Шарлардың гомотопиялық топтары - Homotopy groups of spheres

2-шарды басқа 2-шарға екі рет қалай орауға болатындығы туралы иллюстрация. Шеттер анықталуы керек.

Ішінде математикалық өрісі алгебралық топология, сфералардың гомотопиялық топтары әр түрлі салаларды сипаттаңыз өлшемдер бір-біріне айнала алады. Олар мысалдар топологиялық инварианттар, көрсететін, алгебралық терминдер, салалардың құрылымы ретінде қарастырылады топологиялық кеңістіктер, олардың дәл геометриясын ұмытып. Айырмашылығы жоқ гомологиялық топтар, олар топологиялық инварианттар болып табылады гомотопиялық топтар таңқаларлықтай күрделі және есептеу қиын.

The Хопф фибрациясы - бұл 3-шарды 2-шарға бейресми картаға түсіру және 2-шардың үшінші гомотопиялық тобын құру.

Бұл сурет. Бөлігін имитациялайды Хопф фибрациясы, үш өлшемді сферадан екі өлшемді сфераға қызықты карта. Бұл карта 2-сфераның үшінші гомотопиялық тобының генераторы болып табылады.

The $n$ - өлшем бірлігі сфера - деп аталады $n$ -сфера қысқалығы үшін және деп белгіленеді $S n$ - таныс нәрсені жалпылайды шеңбер ( $S 1$ ) және қарапайым сфера ( $S 2$ ). The $n$ -сфера геометриялық тұрғыдан а нүктелерінің жиыны ретінде анықталуы мүмкін Евклид кеңістігі өлшем $n + 1$ басынан бірлік қашықтықта орналасқан. The $мен$ -шы гомотопия тобы $π мен (S n)$ әр түрлі тәсілдерін қорытындылайды $мен$ -өлшемдік сфера $S мен$ бола алады картаға түсірілген ішіне үздіксіз $n$ -өлшемдік сфера $S n$ . Бұл түйіндемеде екі кескіннің айырмашылығы жоқ, егер оны үздіксіз жүргізуге болады деформацияланған екіншісіне; осылайша, тек эквиваленттік сыныптар кескіндердің жиынтығы келтірілген. Осы эквиваленттік кластарда анықталған «қосу» операциясы эквиваленттік кластар жиынтығын ан-ға айналдырады абель тобы.

Анықтау мәселесі $π мен (S n)$ байланысты үш режимге түседі $мен$ -дан кіші, тең немесе үлкен $n$ .

Үшін $0 < мен < n$ , кез келген картаға түсіру $S мен$ дейін $S n$ тұрақты кескінге гомотопиялық (яғни, үздіксіз деформацияланатын), яғни барлық $S мен$ нүктесінің бір нүктесіне дейін $S n$ . Сондықтан гомотопия тобы болып табылады тривиальды топ.
Қашан $мен = n$ , әрбір карта $S n$ өзіне ие дәрежесі бұл шардың өзіне қанша рет оралатынын өлшейді. Бұл дәреже гомотопия тобын анықтайды $π n (S n)$ тобымен бүтін сандар қосымша астында. Мысалы, шеңбердің әрбір нүктесін басқа шеңбердің нүктесіне үздіксіз бейнелеуге болады; бірінші нүкте бірінші шеңбер бойымен қозғалғандықтан, екінші нүкте белгілі бір картаға байланысты екінші шеңберді бірнеше рет айналып өтуі мүмкін.
Ең қызықты және таңқаларлық нәтижелер қашан пайда болады $мен > n$ . Мұндай алғашқы тосынсый - 3 сфераны орайтын Hopf фибрациясы деп аталатын картографиялау болды $S 3$ әдеттегі сфераның айналасында $S 2$ тривиальды емес тәсілмен және сол сияқты бір нүктелік картаға тең келмейді.

Гомотопия тобын есептеу туралы сұрақ $π n + к (S n)$ оң үшін $к$ алгебралық топологияның негізгі мәселесі болды, ол көптеген фундаментальды әдістердің дамуына ықпал етті және зерттеудің ынталандырушы бағыты болды. Негізгі ашылулардың бірі - гомотопия топтары $π n + к (S n)$ тәуелді емес $n$ үшін $n \geq к + 2$ . Бұлар деп аталады сфералардың тұрақты гомотопиялық топтары және мәні үшін есептелген $к$ 64-ке дейін. Тұрақты гомотопиялық топтар an коэффициент сақинасын құрайды ерекше когомология теориясы, деп аталады тұрақты когомотопия теориясы. Тұрақсыз гомотопия топтары (үшін $n < к + 2$ ) біршама тұрақсыз; дегенмен, олар кестеге енгізілді $к < 20$ . Қазіргі заманғы есептеулердің көпшілігі қолданылады спектрлік тізбектер, сфералардың гомотопиялық топтарына алғаш қолданылатын әдіс Жан-Пьер Серре. Бірнеше маңызды заңдылықтар құрылды, әлі көп нәрсе белгісіз және түсініксіз болып қалады.

Фон

Сфералардың гомотопиялық топтарын зерттеу көптеген негізгі материалдарға негізделген, осында қысқаша шолу жасалынды. Алгебралық топология өзі құрылған үлкен контекстті қамтамасыз етеді топология және абстрактілі алгебра, бірге гомотопиялық топтар негізгі мысал ретінде.

$n$ -сфера

Қарапайым сфера үш өлшемді кеңістікте - қатты шар емес, бет - бұл топологияның сфераның нені білдіретінінің бір мысалы. Геометрия форма ретінде сфераны қатаң түрде анықтайды. Мұнда бірнеше балама бар.

Жасырын беті: $х 20 + х 21 + х 22 = 1$

Бұл 3 өлшемді нүктелер жиынтығы Евклид кеңістігі шыққан жерінен дәл бір бірлікті тапты. Ол 2-сфера деп аталады,

S 2

, төменде келтірілген себептер бойынша. Дәл сол идея кез келгенге қатысты өлшем

n

; теңдеу

х 20 + х 21 + \dots + х 2 n = 1

өндіреді

n

-сфера геометриялық объект ретінде

n + 1

) өлшемді кеңістік. Мысалы, 1-сфера

S 1

Бұл шеңбер.

Жиегі құлаған дискретінде топологияда жазылған $Д. 2 / S 1$

Бұл құрылыс геометриядан таза топологияға ауысады. The диск

Д. 2

теңсіздікпен сипатталған шеңбермен қамтылған аймақ

х 20 + х 21 \leq 1

және оның жиегі (немесе «шекара «) шеңбер

S 1

, теңдікпен сипатталады

х 20 + х 21 = 1

. Егер а әуе шары тесіліп, жайылып жайылып, диск шығарады; бұл конструкция жіп тарту сияқты пункцияны қалпына келтіреді. The қиғаш сызық, «модуло» деп айтылған, сол жақтағы (диск) топологиялық кеңістікті алып, ондағы оң жақтағы (шеңбер) барлық нүктелерді біріктіруді білдіреді. Аймақ 2 өлшемді, сондықтан топология алынған топологиялық кеңістікті 2 сфера деп атайды. Жалпы,

Д. n / S n -1

өндіреді

S n

. Мысалға,

Д. 1

Бұл сызық сегменті, және құрылыс шеңбер жасау үшін оның ұштарын біріктіреді. Эквивалентті сипаттама - ан шекарасы

n

-өлшемді диск нүктеге жабыстырылып, а пайда болады CW кешені.

Экватордың тоқтатылуыретінде топологияда жазылған $Σ S 1$

Бұл құрылыстың қарапайым болғанымен теориялық маңызы зор. Шеңберді алыңыз

S 1

болу экватор, және сол жақтағы әр нүктені солтүстік жарты шарды шығаратын бір нүктеден жоғары (Солтүстік полюс), ал төмендегі бір нүктеге (Оңтүстік полюс) оңтүстік жарты шарды шығаратын сыпырыңыз. Әрбір оң сан үшін

n

,

n

-сфера

х 20 + х 21 + \dots + х 2 n = 1

экватор ретінде (

n - 1

) -сфера

х 20 + х 21 + \dots + х 2 n -1 = 1

және тоқтата тұру

Σ S n -1

өндіреді

S n

.

Кейбір теория сферада жұпты шақырып, бекітілген нүктені таңдауды қажет етеді $(шар, нүкте)$ а сүйір сфера. Кейбір кеңістіктер үшін таңдау маңызды, бірақ сфера үшін барлық нүктелер эквивалентті, сондықтан таңдау ыңғайлы мәселе. Нүкте $(1, 0, 0, \dots, 0)$ , барлық сфералардың экваторында орналасқан, геометриялық сфералар үшін жақсы жұмыс істейді; дискінің (құлаған) жиегі - бұл тағы бір айқын таңдау.

Гомотопия тобы

Екі нүктелік картаның гомотопиясы базалық нүктені бекітеді

Екі нүктелік картаны қосу, негізгі нүктені бекіту

А топологиялық кеңістік тұрғысынан ресімделген оның үздіксіздік құрылымы болып табылады ашық жиынтықтар немесе аудандар. A үздіксіз карта үздіксіздікті сақтайтын кеңістіктер арасындағы функция. A гомотопия үздіксіз карталар арасындағы үзіліссіз жол; гомотопия арқылы байланысқан екі карта гомотопиялық деп аталады. Осы тұжырымдамалардың барлығына ортақ идея қызығушылықтың нәтижелеріне әсер етпейтін вариацияларды жою болып табылады. Маңызды практикалық мысал болып табылады қалдық теоремасы туралы кешенді талдау, мұндағы «тұйық қисықтар» - шеңберден күрделі жазықтыққа дейінгі үздіксіз карталар, және екі тұйық қисық, егер олар жазықтықтан тұратын топологиялық кеңістіктегі гомотоптық болса, сингулярлық нүктелерін алып тастайды.

Бірінші гомотопия тобы, немесе іргелі топ, $π 1 (X)$ а (жол қосылған ) топологиялық кеңістік $X$ осылайша үшкір шеңберден үздіксіз карталардан басталады $(S 1, с)$ сүйір кеңістікке $(X, х)$ , мұнда бір жұптан екінші картаға карталар түсіріледі $с$ ішіне $х$ . Бұл карталар (немесе эквивалентті түрде жабық) қисықтар ) бірге топтастырылған эквиваленттік сыныптар гомотопияға негізделген («негізгі нүктені» сақтау) $х$ екі карта гомотопты болса, бір сыныпта болатындай етіп). Бір нүкте бөлінгендей, бір класс та ерекшеленеді: барлық карталар (немесе қисықтар) тұрақты картаға гомотоптық $S 1 \mapsto х$ нөлдік гомотоптық деп аталады. Сыныптар абстрактілі алгебралық топ «экватор шымшуы» арқылы анықталған қосуды енгізумен. Бұл шымшу экваторды шардың экваторын (мұндағы шеңбер) ерекшеленетін нүктеге түсіреді, «шарлар шоғы «- екі нүктелі сфералар өз нүктелерінде біріктірілген. Қосылатын екі карта жоғарғы және төменгі сфераларды бөлек картаға бөліп, ерекшеленген нүктені келісіп, қысқышпен жасалған композиция қосынды картасын береді.

Жалпы, $мен$ - гомотопия тобы, $π мен (X)$ үшкірден басталады $мен$ -сфера $(S мен, с)$ , әйтпесе сол процедураны орындайды. Нөлдік гомотопиялық класс топтың қосындысының идентификациясы ретінде әрекет етеді, және $X$ тең $S n$ (оң үшін $n$ ) - сфералардың гомотопиялық топтары - топтар болып табылады абель және түпкілікті құрылды. Егер кейбіреулер үшін болса $мен$ барлық карталар нөлдік гомотопиялық, содан кейін топ $π мен$ бір элементтен тұрады, және деп аталады тривиальды топ.

Екі топологиялық кеңістіктің арасындағы үзіліссіз карта а топтық гомоморфизм байланысты гомотопия топтары арасында. Атап айтқанда, егер карта үздіксіз болса биекция (а гомеоморфизм ), екі кеңістіктің топологиясы бірдей болатындай етіп, содан кейін олардың $мен$ - гомотопия топтары изоморфты барлығына $мен$ . Алайда, нақты ұшақ жалғыз нүкте сияқты гомотопиялық топтарға дәл келеді (кез-келген өлшемдегі эвклид кеңістігі сияқты), ал нүктесі жойылған нақты жазықтық шеңбермен бірдей топтарға ие, сондықтан кеңістікті ажырату үшін топтардың өзі жеткіліксіз. Кемсітушілік күшін жоғалту өкінішті болғанымен, ол белгілі бір есептеулерді жеңілдетуі мүмкін.

Төмен өлшемді мысалдар

Сфералардың гомотопиялық топтарының төмен өлшемді мысалдары тақырыптың мағынасын береді, өйткені бұл ерекше жағдайларды қарапайым 3 өлшемді кеңістікте көруге болады (Хэтчер 2002 ). Алайда мұндай көрнекіліктер математикалық дәлелдемелер емес және сфералар арасындағы карталардың мүмкін болатын күрделілігін қамтымайды.

$π 1 (S 1) = ℤ$

Элементтері

{ displaystyle scriptstyle pi _ {1} (S ^ {1})}

Ең қарапайым жағдай шеңберді (1-сфераны) басқа шеңберге орау тәсілдеріне қатысты. Мұны орау арқылы көрнекі түрде көрсетуге болады резеңке таспа саусақтың айналасында: оны бір, екі, үш рет және т.б. орауға болады. Орам екі бағытта болуы мүмкін, ал қарама-қарсы бағыттағы орамалар деформациядан кейін жойылады. Гомотопия тобы $π 1 (S 1)$ сондықтан шексіз циклдік топ, және болып табылады изоморфты ℤ тобына бүтін сандар қосымша бойынша: гомотопия класы картаға шеңберді қанша рет орайтынын санау арқылы бүтін санмен анықталады. Бұл бүтін санды деп санауға болады орам нөмірі айналасындағы цикл шығу тегі ішінде ұшақ.

Сәйкестендіру (а топтық изоморфизм ) бүтін сандармен бірге гомотопия тобының жиі жазылған теңдік ретінде: осылайша $π 1 (S 1) = ℤ$ .

$π 2 (S 2) = ℤ$

2-шарды басқа 2-шарға екі рет қалай орауға болатындығы туралы иллюстрация. Шеттер анықталуы керек.

2 шардан 2 шарға дейінгі карталарды полиэтилен пакетті допқа орап, содан кейін оны тығыздау ретінде бейнелеуге болады. Мөрленген сөмке топологиялық жағынан шардың беті сияқты 2 шарға тең. Сөмкені бұрап, доптың үстіне орап бірнеше рет орауға болады. (Үздіксіз карта болу үшін ешқандай талап жоқ инъекциялық және сөмкенің өзінен өтуіне рұқсат етіледі.) бұралу екі бағыттың бірінде болуы мүмкін, ал қарама-қарсы бұрылыстар деформация арқылы жойылуы мүмкін. Жоюдан кейінгі бұрылыстардың жалпы саны - деп аталатын бүтін сан дәрежесі картаға түсіру. Шеңберден шеңберге бейнелеу жағдайындағыдай, бұл дәреже гомотопиялық топты бүтін сандар тобымен, ℤ анықтайды.

Бұл екі нәтиже жалпылай түседі: барлығы үшін $n > 0$ , $π n (S n) = ℤ$ (қараңыз төменде ).

$π 1 (S 2) = 0$

Шардың айналасындағы шеңберден бір нүктеге дейін гомотопия

Шеңберден қарапайым сфераға кез-келген үздіксіз кескінді бір нүктелі кескінге үздіксіз деформациялауға болады, сондықтан оның гомотопиялық класы тривиальды болады. Осыны көзге елестетудің бір жолы - үйкеліссіз шарға оралған резеңке таспаны елестету: жолақты әрқашан доптан сырғытуға болады. Гомотопия тобы а тривиальды топ, тек бір элементпен, сәйкестендіру элементімен, сондықтан оны кіші топ zero тек нөл санынан тұрады. Бұл топты көбінесе 0 деп белгілейді. Мұны көрсету қатаң талап етеді, дегенмен, бар болуына байланыстыкеңістікті толтыратын қисықтар.

Бұл нәтиже үлкен өлшемдерге жалпыланады. Төмен өлшемді сферадан жоғары өлшемді сфераға барлық кескіндер ұқсас тривиальды болады: егер $мен < n$ , содан кейін $π мен (S n) = 0$ . Мұның салдары ретінде көрсетуге болады ұялы жуықтау теоремасы.

$π 2 (S 1) = 0$

Сфералардың гомотопиялық топтарының барлық қызықты жағдайлары жоғары өлшемді сферадан төменгі өлшемдердің біріне кескінделуді қамтиды. Өкінішке орай, елестетуге болатын жалғыз мысал қызық емес: қарапайым сферадан шеңберге дейін ешқандай бейресми карталар жоқ. Демек, $π 2 (S 1) = 0$ . Бұл себебі $S 1$ келісімшартқа ие әмбебап мұқабасы ретінде нақты сызыққа ие (ол нүктенің гомотопиялық түріне ие). Сонымен қатар, өйткені $S 2$ лифт критерийі бойынша кез-келген карта арқылы жай байланысты $S 2$ дейін $S 1$ нақты сызыққа картаға көтеруге болады, ал нулхомотопия төменгі қабатқа түседі.

$π 3 (S 2) = ℤ$

The Хопф фибрациясы - бұл 3-шарды 2-шарға бейресми картаға түсіру және 2-шардың үшінші гомотопиялық тобын құру. Әр түсті шеңбер төменгі оң жақта көрсетілген 2 шардағы сәйкес нүктеге сәйкес келеді.

-Мен алғашқы нейтривиалды мысал $мен > n$ бастап кескінделуге қатысты 3-сфера қарапайым 2-сфераға дейін ашылды Хайнц Хопф, бастап нейтривалды картаны кім жасады $S 3$ дейін $S 2$ , қазір Хопф фибрациясы (Хопф 1931 ). Бұл карта генерациялайды гомотопия тобы $π 3 (S 2) = ℤ$ .

Тарих

19 ғасырдың аяғында Камилл Джордан гомотопия ұғымын енгізді және гомотопия тобы түсінігін топ теориясының тілін қолданбай қолданды (О'Коннор және Робертсон 2001 ). Неғұрлым қатаң тәсілді қабылдады Анри Пуанкаре оның 1895 құжаттар жиынтығында Талдау байланысты ұғымдар гомология және іргелі топ енгізілді (О'Коннор және Робертсон 1996 ж ).

Жоғары гомотопиялық топтар алдымен анықталды Эдуард Чех 1932 жылы (1932 ж, б. 203) (Оның алғашқы қағазы кеңес бойынша алынды Павел Сергеевич Александров және Хайнц Хопф, топтар коммутативті болды, сондықтан фундаментальды топтың дұрыс жалпылауы бола алмады деген уәжбен.) Витольд Хуревич 1935 жылғы мақаласында гомотопиялық топтардың енгізілуіне және сонымен бірге Хоревич теоремасы кейбір топтарды есептеу үшін қолдануға болатын (Мамыр 1999a Әр түрлі топтарды есептеудің маңызды әдісі - өлшемдерге тәуелсіз қасиеттерді табатын тұрақты алгебралық топология ұғымы. Әдетте, олар тек үлкен өлшемдерге сәйкес келеді. Бірінші нәтиже болды Ганс Фрейденталь Келіңіздер тоқтата тұру теоремасы, 1937 жылы жарық көрді. Тұрақты алгебралық топология көптеген маңызды нәтижелермен 1945-1966 жылдар аралығында өрістеді (Мамыр 1999a ). 1953 жылы Джордж Уайтхед сфералардың гомотопиялық топтары үшін метабілімді диапазон бар екенін көрсетті. Жан-Пьер Серре қолданылған спектрлік тізбектер осы топтардың көпшілігінің шектеулі екендігін көрсету, ерекшеліктер $π n (S n)$ және $π 4 n -1 (S 2 n)$ . Осы салада жұмыс істеген басқалары Хосе Адем, Хироши Тода, Фрэнк Адамс және Дж. Питер Мэй. Тұрақты гомотопиялық топтар $π n + к (S n)$ үшін белгілі $к$ 64-ке дейін, ал 2007 жылғы жағдай бойынша белгісіз $к$ (Хэтчер 2002, Тұрақты гомотопия топтары, 385–393 бб.).

Жалпы теория

Жоғарыда айтылғандай, қашан $мен$ аз $n$ , $π мен (S n) = 0$ , тривиальды топ (Хэтчер 2002 ). Себебі ан-дан үздіксіз картаға түсіру $мен$ -сфераға дейін $n$ -сфера $мен < n$ әрқашан деформациялануы мүмкін, сондықтан ол олай болмайды сурьективті. Демек, оның бейнесі $S n$ жойылған нүктемен; Бұл келісімшартты кеңістік, және мұндай кеңістікке кез-келген картаны бір нүктелік кескін түрінде деформациялауға болады.

Іс $мен = n$ қазірдің өзінде атап өтілген және бұл оңай нәтиже болып табылады Хоревич теоремасы: бұл теорема гомотопиялық топтарды байланыстырады гомологиялық топтар, әдетте оларды есептеу оңайырақ; атап айтқанда, бұл а жай қосылған ғарыш X, алғашқы нөлдік емес гомотопия тобы $π к (X)$ , бірге $к > 0$ , бірінші нөлдік гомология тобына изоморфты $H к (X)$ . Үшін $n$ -сфера, мұны бірден білдіреді $n \geq 2$ , $π n (S n) = H n (S n) = ℤ$ .

Гомологиялық топтар $H мен (S n)$ , бірге $мен > n$ , бәрі маңызды емес. Сондықтан сәйкес келетін гомотопиялық топтардың жалпы алғанда маңызды емес екендігі тарихи үлкен тосын сый болды. Бұл нақты маңызы бар жағдай: жоғары гомотопиялық топтар $π мен (S n)$ , үшін $мен > n$ , таңқаларлықтай күрделі және оларды есептеу қиын, және оларды есептеу күші жаңа математиканың едәуір көлемін тудырды.

Кесте

Келесі кестеде 8 немесе одан кіші өлшемді сфералар үшін де жоғары гомотопия топтарының күрделілігі туралы түсінік берілген. Бұл кестеде жазбалар не болып табылады тривиальды топ 0, шексіз циклдік тобы ℤ, ақырлы циклдік топтар тәртіп $n$ (ретінде жазылған $ℤ n$ ), немесе тікелей өнімдер осындай топтардың (жазбаша, мысалы, сияқты) $ℤ 24 \times ℤ 3$ немесе ${ displaystyle mathbb {Z} _ {2} ^ {2} = mathbb {Z} _ {2} times mathbb {Z} _ {2}}$ ). Гомотопия топтарының кеңейтілген кестелері келтірілген мақаланың соңында.

	π₁	π₂	π₃	π₄	π₅	π₆	π₇	π₈	π₉	π₁₀	π₁₁	π₁₂	π₁₃	π₁₄	π₁₅
S⁰	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S¹	ℤ	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S²	0	ℤ	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₁₂	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₃	ℤ₁₅	ℤ₂	$ℤ 22$	ℤ₁₂× ℤ₂	$ℤ 84 \times ℤ 22$	ℤ₂²
S³	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₁₂	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₃	ℤ₁₅	ℤ₂	$ℤ 22$	ℤ₁₂× ℤ₂	$ℤ 84 \times ℤ 22$	$ℤ 22$
S⁴	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ × ℤ₁₂	$ℤ 22$	$ℤ 22$	ℤ₂₄× ℤ₃	ℤ₁₅	ℤ₂	$ℤ 32$	ℤ₁₂₀× ℤ₁₂× ℤ₂	$ℤ 84 \times ℤ 52$
S⁵	0	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂₄	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₃₀	ℤ₂	$ℤ 32$	ℤ₇₂× ℤ₂
S⁶	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂₄	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₆₀	ℤ₂₄× ℤ₂	$ℤ 32$
S⁷	0	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂₄	0	0	ℤ₂	ℤ₁₂₀	$ℤ 32$
S⁸	0	0	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂₄	0	0	ℤ₂	ℤ × ℤ₁₂₀

Бұл кестенің алғашқы екі жолы тікелей. Гомотопиялық топтар $π мен (S 0)$ 0 өлшемді сфераның мәні өте маңызды емес $мен > 0$ , өйткені кез-келген базалық нүктені картадан сақтайды $мен$ -сфера 0-сфераға дейін болып табылады бір нүктелік картаға түсіру. Сол сияқты, гомотопиялық топтар $π мен (S 1)$ 1-сфераның мәні өте маңызды емес $мен > 1$ , өйткені әмбебап қамту кеңістігі Гомотопия топтары бірдей болатын ℝ, келісімшартқа ие.

Осы екі қатардан тыс жоғары гомотопиялық топтар ( $мен > n$ ) ретсіз болып көрінеді, бірақ іс жүзінде көптеген өрнектер бар, олардың кейбіреулері айқын, ал кейбіреулері өте нәзік.

Қара сызықтан төмен орналасқан топтар диагональ бойымен тұрақты (қызыл, жасыл және көк түспен көрсетілгендей).
Топтардың көпшілігі шектеулі. Жалғыз шексіз топтар басты диагональда немесе қиық сызықтың үстінде орналасқан (сары түспен белгіленген).
Кестенің үшінші және төртінші жолдары үшінші бағаннан бастап бірдей (яғни, $π мен (S 2) = π мен (S 3)$ үшін $мен \geq 3$ ). Бұл изоморфизмді Хопф фибрациясы тудырады $S 3 \to S 2$ .
Үшін ${ displaystyle n = 2,3,4,5}$ және ${ displaystyle i geq n}$ гомотопия топтары ${ displaystyle pi _ {i} (S ^ {n})}$ жоғалып кетпеңіз. Алайда, ${ displaystyle pi _ {n + 4} (S ^ {n}) = 0}$ үшін ${ displaystyle n geq 6}$ .

Бұл заңдылықтар әр түрлі теориялық нәтижелерден туындайды.

Тұрақты және тұрақсыз топтар

Жоғарыдағы кестедегі қиық сызықтан төмен орналасқан топтардың диагональ бойымен тұрақты болатындығын тоқтата тұру теоремасы туралы Ганс Фрейденталь Бұл дегеніміз, суспензия гомоморфизмнің $π n + к (S n)$ дейін $π n + к +1 (S n +1)$ үшін изоморфизм болып табылады $n > к + 1$ . Топтар $π n + к (S n)$ бірге $n > к + 1$ деп аталады сфералардың тұрақты гомотопиялық топтары, және белгіленеді $π S к$ : олар соңғы абел топтары $к \neq 0$ , және көптеген жағдайларда есептелді, дегенмен жалпы заңдылық әлі күнге дейін түсініксіз. (Хэтчер 2002, Тұрақты гомотопия топтары, 385–393 бб.). Үшін $n \leq к +1$ , топтар деп аталады сфералардың тұрақсыз гомотопиялық топтары.

Хопф фибрациясы

Классикалық Хопф фибрациясы Бұл талшық байламы:

{ displaystyle S ^ {1} hookrightarrow S ^ {3} rightarrow S ^ {2}. , !}

Талшық шоғырларының жалпы теориясы $F \to E \to B$ бар екенін көрсетеді ұзақ нақты дәйектілік гомотопия топтарының

{ displaystyle cdots to pi _ {i} (F) to pi _ {i} (E) to pi _ {i} (B) to pi _ {i-1} (F) ) to cdots. , !}

Осы нақты байлам үшін әр топ гомоморфизм $π мен (S 1) \to π мен (S 3)$ , қосу арқылы туындаған $S 1 \to S 3$ , барлық карталар $π мен (S 1)$ нөлге тең, өйткені төменгі өлшемді сфера $S 1$ жоғары өлшемді ішіндегі нүктеге дейін деформациялануы мүмкін $S 3$ . Бұл жоғалғанға сәйкес келеді $π 1 (S 3)$ . Осылайша ұзақ нақты дәйектілік басталады қысқа дәл тізбектер,

{ displaystyle 0 rightarrow pi _ {i} (S ^ {3}) rightarrow pi _ {i} (S ^ {2}) rightarrow pi _ {i-1} (S ^ {1} ) rightarrow 0. , !}

Бастап $S n +1$ Бұл тоқтата тұру туралы $S n$ , бұл тізбектер Сызат бойынша суспензия гомоморфизмі $π мен -1 (S 1) \to π мен (S 2)$ , изоморфизмдер беру

{ displaystyle pi _ {i} (S ^ {2}) = pi _ {i} (S ^ {3}) oplus pi _ {i-1} (S ^ {1}). , !}

Бастап $π мен -1 (S 1)$ үшін жоғалады $мен$ кем дегенде 3, бірінші жолда мұны көрсетеді $π мен (S 2)$ және $π мен (S 3)$ әрқашан изоморфты $мен$ жоғарыда көрсетілгендей кем дегенде 3 құрайды.

Хопф фибрациясы келесі түрде жасалуы мүмкін: жұп күрделі сандар $(з 0, з 1)$ бірге $| з 0 | 2 + | з 1 | 2 = 1$ 3-сфераны құрайды, және олардың арақатынасы $ з 0 ⁄ з 1$ қақпағын жабыңыз күрделі жазықтық пен шексіздік, 2-сфера. Хопф картасы $S 3 \to S 2$ кез келген осындай жұпты оның қатынасына жібереді.

Сол сияқты, бар жалпыланған Хопф фибрациясы

{ displaystyle S ^ {3} hookrightarrow S ^ {7} rightarrow S ^ {4} , !}

{ displaystyle S ^ {7} hookrightarrow S ^ {15} rightarrow S ^ {8} , !}

жұптарының көмегімен салынған кватерниондар немесе октониондар күрделі сандардың орнына (Хэтчер 2002 ). Мұнда да, $π 3 (S 7)$ және $π 7 (S 15)$ нөлге тең. Осылайша, ұзақ дәл тізбектер қайтадан екі қысқа отбасылық қатынастарды білдіретін бөлінген қысқа дәл дәйектіліктің отбасыларына енеді.

{ displaystyle pi _ {i} (S ^ {4}) = pi _ {i} (S ^ {7}) oplus pi _ {i-1} (S ^ {3}), , !}

{ displaystyle pi _ {i} (S ^ {8}) = pi _ {i} (S ^ {15}) oplus pi _ {i-1} (S ^ {7}). , !}

Үш фибрацияда негізгі кеңістік бар $S n$ бірге $n = 2 м$ , үшін $м = 1, 2, 3$ . Фибрация үшін бар $S 1$ ( $м = 0$ ), бірақ ол үшін емес $S 16$ ( $м = 4$ ) және одан тыс. Қарым-қатынасты жалпылау дегенмен $S 16$ жиі шындық, олар кейде сәтсіздікке ұшырайды; Мысалға,

{ displaystyle pi _ {30} (S ^ {16}) neq pi _ {30} (S ^ {31}) oplus pi _ {29} (S ^ {15}). , !}

Осылайша фибрация болуы мүмкін емес

{ displaystyle S ^ {15} hookrightarrow S ^ {31} rightarrow S ^ {16}, , !}

бірінші тривиальды емес жағдай Hopf өзгермейтін бір проблема, өйткені мұндай фибрация сәтсіз қатынастың шын екендігін білдіреді.

Фреймдік кобордизм

Гомотопиялық топтар топтарымен тығыз байланысты кобордизм 1938 ж Лев Понтрягин гомотопия тобы арасында изоморфизм орнатты $π n + к (S n)$ және топ $Ω жақтаулы к (S n + к)$ кобордизм кластарының ажыратылатын $к$ -субманифольдтары $S n + к$ «жақтаулы», яғни тривиализацияланған қалыпты байлам. Әрбір карта $ƒ : S n + к \to S n$ дифференциалданатын картаға гомотопиялық болып табылады ${ displaystyle M ^ {k} = f ^ {- 1} (1,0, нүкте, 0) ішкі S ^ {n + k}}$ жақтаулы $к$ -өлшемді субманифольд. Мысалға, $π n (S n) = ℤ$ - өлшемді субөлшемді жиектелген коборизм тобы $S n$ , -ке сәйкес олардың нүктелерінің алгебралық қосындысымен есептеледі дәрежесі карталар ${ displaystyle f: S ^ {n} to S ^ {n}}$ . Проекциясы Хопф фибрациясы ${ displaystyle S ^ {3} rightarrow S ^ {2}}$ генераторын білдіреді $π 3 (S 2) = Ω жақтаулы 1 (S 3) = ℤ$ жақтаулы 1 өлшемді ішкі өлшемге сәйкес келеді $S 3$ стандартты ендірумен анықталады ${ displaystyle S ^ {1} ішкі S ^ {3}}$ қалыпты 2 жазықтықтағы байламның стандартты емес тривиализациясымен. 50-ші жылдардың басында (Серре) неғұрлым күрделі алгебралық әдістер пайда болғанға дейін Понтрягин изоморфизмі сфералардың гомотопиялық топтарын есептеудің негізгі құралы болды. 1954 жылы Понтрягин изоморфизмі жалпыланды Рене Том кобордизм кластарының басқа топтарын білдіретін изоморфизмге (мысалы, барлық коллекторларға) гомотопиялық топтар кеңістік және спектрлер. Соңғы жұмыста аргумент, әдетте, гомотопиялық топтар бойынша есептелген кобордизм топтарымен кері қайтарылады (Scorpan 2005 ).

Аяқталу және бұралу

1951 жылы, Жан-Пьер Серре сфералардың гомотопиялық топтары формадан басқаларының барлығы ақырлы болатындығын көрсетті $π n (S n)$ немесе $π 4 n -1 (S 2 n)$ (оң үшін $n$ ), топ көбейтіндісі болғанда шексіз циклдік топ ақырғы абел тобымен (Серре 1951 ). Атап айтқанда, гомотопия топтары олардың көмегімен анықталады $б$ - барлық жай бөлшектерге арналған компоненттер $б$ . 2 компонентті есептеу қиын, және бірнеше тәсілдермен ерекшеленеді $б$ - тақ жай бөлшектерге арналған компоненттер.

Сол қағазда Серре бірінші орынды тапты $б$ -корционың гомотопия топтарында болады $n$ өлшемді сфералар, оны көрсету арқылы $π n + к (S n)$ жоқ $б$ -бұралу егер $к < 2 б - 3$ , және тапсырыстың ерекше топшасы бар $б$ егер $n \geq 3$ және $к = 2 б - 3$ . 2 өлшемді шарлардың жағдайы сәл өзгеше: біріншісі $б$ -қозғалыс үшін пайда болады $к = 2 б - 3 + 1$ . Тақ бұралу жағдайында дәлірек нәтижелер болады; бұл жағдайда тақ және жұп өлшемді сфералар арасында үлкен айырмашылық бар. Егер $б$ тақ қарапайым және $n = 2 мен + 1$ , содан кейін элементтері $б$ -компонент туралы $π n + к (S n)$ ең болмағанда тәртіп бар $б мен$ (Коэн, Мур және Нейсендорфер 1979 ж ). Бұл белгілі бір мағынада ең жақсы нәтиже, өйткені бұл топтарда кейбір мәндер үшін осы тәртіптің элементтері бар екендігі белгілі $к$ (Равенель 2003 ж, б. 4). Сонымен қатар, тұрақты диапазонды мына жағдайда кеңейтуге болады: егер $n$ тақ болса, содан кейін қос суспензия $π к (S n)$ дейін $π к +2 (S n +2)$ изоморфизм болып табылады $б$ -құрамдас бөліктер $к < б (n + 1) - 3$ және теңдік сақталса, эпиморфизм (Серре 1952 ). The $б$ -аралық топтың айналымы $π к +1 (S n +1)$ үлкенірек болуы мүмкін.

Тақ бұралу туралы жоғарыда келтірілген нәтижелер тақ өлшемді сфераларға ғана сәйкес келеді: жұп өлшемді сфералар үшін Джеймс фибрациясы бұраманы тақ сандарда береді $б$ тақ өлшемді сфералар тұрғысынан,

{ displaystyle pi _ {2m + k} (S ^ {2m}) (p) = pi _ {2m + k-1} (S ^ {2m-1}) (p) oplus pi _ { 2m + k} (S ^ {4m-1}) (p)}

(қайда $(б)$ алу дегенді білдіреді $б$ -компонент) (Равенель 2003 ж, б. 25) Бұл дәл дәйектілік Хопф фибрациясынан шыққанға ұқсас; айырмашылығы, ол 2-бұралуды елемеу есебінен болса да, барлық өлшемді сфераларда жұмыс істейді. Тақ және жұп өлшемді сфералар бойынша нәтижелерді біріктіру тұрақсыз гомотопия топтарының тақ бұралуының көп бөлігі тұрақты гомотопия топтарының тақ бұралуымен анықталатынын көрсетеді.

Тұрақты гомотопиялық топтар үшін дәлірек нәтижелер бар $б$ -қозғалыс. Мысалы, егер $к < 2 б (б - 1) - 2$ ең жақсы үшін $б$ содан кейін $б$ - тұрақты гомотопия тобының бастапқы компоненті $π S к$ жоқ болса, жоғалады $к + 1$ бөлінеді $2(б - 1)$ , бұл жағдайда тәртіптің циклділігі болады $б$ (Фукс 2001 ).

J-гомоморфизм

Маңызды топшасы $π n + к (S n)$ , үшін $к \geq 2$ , -ның бейнесі J-гомоморфизм $Дж : π к (СО (n)) \to π n + к (S n)$ , қайда $СО (n)$ дегенді білдіреді арнайы ортогоналды топ (Адамс 1966 ж ). Тұрақты диапазонда $n \geq к +2$ , гомотопия топтары $π к (СО (n))$ тек тәуелді $k (мод 8)$ . Бұл кезең 8 үлгі ретінде белгілі Боттың мерзімділігі және ол сфераның тұрақты гомотопиялық топтарында кескін арқылы көрінеді $Дж$ - гомоморфизм, ол:

2-ші реттік циклдік топ, егер $к$ болып табылады үйлесімді 0 немесе 1-ге дейінмодуль 8;
егер болмашы болса $к$ 8, 2, 4, 5 немесе 6 модуліне сәйкес келеді; және
бөліндісіне тең реттіліктің циклдік тобы $ B 2 м ⁄ 4 м$ , қайда $B 2 м$ Бұл Бернулли нөмірі, егер $к = 4 м - 1 \equiv 3 (мод 4)$ .

Бұл соңғы жағдай ерекше үлкен шектеулі тәртіптің элементтерін ескереді $π n + к (S n)$ үшін осындай мәндер $к$ . Мысалы, тұрақты топтар $π n +11 (S n)$ бөлгіш 504 реттік циклдік топшасы бар $ B 6 ⁄ 12 = 1 ⁄ 504$ .

Шарлардың тұрақты гомотопиялық топтары - бұл кескіннің тікелей қосындысы $Дж$ -омоморфизм және Адамс ядросы $e$ -инварианттық, осы топтардан гомоморфизм $ℚ / ℤ$ . Өрескел айтқанда, бейнесі $Дж$ -омоморфизм - тұрақты гомотоптық топтардың «жақсы түсінілген» немесе «жеңіл» элементтерінің кіші тобы. Бұл жақсы түсінілген элементтер шағын өлшемдердегі сфералардың тұрақты гомотопиялық топтарының көпшілік элементтерін құрайды. Келесі $π S n$ бейнесі бойынша $Дж$ -омоморфизм сфералардың тұрақты гомотопиялық топтарының «қатты» бөлігі болып саналады (Адамс 1966 ж ). (Адамс сонымен қатар белгілі бір тәртіптің 2 элементін енгізді $μ n$ туралы $π S n$ үшін $n Or 1 немесе 2 (мод 8)$ , және бұлар «жақсы түсінілген» деп есептеледі.) Шарлардың гомотопиялық топтарының кестелері кейде «жеңіл» бөлігін қалдырады $мен (Дж)$ орынды үнемдеу үшін.

Сақинаның құрылымы

The тікелей сома

{ displaystyle pi _ { ast} ^ {S} = bigoplus _ {k geq 0} pi _ {k} ^ {S}}

сфералардың тұрақты гомотопиялық топтарының а суперкоммутативті бағаланды сақина, мұнда көбейту кескінделген карталардың құрамы бойынша беріледі, ал нөлдік емес дәреженің кез келген элементі әлсіз (Нишида 1973 ж ); The нилпотенция теоремасы қосулы күрделі кобордизм Нишида теоремасын білдіреді.

Мысалы: Егер $η$ генераторы болып табылады $π S 1$ (2-ші тапсырыс), содан кейін $η 2$ нөлге тең емес және генерациялайды $π S 2$ , және $η 3$ нөлге тең және оның генераторы 12 есе көп $π S 3$ , ал $η 4$ нөлге тең, өйткені топ $π S 4$ маңызды емес.

Егер $f$ және $ж$ және $сағ$ элементтері болып табылады $π S *$ бірге $f ж = 0$ және $ж \cdot сағ = 0$ , бар Toda кронштейні $〈F, g, h〉$ осы элементтердің (Тода 1962 ж ). Toda кронштейні тұрақты гомотопия тобының элементі емес, өйткені ол тек кейбір басқа элементтердің өнімдерін қосқанға дейін анықталады. Хироши Тода гомотопия топтарының көптеген элементтерін белгілеу үшін композиция өнімі мен Toda жақшаларын қолданды. Бірнеше элементтерден тұратын Toda жақшалары бар, олар төменгі Toda жақшалары жоғалған кезде анықталады. Бұл теориясымен параллель Массей өнімдері жылы когомология.Сфералардың тұрақты гомотопиялық топтарының әр элементін композиция өнімдері мен жоғары Toda кронштейндерін Hopf элементтері деп аталатын белгілі элементтер тұрғысынан көрсетуге болады (Коэн 1968 ж ).

Есептеу әдістері

Егер $X$ бұл кез-келген ақырлы қарапайым топтама, ақырғы іргелі тобы бар, атап айтқанда, егер $X$ өлшемі - бұл кем дегенде 2, сосын оның гомотопиялық топтары барлығы ақырындап қалыптасқан абел топтары. Бұл топтарды есептеу үшін оларды көбінесе олардың құрамына қосады $б$ - компоненттер әрқайсысы үшін қарапайым $б$ және осылардың әрқайсысын есептеу $б$ -топтар бөлек. Сфералардың алғашқы бірнеше гомотопиялық топтарын жоғарыдағы идеялардың уақытша вариацияларын қолдана отырып есептеуге болады; бұдан тыс, сфералардың гомотопиялық топтарын есептеу әдістерінің көпшілігі негізделген спектрлік тізбектер (Равенель 2003 ж ). Әдетте бұл қолайлы фибрациялар салу және гомотопия топтарының ұзын-сонар тізбегін алу арқылы жасалады; спектрлік реттілік - бұл осы процесс тудыратын күрделі ақпаратты жүйелеу тәсілі.

«Гомотопиялық топтарды жою әдісі», Картан мен Серреге байланысты (1952a, 1952b ) бірнеше рет қолдануды қамтиды Хоревич теоремасы бірінші тривиальды емес гомотопия тобын есептеу, содан кейін оны фибрациямен өлтіру (жою) Эйленберг – МакЛейн кеңістігі. Негізінде бұл кез-келген ақырлы қарапайым байланысқан барлық гомотопиялық топтарды есептеудің тиімді алгоритмін береді, бірақ іс жүзінде қарапайым емес бірнеше гомотопия топтарынан басқасын есептеу үшін пайдалану өте қиын, өйткені қарапайым комплекс әр уақыт сайын күрделене түседі біреуі гомотопия тобын өлтіреді.
The Серрлік спектрлік реттілік Серре бұрын аталған кейбір нәтижелерді дәлелдеу үшін қолданды. Ол бұл фактіні қолданды цикл кеңістігі Жақсы жүретін кеңістіктің барлық гомотопиялық топтарын 1-ге төмендетеді, сондықтан $n$ кеңістіктің гомотопиялық тобы $X$ оның алғашқы гомотопиялық тобы ( $n -1$ ) - бірінші гомологиялық топқа тең болатын қайталанатын цикл кеңістігі $n -1$ ) - Гуревиц теоремасы бойынша цикл кеңістігін. Бұл гомотопия топтарының есебін азайтады $X$ оның қайталанатын циклдік кеңістігінің гомологиялық топтарын есептеуге. Серре спектрлік тізбегі кеңістіктің гомологиясын оның циклдік кеңістігімен байланыстырады, сондықтан кейде циклдік кеңістіктердің гомологиясын есептеу үшін қолдануға болады. Серре спектрлік тізбегі көптеген нөлдік емес дифференциалдарға ұмтылады, оларды басқару қиын, ал жоғары гомотопиялық топтар үшін тым көп түсініксіздіктер пайда болады. Демек, оны неғұрлым аз дифференциалды, неғұрлым көбірек ақпарат беретін спектрлік бірізділіктер ауыстырды.
The EHP спектрлік реттілігі көптеген сфералардың гомотопиялық топтарын есептеу үшін қолдануға болады; бұл Тода гомотопия топтарын есептеу кезінде қолданған кейбір фибрацияларға негізделген (Mahowald 2001, Тода 1962 ж ).
Классикалық Адамс спектрлік реттілігі бар $E 2$ берілген термин Қосымша топтар $Қосымша *,* A (б) (ℤ б, ℤ б)$ режимнен тыс $б$ Steenrod алгебрасы $A (б)$ , және тығыз байланысты нәрсеге жақындайды $б$ - тұрақты гомотопия топтарының компоненті. Адамс спектралды тізбегінің бастапқы шарттарын есептеу өте қиын: бұл кейде көмекші спектралды тізбектің көмегімен жасалады Мамыр спектрлік реттілігі (Равенель 2003 ж, 67-74 б.).
Тақ қарапайым кезде Адамс - Новиков спектрлік реттілігі кәдімгі когомология режимін алмастыратын Адамс спектрлік реттілігінің қуатты нұсқасы $б$ сияқты жалпыланған когомологиялық теориямен күрделі кобордизм немесе, әдетте, оның бір бөлігі деп аталады Браун - Петерсон когомологиясы. Бастапқы мерзімді есептеу өте қиын; Мұны істеу үшін хроматикалық спектрлік реттілік (Равенель 2003 ж, 5-тарау).

Борромдық сақиналар

Соңғы көзқарастың өзгеруі Адам-Новиков спектрлік тізбегінің Браун-Петерсон когомологиясы үшін кері нұсқасын қолданады: шегі белгілі, ал бастапқы терминдер табуға тырысып жатқан сфералардың белгісіз тұрақты гомотопиялық топтарын қамтиды (Кохман (1990) ).

Мотивті Адамс спектрлік реттілігі сфералардың мотивті тұрақты гомотопиялық топтарына жақындайды. Күрделі сандардағы мотивті классикалық санмен салыстыра отырып, Исаксен 59 діңге дейінгі есептеулердің дәлелі (Исаксен (2019) ). Атап айтқанда, Исаксен 56 діңінің кокерін есептейді, демек, сфера Кервейр-Милнордың жұмысы бойынша $S 56$ ерекше тегіс құрылымға ие.

Кан-Придди картасы шексіз нақты проективті кеңістіктің суспензия спектрінен бастап сфера спектріне дейінгі Адамс спектрлік тізбектерінің картасын шығарады. Бұл Адамсқа қатысты сурьективті болып табылады $E 2$ позитивті сабақтардағы парақ. Ван мен Сю индуктивті түрде спектр спектрі үшін Адамс дифференциалдарын шығару үшін Кан - Придди картасын қолданып әдісті дамытады (Wang & Xu (2017) ). Олар бірнеше Адамс дифференциалдары үшін егжей-тегжейлі дәлел келтіреді және 60 және 61 діңгектерді есептейді. Олардың нәтижесінің геометриялық қорытындысы - сфера $S 61$ бірегей тегіс құрылымға ие, және бұл тақ өлшемді соңғы - жалғыз ғана $S 1$ , $S 3$ , $S 5$ , және $S 61$ .

Мотивті кофе $τ$ әдіс әзірге ең тиімді әдіс болып саналады. Сынып $τ$ бұл мотивтік сфералар арасындағы карта. Георге - Ван - Сю теоремасы Адамның мотивті спектральды тізбегін кофе үшін анықтайды $τ$ үшін алгебралық Новиков спектрлік реттілігі $BP *$ , бұл кофе үшін Адамсқа мотивті дифференциалдарды шығаруға мүмкіндік береді $τ$ таза алгебралық мәліметтерден. Осыдан кейін Адамның мотивтік сфераға деген мотивтік дифференциалдарын кері қайтарып алуға болады, содан кейін оларды классикалық сфераға қарай жылжыту үшін Betti іске асыру функциясын қолдана аласыз. Осы әдісті қолдана отырып, Isaksen, Wang & Xu (2020) 90 сабаққа дейін есептейді.

-Ның гомотопиялық топтарын есептеу $S 2$ дейін азайтылды комбинаторлық топ теориясы сұрақ. Беррик және басқалар. (2006) осы гомотопиялық топтарды Брунниан өру топтары туралы $S 2$ . Осы сәйкестікке сәйкес, барлық бейресми элементтер $π n (S 2)$ үшін $n > 2$ ұсынуы мүмкін брунниандық өру аяқталды $S 2$ бұл дискінің үстінен Brunnian емес $Д. 2$ . Мысалы, Хопф картасы $S 3 \to S 2$ сәйкес келеді Борромдық сақиналар.

Қолданбалар

The орам нөмірі (-ның бүтін санына сәйкес келеді $π 1 (S 1) = ℤ)$ дәлелдеу үшін қолдануға болады алгебраның негізгі теоремасы, бұл кез-келген тұрақты емес күрделі көпмүшелік нөлге ие.
Бұл факт $π n -1 (S n -1) = ℤ$ дегенді білдіреді Брауэрдің нүктелік теоремасы бастап әр үздіксіз карта $n$ -өлшемді доп өзіне бекітілген нүкте бар.
Шарлардың тұрақты гомотопиялық топтары маңызды сингулярлық теориясы, сингулярлық нүктелерінің құрылымын зерттейтін тегіс карталар немесе алгебралық сорттары. Мұндай ерекшеліктер келесідей туындайды сыни нүктелер тегіс карталар $ℝ м$ дейін $ℝ n$ . Мұндай картаның критикалық нүктесінің жанындағы геометрияны. Элементі арқылы сипаттауға болады $π м -1 (S n -1)$ , кішігірім жолын қарастыру арқылы $м - 1$ топологияға айналады $n - 1$ айналасындағы сфера сыни құндылық.
Шарлардың үшінші тұрақты гомотопиялық тобы 24 ретті цикл екендігі алдымен дәлелденді Владимир Рохлин, білдіреді Рохлин теоремасы бұл қолтаңба ықшам тегіс айналдыру 4-коллекторлы 16-ға бөлінеді (Scorpan 2005 ).
Топты сипаттау үшін сфералардың тұрақты гомотопиялық топтары қолданылады $Θ n$ туралы h-кобордизм бағдарланған гомотопия сыныптары $n$ -сфералар (үшін $n \neq 4$ , бұл тегіс құрылымдар қосулы $n$ -сфералар, бағдар сақтайтын дифеоморфизмге дейін; осы топтың тривиальды емес элементтері ұсынылған экзотикалық сфералар ). Дәлірек айтсақ, инъекциялық карта бар

{ displaystyle Theta _ {n} / bP_ {n + 1} to pi _ {n} ^ {S} / J, , !}

қайда $bP n +1$ - а-ны байланыстыратын гомотопиялық сфералармен ұсынылған циклдік топша параллельді коллектор, $π S n$ болып табылады $n$ сфералардың тұрақты гомотопиялық тобы және $Дж$ бейнесі болып табылады $Дж$ -омоморфизм. Егер бұл болмаса, бұл изоморфизм $n$ формада болады $2 к -2$ , бұл жағдайда кескін 1 немесе 2 индексіне ие болады (Kervaire & Milnor 1963 ж ).

Топтар $Θ n$ жоғарыда, демек, сфералардың тұрақты гомотопиялық топтары топологиялық немесе мүмкін тегіс құрылымдарды жіктеуде қолданылады кескінді сызықтық коллектор (Scorpan 2005 ).
The Керверердің өзгермейтін мәселесі, туралы коллекторлардың болуы туралы Керваир инвариантты 1 өлшемі $2 к - 2$ сфералардың тұрақты гомотопиялық топтары туралы сұраққа дейін қысқартуға болады. Мысалы, 48-ге дейінгі тұрақты гомотопиялық топтар туралы білімдер Керверердің инвариантты мәселесін өлшемде шешу үшін қолданылды $26 - 2 = 62$ (Баррат, Джонс және Маховальд 1984 ж ). (Бұл ең кіші мәні болды $к$ сұрақ сол кезде ашық болды.)
The Баррат-Приди теоремасы сфералардың тұрақты гомотопиялық топтарын -мен өрнектеуге болады дейді плюс құрылыс қолданылды кеңістікті жіктеу туралы симметриялық топ, K теориясын анықтауға әкеледі бір элементі бар өріс тұрақты гомотопиялық топтармен (Deitmar 2006 ).

Гомотопия топтарының кестесі

Сфералардың гомотопиялық топтарының кестелерін көрсету ыңғайлы $π n + к (S n)$ .

Келесі кестеде көптеген топтар көрсетілген $π n + к (S n)$ . (Бұл кестелер негізге алынған сфералардың гомотопиялық топтарының кестесі жылы Тода (1962).) Тұрақты гомотопиялық топтар көк түспен, тұрақсыздар қызыл түспен ерекшеленеді. Each homotopy group is the product of the cyclic groups of the orders given in the table, using the following conventions:

The entry "⋅" denotes the trivial group.
Where the entry is an бүтін, $м$ , the homotopy group is the циклдік топ of that order (generally written $ℤ м$ ).
Where the entry is ∞, the homotopy group is the шексіз циклдік топ, $ℤ$ .
Where entry is a product, the homotopy group is the декарттық өнім (баламалы, тікелей сома ) of the cyclic groups of those orders. Powers indicate repeated products. (Note that when $а$ және $б$ жоқ жалпы фактор, $ℤ а \timesℤ б$ болып табылады изоморфты дейін $ℤ аб$ .)

Мысал: $π 19 (S 10) = π 9+10 (S 10) = ℤ\timesℤ 2 \timesℤ 2 \timesℤ 2$ деп белгіленеді $\infty\cdot2 3$ in the table.

Sⁿ →	S⁰	S¹	S²	S³	S⁴	S⁵	S⁶	S⁷	S⁸	S⁹	S¹⁰	S¹¹	S¹²	S^≥13
π_<n(Sⁿ)		⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π_0+n(Sⁿ)	2	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞
π_1+n(Sⁿ)	⋅	⋅	∞	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π_2+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π_3+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2	12	∞⋅12	24	24	24	24	24	24	24	24	24
π_4+n(Sⁿ)	⋅	⋅	12	2	2²	2	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π_5+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2	2	2²	2	∞	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π_6+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2	3	24⋅3	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π_7+n(Sⁿ)	⋅	⋅	3	15	15	30	60	120	∞⋅120	240	240	240	240	240
π_8+n(Sⁿ)	⋅	⋅	15	2	2	2	24⋅2	2³	2⁴	2³	2²	2²	2²	2²
π_9+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2	2²	2³	2³	2³	2⁴	2⁵	2⁴	∞⋅2³	2³	2³	2³
π_10+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2²	12⋅2	120⋅12⋅2	72⋅2	72⋅2	24⋅2	24²⋅2	24⋅2	12⋅2	6⋅2	6	6
π_11+n(Sⁿ)	⋅	⋅	12⋅2	84⋅2²	84⋅2⁵	504⋅2²	504⋅4	504⋅2	504⋅2	504⋅2	504	504	∞⋅504	504
π_12+n(Sⁿ)	⋅	⋅	84⋅2²	2²	2⁶	2³	240	⋅	⋅	⋅	12	2	2²	Қараңыз төменде
π_13+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2²	6	24⋅6⋅2	6⋅2	6	6	6⋅2	6	6	6⋅2	6⋅2
π_14+n(Sⁿ)	⋅	⋅	6	30	2520⋅6⋅2	6⋅2	12⋅2	24⋅4	240⋅24⋅4	16⋅4	16⋅2	16⋅2	48⋅4⋅2
π_15+n(Sⁿ)	⋅	⋅	30	30	30	30⋅2	60⋅6	120⋅2³	120⋅2⁵	240⋅2³	240⋅2²	240⋅2	240⋅2
π_16+n(Sⁿ)	⋅	⋅	30	6⋅2	6²⋅2	2²	504⋅2²	2⁴	2⁷	2⁴	240⋅2	2	2
π_17+n(Sⁿ)	⋅	⋅	6⋅2	12⋅2²	24⋅12⋅4⋅2²	4⋅2²	2⁴	2⁴	6⋅2⁴	2⁴	2³	2³	2⁴
π_18+n(Sⁿ)	⋅	⋅	12⋅2²	12⋅2²	120⋅12⋅2⁵	24⋅2²	24⋅6⋅2	24⋅2	504⋅24⋅2	24⋅2	24⋅2²	8⋅4⋅2	480⋅4²⋅2
π_19+n(Sⁿ)	⋅	⋅	12⋅2²	132⋅2	132⋅2⁵	264⋅2	1056⋅8	264⋅2	264⋅2	264⋅2	264⋅6	264⋅2³	264⋅2⁵

Sⁿ →	S¹³	S¹⁴	S¹⁵	S¹⁶	S¹⁷	S¹⁸	S¹⁹	S²⁰	S^≥21
π_12+n(Sⁿ)	2	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π_13+n(Sⁿ)	6	∞⋅3	3	3	3	3	3	3	3
π_14+n(Sⁿ)	16⋅2	8⋅2	4⋅2	2²	2²	2²	2²	2²	2²
π_15+n(Sⁿ)	480⋅2	480⋅2	480⋅2	∞⋅480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2
π_16+n(Sⁿ)	2	24⋅2	2³	2⁴	2³	2²	2²	2²	2²
π_17+n(Sⁿ)	2⁴	2⁴	2⁵	2⁶	2⁵	∞⋅2⁴	2⁴	2⁴	2⁴
π_18+n(Sⁿ)	8²⋅2	8²⋅2	8²⋅2	24⋅8²⋅2	8²⋅2	8⋅4⋅2	8⋅2²	8⋅2	8⋅2
π_19+n(Sⁿ)	264⋅2³	264⋅4⋅2	264⋅2²	264⋅2²	264⋅2²	264⋅2	264⋅2	∞⋅264⋅2	264⋅2

Table of stable homotopy groups

The stable homotopy groups $π к$ are the product of cyclic groups of the infinite or prime power ordersshown in the table. (For largely historical reasons, stable homotopy groups are usually given as products of cyclic groups of prime power order, while tables of unstable homotopy groups often give them as products of the smallest number of cyclic groups.) The main complexity is in the 2-, 3-, and 5-components: for $б > 5$ , $б$ -components in the range of the table are accounted for by the $Дж$ -homomorphism and are cyclic of order $б$ егер $2(б -1)$ бөледі $к +1$ and 0 otherwise (Fuks 2001 ). (The 2-components can be found in Isaksen, Wang & Xu (2020), and the 3- and 5-components in Ravenel (2003).) The mod 8 behavior of the table comes from Боттың мерзімділігі арқылы J-гомоморфизм, whose image is underlined.

n →	0	1	2	3	4	5	6	7
π_0+n^S	∞	2	2	8⋅3	⋅	⋅	2	16⋅3⋅5
π_8+n^S	2⋅2	2⋅2²	2⋅3	8⋅9⋅7	⋅	3	2²	32⋅2⋅3⋅5
π_16+n^S	2⋅2	2⋅2³	8⋅2	8⋅2⋅3⋅11	8⋅3	2²	2⋅2	16⋅8⋅2⋅9⋅3⋅5⋅7⋅13
π_24+n^S	2⋅2	2⋅2	2²⋅3	8⋅3	2	3	2⋅3	64⋅2²⋅3⋅5⋅17
π_32+n^S	2⋅2³	2⋅2⁴	4⋅2³	8⋅2²⋅27⋅7⋅19	2⋅3	2²⋅3	4⋅2⋅3⋅5	16⋅2⁵⋅3⋅3⋅25⋅11
π_40+n^S	2⋅4⋅2⁴⋅3	2⋅2⁴	8⋅2²⋅3	8⋅3⋅23	8	16⋅2³⋅9⋅5	2⁴⋅3	32⋅4⋅2³⋅9⋅3⋅5⋅7⋅13
π_48+n^S	2⋅4⋅2³	2⋅2⋅3	2³⋅3	8⋅8⋅2⋅3	2³⋅3	2⁴	4⋅2	16⋅3⋅3⋅5⋅29
π_56+n^S	2	2⋅2²	2²	8⋅2²⋅9⋅7⋅11⋅31	4	⋅	2⁴⋅3	128⋅4⋅2²⋅3⋅5⋅17
π_64+n^S	2⋅4⋅2⁵	2⋅4⋅2⁸⋅3	8⋅2⁶	8⋅4⋅2³⋅3	2³⋅3	2⁴	4²⋅2⁵	16⋅8⋅4⋅2⁶⋅27⋅5⋅7⋅13⋅19⋅37
π_72+n^S	2⋅2⁷⋅3	2⋅2⁶	4³⋅2⋅3	8⋅2⋅9⋅3	4⋅2²⋅5	4⋅2⁵	4²⋅2³⋅3	32⋅4⋅2⁶⋅3⋅25⋅11⋅41

Әдебиеттер тізімі

Адамс, Дж. Фрэнк (1966), "On the groups J(X) IV", Топология, 5 (1): 21–71, дои:10.1016/0040-9383(66)90004-8. Сондай-ақ қараңыз Adams, J (1968), "Correction", Топология, 7 (3): 331, дои:10.1016/0040-9383(68)90010-4.
Barratt, Michael G.; Jones, John D. S.; Mahowald, Mark E. (1984), "Relations amongst Toda brackets and the Kervaire invariant in dimension 62", Лондон математикалық қоғамының журналы, 30 (3): 533–550, CiteSeerX 10.1.1.212.1163, дои:10.1112/jlms/s2-30.3.533, МЫРЗА 0810962.
Berrick, A. J.; Коэн, Фредерик Р .; Wong, Yan Loi; Wu, Jie (2006), "Configurations, braids, and homotopy groups", Америка математикалық қоғамының журналы, 19 (2): 265–326, дои:10.1090/S0894-0347-05-00507-2, МЫРЗА 2188127.
Картан, Анри; Серре, Жан-Пьер (1952a), "Espaces fibrés et groupes d'homotopie. I. Constructions générales", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Серия I, Париж, 234: 288–290, ISSN 0764-4442, МЫРЗА 0046045.
Картан, Анри; Серре, Жан-Пьер (1952b), "Espaces fibrés et groupes d'homotopie. II. Applications", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Серия I, Париж, 234: 393–395, ISSN 0764-4442, МЫРЗА 0046046.
Коэн, Фредерик Р .; Мур, Джон С.; Neisendorfer, Joseph A. (November 1979), "The double suspension and exponents of the homotopy groups of spheres", Математика жылнамалары, Екінші серия, 110 (3): 549–565, дои:10.2307/1971238, JSTOR 1971238, МЫРЗА 0554384.
Cohen, Joel M. (1968), "The decomposition of stable homotopy", Математика жылнамалары, Екінші серия, 87 (2): 305–320, дои:10.2307/1970586, JSTOR 1970586, МЫРЗА 0231377, PMC 224450, PMID 16591550.
Deitmar, Anton (2006), "Remarks on zeta functions and Қ-theory over F₁", Жапония академиясы. Іс жүргізу. Математика ғылымдары сериясы, 82 (8): 141–146, arXiv:math/0605429, дои:10.3792/pjaa.82.141, ISSN 0386-2194, МЫРЗА 2279281.
Fuks, Dmitry B. (2001) [1994], "Spheres, homotopy groups of the", Математика энциклопедиясы, EMS Press.
Isaksen, Daniel C. (2019), "Stable Stems", Американдық математикалық қоғам туралы естеліктер, 262 (1269), дои:10.1090/memo/1269, ISBN 978-1-4704-3788-6, МЫРЗА 4046815.
Isaksen, Daniel C.; Wang, Guozhen; Xu, Zhouli (2020), "More Stable stems", arXiv:2001.04511 [math.AT ].
Керваир, Мишель А.; Милнор, Джон В. (1963), «Гомотопия сфераларының топтары: I», Математика жылнамалары, 77 (3): 504–537, дои:10.2307/1970128, JSTOR 1970128, МЫРЗА 0148075.
Kochman, Stanley O. (1990), Шарлардың тұрақты гомотопиялық топтары. Компьютерлік тәсіл, Математикадан дәрістер, 1423, Берлин: Шпрингер-Верлаг, дои:10.1007/BFb0083795, ISBN 978-3-540-52468-7, МЫРЗА 1052407 Also see the corrections in (Kochman & Mahowald 1995 )
Kochman, Stanley O.; Mahowald, Mark E. (1995), "On the computation of stable stems", The Cech centennial (Boston, MA, 1993), Contemp. Математика., 181, Providence, R.I .: Amer. Математика. Soc., pp. 299–316, ISBN 978-0-8218-0296-0, МЫРЗА 1320997
Mahowald, Mark (1998). "Toward a global understanding of π_∗(Sⁿ)". Халықаралық математиктер конгресінің материалдары (Берлин, 1998). Documenta Mathematica, Extra Volume. II. pp. 465–472. МЫРЗА 1648096..
Mahowald, Mark (2001) [1994], "EHP spectral sequence", Математика энциклопедиясы, EMS Press.
Milnor, John W. (2011), "Differential topology forty-six years later" (PDF), Американдық математикалық қоғамның хабарламалары, 58 (6): 804–809
Нишида, Горо (1973), «Шарлардың тұрақты гомотоптық топтары элементтерінің әлсіздігі», Жапонияның математикалық қоғамының журналы, 25 (4): 707–732, дои:10.2969 / jmsj / 02540707, ISSN 0025-5645, МЫРЗА 0341485.
Pontrjagin, Lev, Тегіс коллекторлар және олардың гомотопия теориясындағы қолданылуы Американдық математикалық қоғамның аудармалары, сер. 2, т. 11, 1–114 бб (1959)
Ravenel, Douglas C. (2003), Кешенді кобордизм және сфералардың тұрақты гомотопиялық топтары (2-ші басылым), AMS Челси, ISBN 978-0-8218-2967-7, МЫРЗА 0860042.
Scorpan, Alexandru (2005), 4-коллекторлы жабайы әлем, Американдық математикалық қоғам, ISBN 978-0-8218-3749-8, МЫРЗА 2136212.
Serre, Jean-Pierre (1951), "Homologie singulière des espaces fibrés. Applications", Математика жылнамалары, Екінші серия, 54 (3): 425–505, дои:10.2307/1969485, JSTOR 1969485, МЫРЗА 0045386.
Serre, Jean-Pierre (1952), "Sur la suspension de Freudenthal", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Серия I, Париж, 234: 1340–1342, ISSN 0764-4442, МЫРЗА 0046048.
Toda, Hirosi (1962), Composition methods in homotopy groups of spheres, Математика зерттеулерінің жылнамалары, 49, Принстон университетінің баспасы, ISBN 978-0-691-09586-8, МЫРЗА 0143217.
Wang, Guozhen; Xu, Zhouli (2017), "The triviality of the 61-stem in the stable homotopy groups of spheres", Математика жылнамалары, 186 (2): 501–580, arXiv:1601.02184, дои:10.4007/annals.2017.186.2.3, МЫРЗА 3702672.

General algebraic topology references

Хэтчер, Аллен (2002), Алгебралық топология, Кембридж университетінің баспасы, ISBN 978-0-521-79540-1, МЫРЗА 1867354.
Мамыр, Дж. Питер (1999b), A Concise Course in Algebraic Topology, Chicago lectures in mathematics (revised ed.), Чикаго Университеті, ISBN 978-0-226-51183-2, МЫРЗА 1702278.

Historical papers

Čech, Eduard (1932), "Höherdimensionale Homotopiegruppen", Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Zürich.
Хопф, Хайнц (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen, 104 (1): 637–665, дои:10.1007 / BF01457962.
Мамыр, Дж. Питер (1999a), "Stable Algebraic Topology 1945–1966", in I. M. James (ed.), Топология тарихы, Elsevier Science, pp. 665–723, ISBN 978-0-444-82375-5.

Сыртқы сілтемелер

Баез, Джон (21 April 1997), This week's finds in mathematical physics 102, алынды 2007-10-09
Хэтчер, Аллен, Шарлардың тұрақты гомотопиялық топтары, алынды 2007-10-20
О'Коннор, Дж. Дж .; Робертсон, Э.Ф. (1996), A history of Topology, алынды 2007-11-14 жылы MacTutor Математика тарихы мұрағаты.
О'Коннор, Дж. Дж .; Robertson, E. F. (2001), Marie Ennemond Camille Jordan, алынды 2007-11-14 in MacTutor History of Mathematics archive.

Шарлардың гомотопиялық топтары - Homotopy groups of spheres

Фон

n-сфера

Гомотопия тобы

Төмен өлшемді мысалдар

π1(S1) = ℤ

π2(S2) = ℤ

π1(S2) = 0

π2(S1) = 0

π3(S2) = ℤ

Тарих

Жалпы теория

Кесте

Тұрақты және тұрақсыз топтар

Хопф фибрациясы

Фреймдік кобордизм

Аяқталу және бұралу

J-гомоморфизм

Сақинаның құрылымы

Есептеу әдістері

Қолданбалар

Гомотопия топтарының кестесі

Table of stable homotopy groups

Әдебиеттер тізімі

General algebraic topology references

Historical papers

Сыртқы сілтемелер

$n$ -сфера

$π 1 (S 1) = ℤ$

$π 2 (S 2) = ℤ$

$π 1 (S 2) = 0$

$π 2 (S 1) = 0$

$π 3 (S 2) = ℤ$