Келісім қатынасы - Congruence relation

Бұл мақалада а қолданылған әдебиеттер тізімі, байланысты оқу немесе сыртқы сілтемелер, бірақ оның көздері түсініксіз болып қалады, өйткені ол жетіспейді кірістірілген дәйексөздер. Көмектесіңізші жақсарту осы мақала таныстыру дәлірек дәйексөздер. (Ақпан 2015) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Жылы абстрактілі алгебра, а үйлесімділік қатынасы (немесе жай үйлесімділік) болып табылады эквиваленттік қатынас бойынша алгебралық құрылым (мысалы топ, сақина, немесе векторлық кеңістік ) эквивалентті элементтермен жасалатын алгебралық амалдар эквивалентті элементтер береді деген мағынадағы құрылымға сәйкес келеді.^[1] Әрбір сәйкестік қатынастарының сәйкес келетіні болады квитент құрылымы, оның элементтері эквиваленттік сыныптар (немесе үйлесімділік сабақтары) қатынас үшін.^[2]

Негізгі мысал

Сәйкестік қатынастарының прототиптік мысалы болып табылады үйлесімділік модулі ${ displaystyle n}$ жиынтығында бүтін сандар. Берілгені үшін оң бүтін сан ${ displaystyle n}$, екі бүтін сан ${ displaystyle a}$ және ${ displaystyle b}$ деп аталады үйлесімді модуль ${ displaystyle n}$, жазылған

${ displaystyle a equiv b { pmod {n}}}$

егер ${ displaystyle a-b}$ болып табылады бөлінетін арқылы ${ displaystyle n}$ (немесе баламалы болса ${ displaystyle a}$ және ${ displaystyle b}$ бірдей болады қалдық бөлінген кезде ${ displaystyle n}$).

Мысалға, ${ displaystyle 37}$ және ${ displaystyle 57}$ үйлесімді модуль болып табылады ${ displaystyle 10}$,

${ displaystyle 37 equiv 57 { pmod {10}}}$

бері ${ displaystyle 37-57 = -20}$ 10-ға еселік, немесе екеуінен бастап эквивалентті ${ displaystyle 37}$ және ${ displaystyle 57}$ қалғаны бар ${ displaystyle 7}$ бөлінген кезде ${ displaystyle 10}$.

Конгрессия модулі ${ displaystyle n}$ (тұрақты үшін ${ displaystyle n}$) екеуімен де үйлесімді қосу және көбейту бүтін сандарда. Бұл,

егер

${ displaystyle a_ {1} equiv a_ {2} { pmod {n}}}$ және ${ displaystyle b_ {1} equiv b_ {2} { pmod {n}}}$

содан кейін

${ displaystyle a_ {1} + b_ {1} equiv a_ {2} + b_ {2} { pmod {n}}}$ және ${ displaystyle a_ {1} b_ {1} equiv a_ {2} b_ {2} { pmod {n}}}$

Сәйкес қосу және көбейту эквиваленттік кластар ретінде белгілі модульдік арифметика. Абстрактілі алгебра тұрғысынан, конгруенттік модуль ${ displaystyle n}$ бойынша сәйкестік қатынасы болып табылады сақина бүтін сандар және арифметикалық модуль ${ displaystyle n}$ сәйкес келеді сақина.

Анықтама

Сәйкестіктің анықтамасы түріне байланысты алгебралық құрылым қарастырылуда. Сәйкестіктің нақты анықтамаларын жасауға болады топтар, сақиналар, векторлық кеңістіктер, модульдер, жартылай топтар, торлар және т.б. Жалпы тақырып - бұл конгруэнттілік эквиваленттік қатынас деген мағынада алгебралық құрылымға сәйкес келетін алгебралық объектіде операциялар болып табылады жақсы анықталған үстінде эквиваленттік сыныптар.

Мысалы, топ - а-дан тұратын алгебралық объект орнатылды синглмен бірге екілік операция, белгілі бір аксиомаларды қанағаттандырады. Егер ${ displaystyle G}$ - бұл жұмысы бар топ ${ displaystyle ast}$, а үйлесімділік қатынасы қосулы ${ displaystyle G}$ эквиваленттік қатынас болып табылады ${ displaystyle equiv}$ элементтері бойынша ${ displaystyle G}$ қанағаттанарлық

${ displaystyle g_ {1} equiv g_ {2} ,}$ және ${ displaystyle , h_ {1} equiv h_ {2} g_ {1} ast h_ {1} equiv g_ {2} ast h_ {2}} білдіреді$

барлығына ${ displaystyle g_ {1}}$, ${ displaystyle g_ {2}}$, ${ displaystyle h_ {1}}$, ${ displaystyle h_ {2} in G}$. Топтың сәйкестігі үшін, бар эквиваленттік класы сәйкестендіру элементі әрқашан қалыпты топша, және басқа эквиваленттік сыныптар болып табылады ғарыш осы кіші топтың Бұл эквиваленттік сыныптар бірге a элементтері болып табылады квоталық топ.

Алгебралық құрылымға бірнеше амалдар кіргенде, үйлесімділік қатынастары әр амалға сәйкес келуі қажет. Мысалы, сақина үстеуді де, көбейтуді де иеленеді, ал сақинадағы сәйкестік қатынас қанағаттандыруы керек

${ displaystyle r_ {1} + s_ {1} equiv r_ {2} + s_ {2} { text {and}} r_ {1} s_ {1} equiv r_ {2} s_ {2}}$

қашан болса да ${ displaystyle r_ {1} equiv r_ {2} { text {and}} s_ {1} equiv s_ {2}}$. Сақинаға сәйкес келу үшін 0 болатын эквиваленттілік класы әрқашан екі жақты болады идеалды, және эквиваленттік кластар жиынтығындағы екі амал сәйкес келетін сақинаны анықтайды.

Жалпы сәйкестік қатынасы түсінігіне контексте ресми анықтама беруге болады әмбебап алгебра, барлығына ортақ идеяларды зерттейтін сала алгебралық құрылымдар. Бұл параметрде сәйкестік қатынас эквиваленттік қатынас болып табылады ${ displaystyle equiv}$ қанағаттандыратын алгебралық құрылым туралы

${ displaystyle mu left (a_ {1} { text {,}} a_ {2} { text {,}} ldots {} { text {,}} a_ {n} right) equiv mu сол жақ (a_ {1} '{ text {,}} a_ {2}' { text {,}} ldots {} { text {,}} a_ {n} ' right)}$

әрқайсысы үшін ${ displaystyle n}$-ария операциясы ${ displaystyle mu}$ және барлық элементтер ${ displaystyle a_ {1} { text {,}} ldots {} { text {,}} a_ {n} { text {,}} a_ {1} '{ text {,}} ldots {} { text {,}} a_ {n} '}$ осындай ${ displaystyle a_ {i} equiv a_ {i} '}$ әрқайсысы үшін ${ displaystyle i = 1, ..., n.}$

Гомоморфизмдермен байланыс

Егер ${ displaystyle f: A , rightarrow B}$ Бұл гомоморфизм екі алгебралық құрылым арасында (мысалы топтардың гомоморфизмі немесе а сызықтық карта арасында векторлық кеңістіктер ), содан кейін қатынас ${ displaystyle R}$ арқылы анықталады

${ displaystyle a_ {1} , R , a_ {2}}$ егер және егер болса ${ displaystyle f left (a_ {1} right) = f сол (a_ {2} right)}$

үйлесімділік қатынасы болып табылады. Бойынша бірінші изоморфизм теоремасы, сурет туралы A астында ${ displaystyle f}$ құрылымы болып табылады B изоморфты дегенге дейін A осы үйлесімділік бойынша.

Топтардың келісімдері және қалыпты топшалар мен идеалдар

Нақты жағдайда топтар, үйлесімділік қатынастарын қарапайым түрде келесі түрде сипаттауға болады: Егер G топ болып табылады (бірге сәйкестендіру элементі e және жұмыс *) және ~ а екілік қатынас қосулы G, онда ~ кез келген уақытта сәйкес келеді:

1. Кез келген элемент а туралы G, а ~ а (рефлексивтілік);
2. Кез келген элементтер берілген а және б туралы G, егер а ~ б, содан кейін б ~ а (симметрия);
3. Кез келген элементтер берілген а, б, және c туралы G, егер а ~ б және б ~ c, содан кейін а ~ c (өтімділік);
4. Кез келген элементтер берілген а, а ' , б, және b ' туралы G, егер а ~ а ' және б ~ b ' , содан кейін а * б ~ а ' * b ' ;
5. Кез келген элементтер берілген а және а ' туралы G, егер а ~ а ' , содан кейін а⁻¹ ~ а ' ⁻¹ (бұл шынымен қалған төртеуінен дәлелденуі мүмкін, сондықтан өте қажет).

1, 2 және 3-шарттарда ~ дегенді an деп айтады эквиваленттік қатынас.

Сәйкестік ~ толығымен {жиынымен анықталадыа ∈ G : а ~ e} элементтерінің G сәйкестендіру элементіне сәйкес келетін және бұл жиынтық а қалыпты топша.Әсіресе, а ~ б егер және егер болса б⁻¹ * а ~ e.Сондықтан адамдар топтардағы сәйкестіктер туралы айтудың орнына, әдетте, олардың кіші топтары тұрғысынан сөйлейді; іс жүзінде кез-келген сәйкестік кейбір қалыпты кіші топтарға сәйкес келеді G.

Сақиналардың идеалдары және жалпы жағдай

Ұқсас айлакерлік ядро ​​туралы айтуға мүмкіндік береді сақина теориясы сияқты мұраттар үйлесімділік қатынастарының орнына және модуль теориясы сияқты субмодульдер үйлесімділік қатынастарының орнына.

Бұл трюк мүмкін болатын жалпы жағдай Омега топтары (көп мағыналы операторларға мүмкіндік беретін жалпы мағынада). Бірақ мұны, мысалы, моноидтар, сондықтан сәйкестік қатынастарын зерттеу моноидты теорияда неғұрлым орталық рөл атқарады.

Әмбебап алгебра

Идея жалпыланған әмбебап алгебра: Алгебрадағы сәйкестік қатынасы A Бұл ішкі жиын туралы тікелей өнім A × A бұл екеуі де эквиваленттік қатынас қосулы A және а субальгебра туралы A × A.

The ядро а гомоморфизм әрқашан сәйкес келеді. Шынында да, кез-келген сәйкестік ядро ​​ретінде пайда болады A, жиынтық A/ ~ of эквиваленттік сыныптар алгебраның құрылымын табиғи түрде беруге болады алгебра.-Нің әрбір элементін бейнелейтін функция A оның эквиваленттілік класына гомоморфизм, ал осы гомоморфизмнің ядросы ~.

The тор Кон(A) алгебра бойынша барлық сәйкестік қатынастарының A болып табылады алгебралық.

Джон М. Хауи қалай сипатталған жартылай топ теория әмбебап алгебрадағы үйлесімділік қатынастарын бейнелейді:

Топта сәйкестік анықталады, егер біз бір конгруэнт класын білетін болсақ, атап айтқанда, егер біз сәйкестендіруді қамтитын класс болатын кіші топты білетін болсақ. Дәл сол сияқты, сақинада сәйкестік анықталады, егер идеалды білетін болсақ, ол нөлді қамтитын сәйкестік класы болып табылады. Жартылай топтарда мұндай сәттілік болмайды, сондықтан біз сәйкес келулерді осылай зерттеу қажеттілігімен бетпе-бет келеміз. Бәрінен бұрын, осы қажеттілік жартылай топ теориясына тән хош иіс береді. Жартылай топтар - бұл әмбебап алгебра әдістері қолданылуы керек алгебраның бірінші және қарапайым түрі ...^[3]

Сондай-ақ қараңыз

• Сәйкестіктер кестесі
• Сызықтық сәйкестік теоремасы
• Конгруенттік тор мәселесі

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Хорн мен Джонсон, Матрицалық талдау, Кембридж университетінің баспасы, 1985 ж. ISBN  0-521-38632-2. (4.5 бөлімде матрицалардың сәйкестігі туралы айтылады.)
• Розен, Кеннет Н (2012). Дискретті математика және оның қолданылуы. McGraw-Hill білімі. ISBN  978-0077418939.