Маңызды нүкте (математика) - Critical point (mathematics)

The абцисса («х-координаталар») қызыл шеңберлер стационар нүктелер; көк төртбұрыштар иілу нүктелері.

Маңызды мәселе тармағында қолданылатын кең термин математика.

Қарым-қатынас кезінде нақты айнымалының функциялары, а сыни нүкте функцияның анықталу облысындағы нүкте болып табылады ажыратылатын немесе туынды нөлге тең.[1] Қарым-қатынас кезінде күрделі айнымалылар, а сыни нүкте ұқсас, функция доменіндегі ол жоқ нүкте голоморфты немесе туынды нөлге тең.[2][3] Сол сияқты, а бірнеше нақты айнымалылардың функциясы, а сыни нүкте оның доменіндегі мәні болып табылады градиент анықталмаған немесе нөлге тең.[4]

Функцияның критикалық нүктедегі мәні а сыни құндылық.

Мұндай анықтама қолданылады сараланатын карталар арасында Rм және Rn, а сыни нүкте бола отырып, бұл жағдайда дәреже туралы Якоб матрицасы максималды емес. Ол әрі қарай ажыратылатын карталарға дейін созылады дифференциалданатын коллекторлар, өйткені Якоб матрицасының дәрежесі төмендейтін нүктелер. Бұл жағдайда сыни нүктелер де аталады бифуркация нүктелері.

Атап айтқанда, егер C Бұл жазықтық қисығы, анықталған жасырын теңдеу f(х,ж) = 0, проекцияның критикалық нүктелері х-қа параллель ж-аксис дегеніміз - жанама жанасатын нүктелер C параллель болып табылады ж-аксис, бұл нүктелер . Басқаша айтқанда, сыни нүктелер - бұл жасырын функция теоремасы қолданылмайды.

А ұғымы сыни нүкте математикалық сипаттамасын береді астрономиялық дейін түсіндірілмеген құбылыс Коперник. A стационарлық нүкте планетаның орбитасында - планетаның траекториясының нүктесі аспан сферасы, мұнда планетаның қозғалысы басқа бағытта қайта басталғанға дейін тоқтайтын сияқты. Бұл орбитаның проекциясының критикалық нүктесіне байланысты орын алады эклиптикалық шеңбер.

Бір айнымалы функцияның критикалық нүктесі

A сыни нүкте бір функцияның нақты айнымалы, f(х), мән болып табылады х0 ішінде домен туралы f ол жоқ жерде ажыратылатын немесе оның туынды 0 (f ′(х0) = 0).[1] A сыни құндылық астындағы сурет f маңызды сәт. Бұл ұғымдар. Арқылы бейнеленуі мүмкін график туралы f: критикалық нүктеде графиктің көлденеңі болады тангенс егер сіз мүлде тағайындай алсаңыз.

Байқаңыз, қалай дифференциалданатын функция, сыни нүкте сияқты стационарлық нүкте.

Ол графикте оңай бейнеленгенімен (бұл қисық), функцияның критикалық нүктесі деген ұғымды белгілі бір бағыттағы, критикалық нүкте ұғымымен шатастыруға болмайды. қисық (қараңыз төменде егжей-тегжейлі анықтама үшін). Егер ж(х,ж) ажыратылатын болып табылады функциясы екі айнымалы, содан кейін ж(х,ж) = 0 болып табылады жасырын теңдеу қисық. A сыни нүкте проекциясына параллель проекция үшін осындай қисықтың ж-аксис (карта (х, ж) → х), бұл қисықтың нүктесі . Бұл қисықтың жанамасы мен параллель екенін білдіреді ж-аксис, және бұл, ж бастап жасырын функцияны анықтамайды х дейін ж (қараңыз жасырын функция теоремасы ). Егер (х0, ж0) осындай маңызды нүкте х0 сәйкес келеді сыни құндылық. Мұндай сыни нүктені а деп те атайды бифуркация нүктесі, әдетте, қашан х өзгереді, бүйірінде қисықтың екі тармағы бар х0 ал екінші жағында нөл.

Осы анықтамалардан мыналар шығады: а дифференциалданатын функция f(х) маңызды сәті бар х0 сыни мәні бар ж0, егер және (х0, ж0) параллель проекциясы үшін оның графигінің критикалық нүктесі болып табылады х-аксис, бірдей критикалық мәні бар ж0. Егер f х-де дифференциалданбайды0 жанаманың у осіне параллель болуына байланысты, содан кейін х0 қайтадан сыни нүкте болып табылады f, бірақ қазір (x0, ж0) параллель проекция үшін оның графигінің критикалық нүктесі болып табылады ж-аксис.

Мысалы, сыни нүктелері бірлік шеңбер теңдеу х2 + ж2 - 1 = 0 - ге параллель проекция үшін (0, 1) және (0, -1) х-аксис, және (1, 0) және (-1, 0) -ге параллель бағыт үшін ж-аксис. Егер біреу жоғарғы жарты шеңберді функцияның графигі ретінде қарастырса , содан кейін х = 0 - туынды 0-ге тең болғандықтан 1 критикалық мәні бар критикалық нүкте, ал x = -1 және x = 1 туынды анықталмағандықтан, критикалық мәні 0 болатын критикалық нүктелер.

Мысалдар

  • Функция f(х) = х2 + 2х + 3 туындымен бірге барлық жерде ажыратылады f ′(х) = 2х + 2. Бұл функцияның −1 ерекше критикалық нүктесі бар, өйткені ол ерекше сан х0 2. ол үшінх0 + 2 = 0. Бұл нүкте a жаһандық минимум туралы f. Сәйкес критикалық мән f(−1) = 2. графигі f ойыс болып табылады парабола, критикалық нүкте - шыңның абциссасы, онда жанасатын сызық горизонталь орналасқан, ал критикалық шың - шыңның ординатасы және оны осы жанасу сызығы мен қиылысуымен бейнелеуге болады. ж-аксис.
  • Функция f(х) = х2/3 барлығы үшін анықталған х және дифференциалды х ≠ 0, туындымен f ′(х) = 2х−1/3/ 3. Бастап f х = 0 және болғанда дифференциалданбайды f '(x) ≠ 0 әйтпесе, бұл ерекше сыни нүкте. Функцияның графигі f бар түйін осы кезде тік жанамамен. Сәйкес критикалық мән f(0) = 0.
  • The абсолютті мән функциясы f (x) = | x | x = 0 критикалық нүктесінен басқа барлық жерде дифференциалданады, мұнда ғаламдық минимум мәні бар, критикалық мәні 0.
  • Функция f(х) = 1/х сыни нүктелері жоқ. X = 0 нүктесі критикалық нүкте болып табылмайды, себебі ол функцияның доменіне кірмейді.

Маңызды нүктелердің орналасуы

Бойынша Гаусс-Лукас теоремасы, көпмүшелік функцияның барлық критикалық нүктелері күрделі жазықтық ішінде дөңес корпус туралы тамырлар функциясы. Осылайша, тек нақты түбірлері бар көпмүшелік функция үшін барлық критикалық нүктелер нақты болып табылады және ең үлкен және ең кіші түбірлер арасында болады.

Сэндовтың болжамы егер функцияның барлық түбірлері бірлік диск күрделі жазықтықта, кез-келген берілген түбірден бірлік қашықтықта кем дегенде бір сыни нүкте болады.

Белгісіз қисықтың маңызды нүктелері

Зерттеуде маңызды ойлар маңызды рөл атқарады жазықтық қисықтары арқылы анықталады айқын емес теңдеулер, атап айтқанда эскиздер оларды және оларды анықтау топология. Бұл бөлімде қолданылатын сыни нүкте ұғымы алдыңғы бөлімнен өзгеше болып көрінуі мүмкін. Шын мәнінде бұл қарапайым жағдайға мамандандыру, бұл берілген критикалық нүкте туралы жалпы түсінік төменде.

Осылайша, біз қисықты қарастырамыз C айқын емес теңдеумен анықталады , қайда f Бұл дифференциалданатын функция екі айнымалы, әдетте a екі жақты көпмүшелік. Қисық нүктелері - нүктелері Евклидтік жазықтық кімдікі Декарттық координаттар теңдеуді қанағаттандыру Екі стандарт бар проекциялар және , арқылы анықталады және қисық сызықты картаға түсіреді координат осьтері. Олар деп аталады у осіне параллель проекция және х осіне параллель проекциясәйкесінше.

Нүктесі C болып табылады үшін маңызды , егер тангенс дейін C бар және параллель ж-аксис. Бұл жағдайда кескіндер арқылы критикалық нүктенің және жанаманың тең нүктесі х-аксис, деп аталады сыни құндылық. Осылайша, нүкте өте маңызды егер оның координаталары -ның шешімі болса теңдеулер жүйесі:

Бұл дегеніміз, бұл анықтама берілген сыни нүктенің жалпы анықтамасының ерекше жағдайы болып табылады төменде.

Сыни нүктесінің анықтамасы ұқсас. Егер C болып табылады функцияның графигі , содан кейін (х, ж) үшін өте маңызды егер және егер болса х болып табылады ж, және критикалық мәндер бірдей.

Кейбір авторлар анықтайды сыни нүктелер туралы C екеуі үшін де маңызды болып табылады немесе , бірақ олар тек тәуелді емес C, сонымен қатар координат осьтерін таңдау бойынша. Бұл авторларға байланысты, егер дара нүктелер сыни нүктелер ретінде қарастырылады. Шын мәнінде сингулярлық нүктелер - бұл қанағаттандыратын ұпайлар

,

және осылайша критикалық нүктелерді сипаттайтын теңдеулер жүйесінің шешімдері болып табылады. Осы неғұрлым жалпы анықтаманың көмегімен критикалық нүктелер дәл осы нүктелер жасырын функция теоремасы қолданылмайды.

Дискриминантты қолдану

Қисық болған кезде C алгебралық болып табылады, яғни ол екі мәнді көпмүшемен анықталады f, содан кейін дискриминантты сыни нүктелерді есептеудің пайдалы құралы болып табылады.

Мұнда біз тек проекцияны қарастырамыз ; Осыған ұқсас нәтижелер қолданылады алмасу арқылы х және ж.

Келіңіздерболуы дискриминантты туралы f in көпмүшесі ретінде қарастырылды ж ішінде көпмүшелер болатын коэффициенттермен х. Бұл дискриминант - көпмүшелік х критикалық мәндеріне ие оның тамыры арасында.

Дәлірек айтқанда, қарапайым тамыр немесе маңызды мәні болып табылады мұндай сәйкес критикалық нүкте сингулярлы емес, иілу нүктесі емес нүкте немесе х- координатасы асимптоталар параллель болатын ж-аксис және «шексіздікке» жанасады иілу нүктесі (асимптоталық инлексия).

Дискриминанттың бірнеше түбірі бірдей критикалық мәнге ие бірнеше критикалық нүктелерге немесе иілу асимптоталарына сәйкес келеді, немесе флексия нүктесі болып табылатын критикалық нүктеге немесе сингулярлық нүктеге сәйкес келеді.

Бірнеше айнымалылар

Үшін бірнеше нақты айнымалылардың функциясы, нүкте P (бұл нүкте ретінде қарастырылатын кіріс айнымалылар үшін мәндер жиынтығы Rn) болып табылады сыни егер бұл градиент анықталмаған нүкте болса немесе градиент нөлге тең.[4] Критикалық мәндер деп функцияның критикалық нүктелердегі мәндерін айтады.

Сыни нүкте а болуы мүмкін жергілікті максимум, а жергілікті минимум немесе а ер тоқым. Егер функция кемінде екі рет үздіксіз дифференциалданатын болса, онда әр түрлі жағдайларды ескере отырып ажыратуға болады меншікті мәндер туралы Гессиялық матрица екінші туындылар

Гессиялық матрица болатын критикалық нүкте мағынасыз деп айтылады дұрыс емесжәне белгілері меншікті мәндер функциясы жергілікті мінез-құлықты анықтайды. Жалғыз айнымалы функция болған жағдайда, гессяндық жай екінші туынды, 1 × 1-матрица ретінде қарастырылады, егер ол нөлге тең болмаса ғана мағынасы жоқ. Бұл жағдайда деградацияланбаған критикалық нүкте жергілікті туындының белгісіне байланысты жергілікті максимум немесе жергілікті минимум болып табылады, ол жергілікті минимумға оң, ал жергілікті максимумға теріс. Егер екінші туынды нөл болса, онда критикалық нүкте, әдетте, an болады иілу нүктесі, сонымен қатар толқындық нүкте, бұл жергілікті минимум немесе жергілікті максимум болуы мүмкін.

Функциясы үшін n айнымалылар, Гессия матрицасының критикалық нүктедегі теріс меншікті мәндерінің саны деп аталады индекс сыни нүктенің. Нашар емес критикалық нүкте - егер максимум индекс болса ғана жергілікті максимум n, немесе эквивалентті, егер Гессиялық матрица болса теріс анықталған; егер бұл индекс нөлге тең болса, немесе, егер оған Гессен матрицасы тең болса, бұл жергілікті минимум позитивті анық. Индекстің басқа мәндері үшін деградацияланбаған критикалық нүкте - а ер тоқым, бұл кейбір бағыттарда максимум, ал басқаларында минимум болатын нүкте.

Оңтайландыруға қолдану

Авторы Ферма теоремасы, барлығы жергілікті максимумдар мен минималар үздіксіз функцияның критикалық нүктелерінде пайда болады. Сондықтан дифференциалданатын функцияның жергілікті максимумдары мен минимумдарын табу үшін, теориялық тұрғыдан, осы нөлдерде градиенттің нөлдерін және Гессен матрицасының меншікті мәндерін есептеу жеткілікті. Бұл іс жүзінде жақсы жұмыс істемейді, өйткені а шешуін талап етеді сызықтық емес жүйе туралы бір мезгілде теңдеулер, бұл қиын тапсырма. Әдеттегі сандық алгоритмдер жергілікті экстремаларды табу үшін әлдеқайда тиімді, бірақ барлық экстремалар табылғанын растай алмайды жаһандық оңтайландыру, бұл әдістер шынымен әлемдік оңтайлы болып табылатындығын растай алмайды.

Минимизациялау функциясы болған кезде көп айнымалы көпмүшелік, критикалық нүктелер мен критикалық мәндер а шешімдері болып табылады көпмүшелік теңдеулер жүйесі және осындай жүйелерді шешудің заманауи алгоритмдері әлемдік минимумды табудың бәсекеге қабілетті сертификатталған әдістерін ұсынады.

Дифференциалданатын картаның маңызды нүктесі

Сараланатын карта берілген f бастап Rм ішіне Rn, сыни нүктелер туралы f нүктелері болып табылады Rм, мұндағы Якоб матрицасы туралы f максималды емес.[5] Астында сыни нүктенің бейнесі f а деп аталады сыни құндылық. Критикалық мәндер жиынтығының нүктесінде а деп аталады тұрақты мән. Сард теоремасы тегіс картаның критикалық мәндерінің жиынтығы бар екенін айтады нөлді өлшеу. Атап айтқанда, егер n = 1, әрбір шектелген интервалда критикалық мәндердің ақырғы саны болады.

Кейбір авторлар[6] сәл өзгеше анықтама беріңіз: а сыни нүкте туралы f нүктесі болып табылады Rм дәрежесі қайда Якоб матрицасы туралы f аз n. Осы конвенцияда барлық мәселелер маңызды болып табылады м < n.

Бұл анықтамалар арасындағы дифференциалды карталарға дейін таралады дифференциалданатын коллекторлар келесі жолмен. Келіңіздер екі коллектор арасындағы дифференциалды карта болыңыз V және W сәйкес өлшемдер м және n. Бір нүктенің маңында б туралы V және f(б), диаграммалар болып табылады диффеоморфизмдер және Нүкте б болып табылады сыни үшін f егер үшін өте маңызды Бұл анықтама диаграммаларды таңдауға тәуелді емес, өйткені диффеоморфизм болып табылатын өтпелі карталар, олардың Якубия матрицалары қайтымды және олардың көбейтілуі Якоб матрицасының дәрежесін өзгертпейді. Егер М бұл Гильберт коллекторы (міндетті түрде ақырлы өлшемді емес) және f нақты бағаланатын функция болып табылады, сонда біз мұны айтамыз б болып табылады f егер f болып табылады емес а суға бату кезінде б.[7]

Топологияға қолдану

Сыни көзқарастар зерттеу үшін маңызды болып табылады топология туралы коллекторлар және нақты алгебралық сорттар. Атап айтқанда, олар үшін негізгі құрал болып табылады Морзе теориясы және апат теориясы.

Критикалық нүктелер мен топология арасындағы байланыс абстракцияның төменгі деңгейінде пайда болады. Мысалы, рұқсат етіңіз қосалқы коллекторы болу және P сыртта нүкте болу Дейінгі арақашықтық P нүктесінің дифференциалды карта болып табылады, оның әрбір қосылған компоненті арақашықтық минималды болатын кем дегенде сыни нүктені қамтиды. Бұдан жалғанған компоненттер саны шығады жоғарыда критикалық нүктелер санымен шектелген.

Нақты алгебралық сорттарға қатысты бұл бақылау Безут теоремасы байланысты компоненттердің санын әртүрлілікті анықтайтын көпмүшелік дәрежелерінің функциясымен байланыстыруға мүмкіндік береді.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б Математикалық анализдегі мәселелер. Демидов, Борис П., Бараненков, Г. Мәскеу (IS): Мәскеу. 1964 ж. ISBN  0846407612. OCLC  799468131.CS1 maint: басқалары (сілтеме)
  2. ^ 1941-, Стюарт, Джеймс (2008). Есептеу: ерте трансцендентальдар (6-шы басылым). Белмонт, Калифорния: Томсон Брукс / Коул. ISBN  9780495011668. OCLC  144526840.CS1 maint: сандық атаулар: авторлар тізімі (сілтеме)
  3. ^ 1941-, Ларсон, Рон (2010). Есеп. Эдвардс, Брюс Х., 1946- (9-шы шығарылым). Белмонт, Калифорния: Брукс / Коул, Cengage Learning. ISBN  9780547167022. OCLC  319729593.CS1 maint: сандық атаулар: авторлар тізімі (сілтеме)
  4. ^ а б Адамс, Роберт А .; Эссекс, Кристофер (2009). Есептеу: толық курс. Pearson Prentice Hall. б.744. ISBN  978-0-321-54928-0.
  5. ^ Кармо, Манфредо Пердигао до (1976). Қисықтар мен беттердің дифференциалды геометриясы. Жоғарғы седла өзені, NJ: Prentice-Hall. ISBN  0-13-212589-7.
  6. ^ Лафонтейн, Жак (2015). Дифференциалды манифолдтарға кіріспе. Springer International Publishing. дои:10.1007/978-3-319-20735-3. ISBN  978-3-319-20734-6.
  7. ^ Серж Ланг, Дифференциалды геометрия негіздері б. 186,дои:10.1007/978-1-4612-0541-8