J-гомоморфизм - J-homomorphism

Жылы математика, Дж-омоморфизм - бастап картаға түсіру гомотопиялық топтар туралы арнайы ортогоналды топтар дейін сфералардың гомотопиялық топтары. Ол анықталды Джордж Уайтхед (1942 ) құрылысын ұзарту Хайнц Хопф (1935 ).

Анықтама

Уайтхедтің бастапқы гомоморфизмі геометриялық тұрғыдан анықталады және гомоморфизм береді

{ displaystyle J colon pi _ {r} ( mathrm {SO} (q)) to pi _ {r + q} (S ^ {q}) , !}

абель топтарының бүтін сандарға арналған q, және ${ displaystyle r geq 2}$ . (Hopf мұны ерекше жағдай үшін анықтады ${ displaystyle q = r + 1}$ .)

The Дж-омоморфизмге келесідей анықтама беруге болады. SO арнайы ортогоналды тобының элементі (q) карта ретінде қарастыруға болады

{ displaystyle S ^ {q-1} оң жақ S ^ {q-1}}

және гомотопия тобы ${ displaystyle pi _ {r} ( оператор атауы {SO} (q))}$ ) тұрады гомотопия бастап карталар кластары р-сфераға SO дейін (q.Осылайша ${ displaystyle pi _ {r} ( оператор атауы {SO} (q))}$ карта арқылы ұсынылуы мүмкін

{ displaystyle S ^ {r} times S ^ {q-1} rightarrow S ^ {q-1}}

Қолдану Hopf құрылысы бұған картаны береді

{ displaystyle S ^ {r + q} = S ^ {r} * S ^ {q-1} оң жақ S (S ^ {q-1}) = S ^ {q}}

жылы ${ displaystyle pi _ {r + q} (S ^ {q})}$ , оны Уайтхед элементтің бейнесі ретінде анықтады ${ displaystyle pi _ {r} ( оператор атауы {SO} (q))}$ J-гомоморфизмнің астында

Шектеуді қабылдау q шексіздікке ұмтылған тұрақтылықты береді Дж- гомоморфизм тұрақты гомотопия теориясы:

{ displaystyle J colon pi _ {r} ( mathrm {SO}) to pi _ {r} ^ {S}, , !}

мұндағы SO - шексіз арнайы ортогоналды топ, ал оң жағы - р-шы тұрақты сабақ туралы сфералардың тұрақты гомотопиялық топтары.

J-гомоморфизмнің бейнесі

Бейнесі Дж-хомоморфизм сипатталды Фрэнк Адамс (1966 ) деп болжай отырып Адамс болжам туралы Адамс (1963) бұл дәлелденді Даниэль Куиллен (1971 ), келесідей. Топ ${ displaystyle pi _ {r} ( operatorname {SO})}$ арқылы беріледі Боттың мерзімділігі. Бұл әрдайым циклді; және егер р оң, егер ол 2-ші тәртіпке ие болса р 0 немесе 1 мод 8 болса, шексіз, егер р 3 mod 4, ал басқаша 1 тапсырыс (Швитцер 1975 ж, б. 488) Атап айтқанда, ат қораның бейнесі Дж-омоморфизм циклді. Тұрақты гомотопиялық топтар ${ displaystyle pi _ {r} ^ {S}}$ болып табылады (циклдік) кескіннің тікелей қосындысы Дж-хомоморфизм және Адамс электронды инвариантының ядросы (Адамс 1966 ж ), тұрақты гомотопиялық топтардан гомоморфизм ${ displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z}}$ . Кескіннің реті - 2, егер р 0 немесе 1 мод 8 және оң (сондықтан бұл жағдайда Дж-омоморфизм инъективті). Егер ${ displaystyle r = 4n-1}$ 3 mod 4, ал оң кескін - бөлгішіне тең реттік цикл тобы ${ displaystyle B_ {2n} / 4n}$ , қайда ${ displaystyle B_ {2n}}$ Бұл Бернулли нөмірі. Қалған жағдайларда қайда р 2, 4, 5 немесе 6 mod 8 болса, кескін маңызды емес ${ displaystyle pi _ {r} ( operatorname {SO})}$ маңызды емес.

р	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
π_р(SO)	1	2	1	З	1	1	1	З	2	2	1	З	1	1	1	З	2	2
\| им (Дж)\|	1	2	1	24	1	1	1	240	2	2	1	504	1	1	1	480	2	2
π_р^S	З	2	2	24	1	1	2	240	2²	2³	6	504	1	3	2²	480×2	2²	2⁴
B_2n				¹⁄₆				−¹⁄₃₀				¹⁄₄₂				−¹⁄₃₀

Қолданбалар

Атия (1961) топты таныстырды Дж(X) кеңістіктің X, бұл үшін X сфера - бейнесі Дж- қолайлы өлшемдегі гомоморфизм.

The кокернель туралы Дж-омоморфизм тобында пайда болады экзотикалық сфералар (Косинский (1992)).

Әдебиеттер тізімі

Атия, Майкл Фрэнсис (1961), «Том кешендері», Лондон математикалық қоғамының еңбектері, Үшінші серия, 11: 291–310, дои:10.1112 / plms / s3-11.1.291, МЫРЗА 0131880
Адамс, Дж. Ф. (1963), «J (X) I топтары туралы», Топология, 2 (3): 181, дои:10.1016/0040-9383(63)90001-6
Адамс, Дж. Ф. (1965a), «J (X) II топтары туралы», Топология, 3 (2): 137, дои:10.1016/0040-9383(65)90040-6
Адамс, Дж. Ф. (1965б), «J (X) III топтары туралы», Топология, 3 (3): 193, дои:10.1016/0040-9383(65)90054-6
Адамс, Дж. Ф. (1966), «J (X) IV топтары туралы», Топология, 5: 21, дои:10.1016/0040-9383(66)90004-8. «Түзету», Топология, 7 (3): 331, 1968, дои:10.1016/0040-9383(68)90010-4
Хопф, Хайнц (1935), «Über die Abbildungen von Sphären auf Sphäre niedrigerer Dimension», Fundamenta Mathematicae, 25: 427–440
Косинский, Антони А. (1992), Дифференциалды манифольдтар, Сан-Диего, Калифорния: Академиялық баспасөз, б.195ff, ISBN 0-12-421850-4
Милнор, Джон В. (2011), «Қырық алты жылдан кейін дифференциалды топология» (PDF), Американдық математикалық қоғамның хабарламалары, 58 (6): 804–809
Квиллен, Даниэль (1971), «Адамс гипотезасы», Топология, 10: 67–80, дои:10.1016/0040-9383(71)90018-8, МЫРЗА 0279804
Швитцер, Роберт М. (1975), Алгебралық топология — гомотопия және гомология, Шпрингер-Верлаг, ISBN 978-0-387-06758-2
Уайтхед, Джордж В. (1942), «Шарлар мен айналу топтарының гомотопиялық топтары туралы», Математика жылнамалары, Екінші серия, 43 (4): 634–640, дои:10.2307/1968956, JSTOR 1968956, МЫРЗА 0007107
Уайтхед, Джордж В. (1978), Гомотопия теориясының элементтері, Берлин: Спрингер, ISBN 0-387-90336-4, МЫРЗА 0516508