Сферадағы, жазықтықтағы және гиперболалық жазықтықтағы біркелкі плиткалардың тізімдері - Lists of uniform tilings on the sphere, plane, and hyperbolic plane - Wikipedia

Жылы геометрия, сферада, эвклид жазықтығында және гиперболалық жазықтықта көптеген біркелкі плиткалар жасауға болады Wythoff құрылысы tri / p, π / q және π / r ретінде ішкі бұрыштармен анықталған іргелі үшбұрыштың ішінде (p q r). Ерекше жағдайлар тікбұрышты үшбұрыштар (p q 2). Біртекті шешімдер фундаментальды үшбұрыштың ішінде 7 позициясы бар 3 генератор нүктесімен, 3 бұрышынан, 3 шетінен және ішкі үшбұрыштан тұрады. Барлық шыңдар генераторда немесе оның шағылысқан көшірмесінде болады. Шеттер генератор нүктесі мен оның айнадағы кескіні арасында болады. Үшбұрыштың фундаментальды бұрыштарында орналасқан 3-ке дейін бет түрлері бар. Тік бұрышты үшбұрыштың домендері 1 пішінге ие болуы мүмкін, олар тұрақты формаларды құрайды, ал жалпы үшбұрыштарда кем дегенде 2 үшбұрыш типтері болады, бұл ең жақсы жағдайда квазирегулярлы плиткаға әкеледі.

Осы біртекті шешімдерді білдіру үшін әртүрлі белгілер бар, Wythoff белгісі, Коксетер диаграммасы, және Coxeter's t-notation.

Қарапайым плиткалар жасалады Мебиус үшбұрыштары р, q, r бүтін сандарымен, ал Шварц үшбұрыштары р, q, r рационал сандарына рұқсат етіңіз және рұқсат етіңіз жұлдыз көпбұрышы және элементтері қабаттасады.

7 генераторлық нүктелер

Әрбір жиынтықта жеті генератор ${ displaystyle p, q, r}$ (және бірнеше арнайы формалар):

Жалпы				Тік бұрышты үшбұрыш (r = 2)
Сипаттама	Уайтхоф таңба	Шың конфигурация	Коксетер диаграмма	Уайтхоф таңба	Шың конфигурация	Шлафли таңба		Коксетер диаграмма
тұрақты және квазирегулярлы	$q \| p r$	$(б . р) q$		$q \| б 2$	$б q$	{p, q}
	$б \| q r$	$(q . р) б$		$б \| q 2$	$q б$	{q, p}
	$р \| p q$	$(q . б) р$		$2 \| p q$	$(q . б)²$	r {p, q}	т₁{p, q}
кесілген және кеңейтілді	$q r \| б$	${ displaystyle q.2p.r.2p}$		$q 2 \| б$	${ displaystyle q.2p.2p}$	t {p, q}	т_0,1{p, q}
	$p r \| q$	${ displaystyle p.2q.r.2q}$		$б 2 \| q$	$б . 2 q .2 q$	t {q, p}	т_0,1{q, p}
	$p q \| р$	${ displaystyle 2r.q.2r.p}$		$p q \| 2$	${ displaystyle 4.q.4.p}$	rr {p, q}	т_0,2{p, q}
тегіс	$p q r \|$	${ displaystyle 2r.2q.2p}$		$p q 2 \|$	${ displaystyle 4.2q.2p}$	tr {p, q}	т_0,1,2{p, q}
тегіс	$p q (r s) \|$	${ displaystyle 2p.2q.-2p.-2q}$	-	$б 2 (r s) \|$	$2 б .4.-2 б . 4 / 3$			-
қылқалам	$\| p q r$	${ displaystyle 3.r.3.q.3.p}$		$\| p q 2$	${ displaystyle 3.3.q.3.p}$	sr {p, q}
қылқалам	$\| p q r с$	${ displaystyle (4.p.4.q.4.r.4.s) / 2}$	-	-	-			-

Үш ерекше жағдай бар:

${ displaystyle p q (r s) |}$ - Бұл қоспасы ${ displaystyle p q r |}$ және ${ displaystyle p q s |}$ , тек екеуінің ортақ беттерін ғана қамтиды.
${ displaystyle | p q r}$ - Snub формалары (кезектесіп) осы пайдаланылмаған басқа белгімен беріледі.
${ displaystyle | p q r s}$ - ерекше мұрндық форма U75 бұл Wythoff құрастырылмайды.

Симметрия үшбұрыштары

Бойынша шағылыстың 4 симметрия класы бар сфера, және үшеуі Евклидтік жазықтық. Бірнеше шексіз көп мұндай өрнектер гиперболалық жазықтық тізімге енгізілген. (Гиперболалық немесе евклидті плитканы анықтайтын сандардың кез келгенін көбейту тағы бір гиперболалық плитканы жасайды).

Нүктелік топтар:

(б 2 2) екі жақты симметрия, ${ displaystyle p = 2,3,4 нүкте}$ (тапсырыс ${ displaystyle 4p}$ )
(3 3 2) тетраэдрлік симметрия (тапсырыс 24)
(4 3 2) октаэдрлік симметрия (тапсырыс 48)
(5 3 2) икосаэдрлік симметрия (тапсырыс 120)

Евклидтік (аффиндік) топтар:

(4 4 2) * 442 симметрия: 45 ° -45 ° -90 ° үшбұрыш
(6 3 2) *632 симметрия: 30 ° -60 ° -90 ° үшбұрыш
(3 3 3) *333 симметрия: 60 ° -60 ° -60 ° үшбұрыш

Гиперболалық топтар:

Екі жақты сфералық					Сфералық
Д._2с	Д._{3 сағ}	Д._{4 сағ}	Д._5с	Д._6с	Т_г.	O_сағ	Мен_сағ
*222	*322	*422	*522	*622	*332	*432	*532
(2 2 2)	(3 2 2)	(4 2 2)	(5 2 2)	(6 2 2)	(3 3 2)	(4 3 2)	(5 3 2)

Жоғарыда келтірілген симметрия топтарына шардағы бүтін шешімдер ғана кіреді. Шварц үшбұрыштарының тізіміне рационал сандар енгізіліп, шешімдерінің толық жиынтығы анықталады дөңес емес біркелкі полиэдра.

Евклидтік жазықтық
p4m	p3m	p6м
*442	*333	*632
(4 4 2)	(3 3 3)	(6 3 2)

Гиперболалық жазықтық
*732	*542	*433
(7 3 2)	(5 4 2)	(4 3 3)

Жоғарыдағы тақтайшаларда әрбір үшбұрыш тақ және тақ шағылыстырумен боялған негізгі домен болып табылады.

Қысқаша сфералық, евклидтік және гиперболалық қаптамалар

Wythoff құрылысымен жасалған таңдалған плиткалар төменде келтірілген.

Сфералық плиткалар (р = 2)

(p q 2)	Ата-ана	Қысқартылған	Түзетілді	Битрукирленген	Біріктірілген (қосарланған)	Cantellated	Барлығы дайын (Кантитрукцияланған)	Қап
Уайтхоф таңба	q \| 2-бет	2 q \| б	2 \| p q	2 p \| q	p \| q 2	p q \| 2018-04-21 121 2	p q 2 \|	\| p q 2
Шлафли таңба	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p, q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p, q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} q, p end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {Bmatrix} q, p end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle r { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle s { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$
	{p, q}	t {p, q}	r {p, q}	t {q, p}	{q, p}	rr {p, q}	tr {p, q}	sr {p, q}
	т₀{p, q}	т_0,1{p, q}	т₁{p, q}	т_1,2{p, q}	т₂{p, q}	т_0,2{p, q}	т_0,1,2{p, q}	sr {p, q}
Коксетер диаграмма
Шың фигурасы	б^q	q.2б.2б	(p.q)²	б. 2q.2q	q^б	б. 4.q.4	4.2б.2q	3.3 б. 3.q
(3 3 2)	{3,3}	(3.6.6)	(3.3a.3.3a)	(3.6.6)	{3,3}	(3a.4.3b.4)	(4.6a.6b)	(3.3.3a.3.3b)
(4 3 2)	{4,3}	(3.8.8)	(3.4.3.4)	(4.6.6)	{3,4}	(3.4.4а.4)	(4.6.8)	(3.3.3a.3.4)
(5 3 2)	{5,3}	(3.10.10)	(3.5.3.5)	(5.6.6)	{3,5}	(3.4.5.4)	(4.6.10)	(3.3.3a.3.5)

Кейбір қабаттасқан сфералық қаптамалар (р = 2)

Толық тізімді, соның ішінде жағдайларды білуге болады р ≠ 2, қараңыз Шварц үшбұрышының біркелкі полиэдраларының тізімі.

Қаптамалар көрсетілген полиэдра. Кейбір формалар деградацияланған, олар үшін жақшалармен берілген төбелік фигуралар, шеттері немесе төбелері қабаттасқан.

(p q 2)	Ата-ана	Қысқартылған	Түзетілді	Битрукирленген	Біріктірілген (қосарланған)	Cantellated	Барлығы дайын (Кантитрукцияланған)	Қап
Wythoff белгісі	q \| 2-бет	2 q \| б	2 \| p q	2 p \| q	p \| q 2	p q \| 2018-04-21 121 2	p q 2 \|	\| p q 2
Schläfli таңбасы	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p, q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p, q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} q, p end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {Bmatrix} q, p end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle r { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle s { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$
	{p, q}	t {p, q}	r {p, q}	t {q, p}	{q, p}	rr {p, q}	tr {p, q}	sr {p, q}
	т₀{p, q}	т_0,1{p, q}	т₁{p, q}	т_1,2{p, q}	т₂{p, q}	т_0,2{p, q}	т_0,1,2{p, q}	sr {p, q}
Коксетер-Динкин диаграммасы
Шың фигурасы	б^q	(q.2p.2p)	(p.q.p.q)	(2q.2q бет)	q^б	(4.q.4 б.)	(4.2б.2қ)	(3.3 б. 3.q)
Икозаэдр (5/2 3 2)	{3,5/2}	(5/2.6.6)	(3.5/2)²	[3.10/2.10/2]	{5/2,3}	[3.4.5/2.4]	[4.10/2.6]	(3.3.3.3.5/2)
Икозаэдр (5 5/2 2)	{5,5/2}	(5/2.10.10)	(5/2.5)²	[5.10/2.10/2]	{5/2,5}	(5/2.4.5.4)	[4.10/2.10]	(3.3.5/2.3.5)

Диедралды симметрия (q = р = 2)

Сфералық плиткалар екі жақты симметрия барлығы үшін бар ${ displaystyle p = 2,3,4, нүкте}$ көп дигон деградацияланған полиэдраларға айналатын беттер. Сегіз форманың екеуі (Ректификацияланған және кантильденген) көшірмелер болып табылады және кестеде өткізіледі.

(б 2 2) Іргелі домен	Ата-ана	Қысқартылған	Битрукирленген (қысқартылған қосарланған)	Біріктірілген (қосарланған)	Барлығы дайын (Кантитрукцияланған)	Қап
Ұзартылған Schläfli таңбасы	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p, 2 end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p, 2 end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} 2, p end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {Bmatrix} 2, p end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p 2 end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle s { begin {Bmatrix} p 2 end {Bmatrix}}}$
	{б, 2}	t {p, 2}	t {2, p}	{2, б}	tr {p, 2}	sr {p, 2}
	т₀{б, 2}	т_0,1{б, 2}	т_1,2{б, 2}	т₂{б, 2}	т_0,1,2{б, 2}	sr {p, 2}
Wythoff белгісі	2 \| 2-бет	2 2 \| б	2 p \| 2018-04-21 121 2	p \| 2 2	б 2 2 \|	\| 2 2
Коксетер-Динкин диаграммасы
Шың фигурасы	p²	(2.2б.2б)	(4.4.p)	2^б	(4.2б.4)	(3.3 бб. 3)
(2 2 2) V2.2.2	{2,2}	2.4.4	4.4.2	{2,2}	4.4.4	3.3.3.2
(3 2 2) V3.2.2	{3,2}	2.6.6	4.4.3	{2,3}	4.4.6	3.3.3.3
(4 2 2) V4.2.2	{4,2}	2.8.8	4.4.4	{2,4}	4.4.8	3.3.3.4
(5 2 2) V5.2.2	{5,2}	2.10.10	4.4.5	{2,5}	4.4.10	3.3.3.5
(6 2 2) V6.2.2	{6,2}	2.12.12	4.4.6	{2,6}	4.4.12	3.3.3.6
...

Евклидті және гиперболалық плиткалар (р = 2)

Кейбір гиперболалық плиткалар берілген және а түрінде көрсетілген Пуанкаре дискісі болжам.

(p q 2)	Қор. үшбұрыштар	Ата-ана	Қысқартылған	Түзетілді	Битрукирленген	Біріктірілген (қосарланған)	Cantellated	Барлығы дайын (Кантитрукцияланған)	Қап
Wythoff белгісі		q \| 2-бет	2 q \| б	2 \| p q	2 p \| q	p \| q 2	p q \| 2018-04-21 121 2	p q 2 \|	\| p q 2
Schläfli таңбасы		${ displaystyle { begin {Bmatrix} p, q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p, q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} q, p end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {Bmatrix} q, p end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle r { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle s { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$
		{p, q}	t {p, q}	r {p, q}	t {q, p}	{q, p}	rr {p, q}	tr {p, q}	sr {p, q}
		т₀{p, q}	т_0,1{p, q}	т₁{p, q}	т_1,2{p, q}	т₂{p, q}	т_0,2{p, q}	т_0,1,2{p, q}	sr {p, q}
Коксетер-Динкин диаграммасы
Шың фигурасы		б^q	(q.2p.2p)	(p.q.p.q)	(2q.2q бет)	q^б	(4.q.4 б.)	(4.2б.2q)	(3.3 б. 3.q)
Алты бұрышты плитка (6 3 2)	V4.6.12	{6,3}	3.12.12	3.6.3.6	6.6.6	{3,6}	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6
(Гиперболалық жазықтық) (7 3 2)	V4.6.14	{7,3}	3.14.14	3.7.3.7	7.6.6	{3,7}	3.4.7.4	4.6.14	3.3.3.3.7
(Гиперболалық жазықтық) (8 3 2)	V4.6.16	{8,3}	3.16.16	3.8.3.8	8.6.6	{3,8}	3.4.8.4	4.6.16	3.3.3.3.8
Шаршы плитка (4 4 2)	V4.8.8	{4,4}	4.8.8	4.4a.4.4a	4.8.8	{4,4}	4.4a.4b.4a	4.8.8	3.3.4a.3.4b
(Гиперболалық жазықтық) (5 4 2)	V4.8.10	{5,4}	4.10.10	4.5.4.5	5.8.8	{4,5}	4.4.5.4	4.8.10	3.3.4.3.5
(Гиперболалық жазықтық) (6 4 2)	V4.8.12	{6,4}	4.12.12	4.6.4.6	6.8.8	{4,6}	4.4.6.4	4.8.12	3.3.4.3.6
(Гиперболалық жазықтық) (7 4 2)	V4.8.14	{7,4}	4.14.14	4.7.4.7	7.8.8	{4,7}	4.4.7.4	4.8.14	3.3.4.3.7
(Гиперболалық жазықтық) (8 4 2)	V4.8.16	{8,4}	4.16.16	4.8.4.8	8.8.8	{4,8}	4.4.8.4	4.8.16	3.3.4.3.8
(Гиперболалық жазықтық) (5 5 2)	V4.10.10	{5,5}	5.10.10	5.5.5.5	5.10.10	{5,5}	5.4.5.4	4.10.10	3.3.5.3.5
(Гиперболалық жазықтық) (6 5 2)	V4.10.12	{6,5}	5.12.12	5.6.5.6	6.10.10	{5,6}	5.4.6.4	4.10.12	3.3.5.3.6
(Гиперболалық жазықтық) (7 5 2)	V4.10.14	{7,5}	5.14.14	5.7.5.7	7.10.10	{5,7}	5.4.7.4	4.10.14	3.3.5.3.7
(Гиперболалық жазықтық) (8 5 2)	V4.10.16	{8,5}	5.16.16	5.8.5.8	8.10.10	{5,8}	5.4.8.4	4.10.16	3.3.5.3.8
(Гиперболалық жазықтық) (6 6 2)	V4.12.12	{6,6}	6.12.12	6.6.6.6	6.12.12	{6,6}	6.4.6.4	4.12.12	3.3.6.3.6
(Гиперболалық жазықтық) (7 6 2)	V4.12.14	{7,6}	6.14.14	6.7.6.7	7.12.12	{6,7}	6.4.7.4	4.12.14	3.3.6.3.7
(Гиперболалық жазықтық) (8 6 2)	V4.12.16	{8,6}	6.16.16	6.8.6.8	8.12.12	{6,8}	6.4.8.4	4.12.16	3.3.6.3.8
(Гиперболалық жазықтық) (7 7 2)	V4.14.14	{7,7}	7.14.14	7.7.7.7	7.14.14	{7,7}	7.4.7.4	4.14.14	3.3.7.3.7
(Гиперболалық жазықтық) (8 7 2)	V4.14.16	{8,7}	7.16.16	7.8.7.8	8.14.14	{7,8}	7.4.8.4	4.14.16	3.3.7.3.8
(Гиперболалық жазықтық) (8 8 2)	V4.16.16	{8,8}	8.16.16	8.8.8.8	8.16.16	{8,8}	8.4.8.4	4.16.16	3.3.8.3.8
(Гиперболалық жазықтық) (∞ 3 2)	V4.6.∞	{∞,3}	3.∞.∞	3.∞.3.∞	∞.6.6	{3,∞}	3.4.∞.4	4.6.∞	3.3.3.3.∞
(Гиперболалық жазықтық) (∞ 4 2)	V4.8.∞	{∞,4}	4.∞.∞	4.∞.4.∞	∞.8.8	{4,∞}	4.4.∞.4	4.8.∞	3.3.4.3.∞
(Гиперболалық жазықтық) (∞ 5 2)	V4.10.∞	{∞,5}	5.∞.∞	5.∞.5.∞	∞.10.10	{5,∞}	5.4.∞.4	4.10.∞	3.3.5.3.∞
(Гиперболалық жазықтық) (∞ 6 2)	V4.12.∞	{∞,6}	6.∞.∞	6.∞.6.∞	∞.12.12	{6,∞}	6.4.∞.4	4.12.∞	3.3.6.3.∞
(Гиперболалық жазықтық) (∞ 7 2)	V4.14.∞	{∞,7}	7.∞.∞	7.∞.7.∞	∞.14.14	{7,∞}	7.4.∞.4	4.14.∞	3.3.7.3.∞
(Гиперболалық жазықтық) (∞ 8 2)	V4.16.∞	{∞,8}	8.∞.∞	8.∞.8.∞	∞.16.16	{8,∞}	8.4.∞.4	4.16.∞	3.3.8.3.∞
(Гиперболалық жазықтық) (∞ ∞ 2)	V4.∞.∞	{∞,∞}	∞.∞.∞	∞.∞.∞.∞	∞.∞.∞	{∞,∞}	∞.4.∞.4	4.∞.∞	3.3.∞.3.∞

Евклидті және гиперболалық плиткалар (р > 2)

The Коксетер-Динкин диаграммасы сызықтық түрінде беріледі, дегенмен ол іс жүзінде үшбұрыш, артқы сегмент r бірінші түйінге қосылады.

Wythoff белгісі (p q r)	Қор. үшбұрыштар	q \| p r	r q \| б	r \| p q	r p \| q	p \| q r	p q \| р	p q r \|	\| p q r
Schläfli таңбасы		(p, q, r)	r (r, q, p)	(q, r, p)	r (p, q, r)	(q, p, r)	r (p, r, q)	tr (p, q, r)	s (p, q, r)
Schläfli таңбасы		т₀(p, q, r)	т_0,1(p, q, r)	т₁(p, q, r)	т_1,2(p, q, r)	т₂(p, q, r)	т_0,2(p, q, r)	т_0,1,2(p, q, r)	s (p, q, r)
Коксетер диаграммасы
Шың фигурасы		(p.r)^q	(r.2p.q.2p)	(p.q)^р	(q.2r.p. 2r)	(q.r)^б	(2r.q.2r б.)	(2б.2қ.2р)	(3.r.3.q.3.p)
Евклид (3 3 3)	V6.6.6	(3.3)³	3.6.3.6	(3.3)³	3.6.3.6	(3.3)³	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3
Гиперболалық (4 3 3)	V6.6.8	(3.4)³	3.8.3.8	(3.4)³	3.6.4.6	(3.3)⁴	3.6.4.6	6.6.8	3.3.3.3.3.4
Гиперболалық (4 4 3)	V6.8.8	(3.4)⁴	3.8.4.8	(4.4)³	3.8.4.8	(3.4)⁴	4.6.4.6	6.8.8	3.3.3.4.3.4
Гиперболалық (4 4 4)	V8.8.8	(4.4)⁴	4.8.4.8	(4.4)⁴	4.8.4.8	(4.4)⁴	4.8.4.8	8.8.8	3.4.3.4.3.4
Гиперболалық (5 3 3)	V6.6.10	(3.5)³	3.10.3.10	(3.5)³	3.6.5.6	(3.3)⁵	3.6.5.6	6.6.10	3.3.3.3.3.5
Гиперболалық (5 4 3)	V6.8.10	(3.5)⁴	3.10.4.10	(4.5)³	3.8.5.8	(3.4)⁵	4.6.5.6	6.8.10	3.5.3.4.3.3
Гиперболалық (5 4 4)	V8.8.10	(4.5)⁴	4.10.4.10	(4.5)⁴	4.8.5.8	(4.4)⁵	4.8.5.8	8.8.10	3.4.3.4.3.5
Гиперболалық (6 3 3)	V6.6.12	(3.6)³	3.12.3.12	(3.6)³	3.6.6.6	(3.3)⁶	3.6.6.6	6.6.12	3.3.3.3.3.6
Гиперболалық (6 4 3)	V6.8.12	(3.6)⁴	3.12.4.12	(4.6)³	3.8.6.8	(3.4)⁶	4.6.6.6	6.8.12	3.6.3.4.3.3
Гиперболалық (6 4 4)	V8.8.12	(4.6)⁴	4.12.4.12	(4.6)⁴	4.8.6.8	(4.4)⁶	4.8.6.8	8.8.12	3.6.3.4.3.4
Гиперболалық (∞ 3 3)	V6.6.∞	(3.∞)³	3.∞.3.∞	(3.∞)³	3.6.∞.6	(3.3)^∞	3.6.∞.6	6.6.∞	3.3.3.3.3.∞
Гиперболалық (∞ 4 3)	V6.8.∞	(3.∞)⁴	3.∞.4.∞	(4.∞)³	3.8.∞.8	(3.4)^∞	4.6.∞.6	6.8.∞	3.∞.3.4.3.3
Гиперболалық (∞ 4 4)	V8.8.∞	(4.∞)⁴	4.∞.4.∞	(4.∞)⁴	4.8.∞.8	(4.4)^∞	4.8.∞.8	8.8.∞	3.∞.3.4.3.4
Гиперболалық (∞ ∞ 3)	V6.∞.∞	(3.∞)^∞	3.∞.∞.∞	(∞.∞)³	3.∞.∞.∞	(3.∞)^∞	∞.6.∞.6	6.∞.∞	3.∞.3.∞.3.3
Гиперболалық (∞ ∞ 4)	V8.∞.∞	(4.∞)^∞	4.∞.∞.∞	(∞.∞)⁴	4.∞.∞.∞	(4.∞)^∞	∞.8.∞.8	8.∞.∞	3.∞.3.∞.3.4
Гиперболалық (∞ ∞ ∞)	V∞.∞.∞	(∞.∞)^∞	∞.∞.∞.∞	(∞.∞)^∞	∞.∞.∞.∞	(∞.∞)^∞	∞.∞.∞.∞	∞.∞.∞	3.∞.3.∞.3.∞

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

Коксетер Тұрақты политоптар, Үшінші басылым, (1973), Довер басылымы, ISBN 0-486-61480-8 (V тарау: Калейдоскоп, бөлім: 5.7 Уайтхофтың құрылысы)
Коксетер Геометрияның сұлулығы: он екі эссе, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (3 тарау: Бірыңғай политоптарға арналған Уайтхофтың құрылысы)
Коксетер, Лунге-Хиггинс, Миллер, Бірыңғай полиэдра, Фил. Транс. 1954, 246 А, 401–50.
Веннингер, Магнус (1974). Полиэдрлі модельдер. Кембридж университетінің баспасы. ISBN 0-521-09859-9. 9-10 бет.

Сыртқы сілтемелер

Вайсштейн, Эрик В. «Wythoff таңбасы». MathWorld.
Wythoff таңбасы
Wythoff белгісі^{[тұрақты өлі сілтеме ]}
Григ Эганның апплеті Витхофтың құрылыс әдісін қолдана отырып, біркелкі полиэдраны көрсетуге арналған
Видхофтың құрылыс әдісін ұсынған Шадертой
KaleidoTile 3 Арқылы Windows үшін ақысыз білім беру бағдарламалық жасақтамасы Джеффри Уикс беттегі көптеген суреттерді жасаған.
Хэтч, Дон. «Гиперболалық жазықтықтағы тесселлалар».

Бұл мақалада математикаға қатысты материалдар бар тізімдер тізімі.