-8. МЫРЗА  0630583. Zbl  0472.53010.
  5. ^ Бьорлинг проблемасы. Математика энциклопедиясы. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Bj%C3%B6rling_problem&oldid=23196

Сыртқы кескін галереялары