Рұқсат беру тобы - Permutation group

Жылы математика, а ауыстыру тобы Бұл топ G оның элементтері ауыстыру берілген орнатылды М және кімнің топтық операция ішіндегі ауыстырудың құрамы болып табылады G (деп ойлайды биективті функциялар жиынтықтан М өзіне). Тобы бәрі жиынның ауыстыруы М болып табылады симметриялық топ туралы М, көбінесе Sym (М).^[1] Термин ауыстыру тобы осылайша а кіші топ симметриялық топ. Егер М = {1,2,...,n} содан кейін, Sym (М), n әріптеріндегі симметриялық топ әдетте S арқылы белгіленеді_n.

Авторы Кейли теоремасы, әр топ изоморфты кейбір ауыстыру тобына.

Орын ауыстыру тобының элементтерінің жиын элементтерін ауыстыру тәсілі оның деп аталады топтық әрекет. Топтық іс-әрекеттің зерттеуге қосымшалары бар симметрия, комбинаторика және басқа көптеген филиалдары математика, физика және химия.

Танымал басқатырғыш Рубик кубы 1974 жылы ойлап тапқан Эрню Рубик ауыстыру топтарының иллюстрациясы ретінде қолданылған. Текше қабатының әр айналуы а-ға әкеледі ауыстыру топтың мүшесі болып табылады. Кубтың орын ауыстыру тобы деп аталады Рубик кубы тобы.

Негізгі қасиеттері мен терминологиясы

Болу а кіші топ симметриялы топтың, қанағаттандыру үшін ауыстырулар жиынтығына қажет нәрсенің барлығы топ аксиомалар және ауыстыру тобы болу керек, бұл оның құрамында сәйкестіліктің орнын ауыстыру, оның құрамындағы әрбір ауыстырудың кері ауыстыруы және астында жабық құрамы оның орын ауыстыруы.^[2] Шекті топтардың жалпы қасиеті симметриялы топтың ақырғы бос емес жиынтығы топтық операция кезінде жабық болған жағдайда ғана топ болатындығын білдіреді.^[3]

The дәрежесі а-ның ауыстыру тобының ақырлы жиынтық болып табылады элементтер саны жиынтықта. The тапсырыс топтың (кез-келген типтегі) - топтағы элементтердің саны (түпкілікті). Авторы Лагранж теоремасы, кез-келген ақырғы ауыстыру дәрежесінің тобының реті n бөлу керек n! бері n-факторлық симметриялы топтың реті болып табылады S_n.

Ескерту

Пермутациялар болғандықтан биекциялар жиынтығының, оларды ұсынуға болады Коши Келіңіздер екі жолды белгілеу.^[4] Бұл белгілеуде элементтердің әрқайсысы келтірілген М бірінші қатарда, ал әрбір элемент үшін оның суреті екінші жолда оның астындағы пермутация астында. Егер ${displaystyle sigma}$ жиынтықтың орнын ауыстыру болып табылады ${displaystyle M = {x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}}}$ содан кейін,

{displaystyle sigma = {egin {pmatrix} x_ {1} & x_ {2} & x_ {3} & cdots & x_ {n} sigma (x_ {1}) & sigma (x_ {2}) & sigma (x_ {3}) & cdots & sigma (x_ {n}) соңы {pmatrix}}.}

Мысалы, {1,2,3,4,5} жиынының белгілі бір ауыстыруын келесі түрде жазуға болады:

{displaystyle sigma = {egin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 2 & 5 & 4 & 3 & 1end {pmatrix}};}

бұл дегеніміз σ қанағаттандырады σ(1)=2, σ(2)=5, σ(3)=4, σ(4) = 3 және σ(5) = 1. Элементтері М бірінші қатарда кез-келген арнайы тәртіпте пайда болмауы керек. Бұл ауыстыруды келесі түрде жазуға болады:

{displaystyle sigma = {egin {pmatrix} 3 & 2 & 5 & 1 & 4 & 4 4 & 5 & 1 & 2 & 3end {pmatrix}}.}

Рұқсатнамалар көбіне-көп жазылады циклдік белгілеу (циклдік нысаны)^[5] сондықтан жиынтық берілген М = {1,2,3,4}, ауыстыру ж туралы М бірге ж(1) = 2, ж(2) = 4, ж(4) = 1 және ж(3) = 3 (1,2,4) (3) түрінде жазылады, немесе көбінесе, (1,2,4), өйткені 3 өзгеріссіз қалады; егер объектілер бір әріптермен немесе цифрлармен белгіленсе, үтірлер мен бос орындарды таратуға болады және бізде (124) сияқты жазба бар. Жоғарыда 2 жолдық нотада жазылған ауыстыру циклдік жазба түрінде жазылады ${displaystyle sigma = (125) (34).}$

Пермутациялардың құрамы - топтық өнім

Екі ауыстырудың көбейтіндісі олармен анықталады құрамы функциялар ретінде, сондықтан ${displaystyle sigma cdot pi}$ кез келген элементті бейнелейтін функция х жиынтығы ${displaystyle sigma (pi (x))}$ . Алдымен аргументке ең дұрыс ауыстыру қолданылатынын ескеріңіз,^[6]^[7] қолданбаның жазылу тәсіліне байланысты. Кейбір авторлар бірінші әрекет ететін факторды қалайды, ^[8] ^[9] ^[10] бірақ ол үшін ауыстыруларды келесіге жазу керек дұрыс олардың аргументін, көбінесе а жоғарғы әріп, сондықтан ауыстыру ${displaystyle sigma}$ элемент бойынша әрекет ету ${displaystyle x}$ нәтижесінде кескін пайда болады ${displaystyle x ^ {sigma}}$ . Осы конвенциямен өнім беріледі ${displaystyle x ^ {sigma cdot pi} = (x ^ {sigma}) ^ {pi}}$ . Алайда, бұл а әр түрлі ауыстыруларды көбейту ережесі. Бұл конвенция көбінесе ауыстыру тобының әдебиеттерінде қолданылады, бірақ бұл мақалада бірінші оң жаққа ауыстыру қолданылатын конвенция қолданылады.

Екі биекцияның құрамы әрқашан басқа биекция беретіндіктен, екі ауысудың көбейтіндісі қайтадан орын ауыстырады. Екі жолды нотада екі ауыстырудың көбейтіндісі екінші (сол жақтағы) ауыстырудың бағандарын оның бірінші қатары бірінші (оң жақтағы) ауыстырудың екінші жолымен бірдей болатындай етіп қайта құру арқылы алынады. Содан кейін өнімді модификацияланған екінші орын ауыстырудың екінші қатарына бірінші орын ауыстырудың бірінші жолы ретінде жазуға болады. Мысалы, ауыстыруларды ескере отырып,

{displaystyle P = {egin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 2 & 4 & 1 & 3 & 5end {pmatrix}} quad {ext {and}} quad Q = {egin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 5 & 4 & 3 & 2 & 1end {pmatrix}},}

өнім QP бұл:

{displaystyle QP = {egin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1end {pmatrix}} {egin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 2 & 4 & 1 & 3 & 5end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 & 5 & 4 & 5 & 4 & 5 & 4 & 2 & 3 & 5 & 4 & 2 & 3 & 5 & 4 & 2 & 3 & 5 & 4 & 2 & 3 & 5 & 4 & 2 & 4 & 5 & 4 & 2 & 4 & 5 & 4 & 2 & 4 & 5 & 4 & 5 & 4 & 2 & 4 & 5 & 4 & 5 & 4 & 2 pmatrix}} = {egin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 4 & 2 & 5 & 3 & 1end {pmatrix}}.}

Пермутаттардың құрамы, оларды циклдік түрде жазған кезде, екі ауыстыруды қатар қою арқылы алынады (екіншісі сол жағында жазылады), содан кейін қаласаңыз, дизъюнктік цикл формасына дейін жеңілдетіңіз. Осылайша, циклдік нотада жоғарыда келтірілген өнім келесі түрде берілуі мүмкін:

{displaystyle Qcdot P = (15) (24) cdot (1243) = (1435).}

Бастап функция құрамы болып табылады ассоциативті, өнімнің пермутациядағы жұмысы: ${displaystyle (sigma cdot pi) cdot ho = sigma cdot (pi cdot.) хо)}$ . Сондықтан екі немесе одан да көп ауыстырудың өнімдері, әдетте, топтастыруды өрнектеу үшін жақша қоспай жазылады; көбейтуді көрсету үшін олар әдетте нүктесіз немесе басқа белгілерсіз жазылады (алдыңғы мысалдағы нүктелер екпін үшін қосылды, сондықтан жай жазылуы мүмкін) ${displaystyle sigma pi хо}$ ).

Бейтарап элемент және инверсиялар

Жиынтықтың әрбір элементін өзіне бейнелейтін сәйкестендіруді ауыстыру осы өнім үшін бейтарап элемент болып табылады. Екі жолды нотада сәйкестілік болып табылады

{displaystyle {egin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & cdots & n 1 & 2 & 3 & cdots & nend {pmatrix}}.}

Циклдік белгілеуде e = (1)(2)(3)...(n) ол шартты түрде жай (1) немесе тіпті () арқылы белгіленеді.^[11]

Бастап биекциялар бар инверстер, сондай-ақ пермутациялар және керісінше σ⁻¹ туралы σ бұл қайтадан ауыстыру. Кез-келген уақытта анық σ(х)=ж біреуі де бар σ⁻¹(ж)=х. Екі жолды нотада кері жолды екі жолды ауыстыру арқылы алуға болады (және егер бірінші жол берілген тәртіпте болуын қаласа, бағандарды сұрыптау). Мысалы

{displaystyle {egin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 2 & 5 & 4 & 3 & 1end {pmatrix}} ^ {- 1} = {egin {pmatrix} 2 & 5 & 4 & 3 & 1 1 & 2 & 3 & 4 & 5end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 5 & 4 & 5 & 5 & 4 & 5 & 5 & 5 & 4 & 5 & 5 & 4 & 5 .

Бір циклға кері мән алу үшін, оның элементтерінің ретін өзгертеміз. Осылайша,

{displaystyle (125) ^ {- 1} = (521) = (152).}

Циклдар көбейтіндісіне кері мән алу үшін алдымен циклдар тәртібін өзгертеміз, содан кейін әрқайсысына жоғарыда көрсетілгендей кері мән аламыз. Осылайша,

{displaystyle [(125) (34)] ^ {- 1} = (34) ^ {- 1} (125) ^ {- 1} = (43) (521) = (34) (152).}

Ассоциативті өнімге, сәйкестендіру элементіне және оның барлық элементтеріне инверсияларға ие болу барлық ауыстырулар жиынтығын құрайды М ішіне топ, Sym (М); ауыстыру тобы.

Мысалдар

Келесі жиынтықты қарастырайық G₁ жиынтықтың орнын ауыстыру М = {1, 2, 3, 4}:

e = (1)(2)(3)(4) = (1)
- Бұл сәйкестік, әр элементті бекітетін тривиальды ауыстыру.
а = (1 2)(3)(4) = (1 2)
- Бұл ауыстыру 1 мен 2-ді ауыстырады және 3 пен 4-ті бекітеді.
б = (1)(2)(3 4) = (3 4)
- Алдыңғысы сияқты, бірақ 3 пен 4-ті айырбастап, басқаларын бекіту.
аб = (1 2)(3 4)
- Алдыңғы екеуінің құрамы болып табылатын бұл ауыстыру бір уақытта 1-мен 2-ге, ал 3-тен 4-ке ауысады.

G₁ бастап топ құрады аа = bb = e, ба = аб, және абаб = e. Бұл ауыстыру тобы изоморфты, дерексіз топ ретінде Клейн тобы V₄.

Тағы бір мысал ретінде шаршының симметриялар тобы. Квадраттың төбелері 1, 2, 3 және 4 деп белгіленсін (квадраттың айналасында сағат тіліне қарсы сол жақ жоғарғы бұрышта 1-ден басталады). Симметриялар төбелердің кескіндерімен анықталады, оларды өз кезегінде ауыстырулармен сипаттауға болады. Квадраттың ортасына қарай 90 ° (сағат тіліне қарсы) айналу пермутациямен сипатталады (1234). 180 ° және 270 ° айналулар сәйкесінше (13) (24) және (1432) бойынша берілген. Горизонталь сызық туралы орталық арқылы шағылысу (12) (34) арқылы беріледі және сәйкес тік сызық шағылысу (14) (23) болады. 1,3 − диагональ сызығы бойынша шағылысу (24) және 2,4 − диагональ бойынша шағылысу (13). Қалған жалғыз симметрия - бұл сәйкестілік (1) (2) (3) (4). Бұл ауыстыру тобы абстрактілі ретінде екіжақты топ 8. бұйрық.

Топтық әрекеттер

Квадраттың симметрия тобының жоғарыда келтірілген мысалында ауыстырулар симметрия тобы индукциялаған квадрат шыңдарының қозғалысын «сипаттайды». Бұл топ элементтері квадраттың шыңдары жиынтығында «әрекет етеді» деп айту жиі кездеседі. Бұл идеяны а формальді анықтау арқылы дәл жасауға болады топтық әрекет.^[12]

Келіңіздер G болуы а топ және М бос емес орнатылды. Ан әрекет туралы G қосулы М функция болып табылады f: G × М → М осындай

f(1, х) = х, барлығына х жылы М (1 жеке басын куәландыратын (бейтарап) топтың элементі G), және
f(ж, f(сағ, х)) = f(gh, х), барлығына ж,сағ жылы G және бәрі х жылы М.

Бұл соңғы шартты іс-әрекеттің топтық гомоморфизмді итермелейтіндігін білдіруге болады G ішіне Sym(М).^[12] Кез келген осындай гомоморфизм а деп аталады (ауыстыру) ұсыну туралы G қосулы М.

Кез-келген ауыстыру тобы үшін жіберетін әрекет (ж, х) → ж(х) деп аталады табиғи әрекет туралы G қосулы М. Бұл басқаша көрсетілмесе, болжанатын әрекет.^[12] Квадраттың симметрия тобының мысалында топтың төбелер жиынтығына әрекеті табиғи әрекет болып табылады. Алайда, бұл топ сонымен қатар төртбұрыштағы төртбұрыштың жиынтығына әрекет жасайды, олар: т₁ = 234, т₂ = 134, т₃ = 124 және т₄ = 123. Ол екі диагональға да әсер етеді: г.₁ = 13 және г.₂ = 24.

Топ элементі	Үшбұрыштардағы әрекет	Диагональдардағы әрекет
(1)	(1)	(1)
(1234)	(т₁ т₂ т₃ т₄)	(г.₁ г.₂)
(13)(24)	(т₁ т₃)(т₂ т₄)	(1)
(1432)	(т₁ т₄ т₃ т₂)	(г.₁ г.₂)
(12)(34)	(т₁ т₂)(т₃ т₄)	(г.₁ г.₂)
(14)(23)	(т₁ т₄)(т₂ т₃)	(г.₁ г.₂)
(13)	(т₁ т₃)	(1)
(24)	(т₂ т₄)	(1)

Өтпелі әрекеттер

Топтың әрекеті G жиынтықта М деп айтылады өтпелі егер, әрбір екі элемент үшін с, т туралы М, кейбір топтық элемент бар ж осындай ж(с) = т. Эквивалентті жиынтық М бірыңғай құрайды орбита әрекетімен G.^[13] Мысалдардан жоғарыда, {1, 2, 3, 4} орын ауыстыруларының {e, (1 2), (3 4), (1 2) (3 4)} тобы өтпелі емес (ешқандай топ элементтері 1-ден 3-ке дейін қажет емес), бірақ квадраттың симметрия тобы шыңдарда өтпелі болып табылады.

Алғашқы әрекеттер

Ауыстыру тобы G бос емес ақырлы жиынға өтпелі әсер ету М болып табылады әсер етпейтін егер қандай-да бір нейтривиалды болса бөлімді орнату туралы М әрекетімен сақталады G, онда «нейтривиал» дегеніміз бөлімнің a-ға бөлінбейтіндігін білдіреді синглтон тек бір бөлігі бар бөлімдер де, бөлімдер де жоқ. Әйтпесе, егер G өтпелі болып табылады, бірақ ешқандай жеке емес бөлімін сақтамайды М, топ G болып табылады қарапайым.

Мысалы, квадраттың симметрия тобы шыңдарда қарабайыр болады: егер олар циклдік тәртіпте 1, 2, 3, 4 деп нөмірленген болса, онда {{1, 3}, {2, 4}} бөлігі қарама-қарсы жұптарға бөлінеді әр топ элементтерімен сақталады. Екінші жағынан, жиынтықтағы толық симметриялық топ М әрқашан әсер етпейді.

Кейли теоремасы

Кез келген топ G өздігінен әрекет ете алады (топ ретінде қарастырылатын топ элементтері М) көптеген жолдармен. Атап айтқанда, бар тұрақты әрекет топта (сол жақта) көбейту арқылы беріледі. Бұл, f(ж, х) = gx барлығына ж және х жылы G. Әрқайсысы үшін ж, функциясы f_ж(х) = gx қосылу болып табылады G сондықтан элементтер жиынтығының орнын ауыстыру G. Әрбір элемент G осылайша және сол сияқты ауыстыру ретінде қарастыруға болады G ауыстыру тобына изоморфты болып табылады; бұл мазмұны Кейли теоремасы.

Мысалы, топты қарастырайық G₁ жоғарыда келтірілген {1, 2, 3, 4} жиынтығы бойынша әрекет ету. Осы топтың элементтері арқылы белгіленсін e, а, б және c = аб = ба. Әрекеті G₁ Кейли теоремасында сипатталған өз алдына келесі ауыстыру көрінісін береді:

f_e ↦ (e)(а)(б)(c)

f_а ↦ (еа)(б.з.д.)

f_б ↦ (eb)(ак)

f_c ↦ (эк)(аб).

Орын ауыстыру топтарының изоморфизмдері

Егер G және H жиынтықтардағы екі ауыстыру тобы X және Y әрекеттермен f₁ және f₂ сәйкесінше, біз мұны айтамыз G және H болып табылады ауыстыру изоморфты (немесе изоморфты ауыстыру топтары ретіндеегер бар болса а биективті карта λ : X → Y және а топтық изоморфизм ψ : G → H осындай

λ(f₁(ж, х)) = f₂(ψ(ж), λ(х)) барлығына ж жылы G және х жылы X.^[14]

Егер X = Y бұл барабар G және H Sym топшалары ретінде біріктірілген (X).^[15] Ерекше жағдай G = H және ψ болып табылады жеке куәлік тұжырымдамасын тудырады эквивалентті әрекеттер топтың.^[16]

Квадраттың жоғарыда келтірілген симметриялары мысалында {1,2,3,4} жиынтығындағы табиғи әрекет үшбұрыштардағы әрекетке тең. Биекция λ жиындар арасында мен ↦ т_мен. Топтың табиғи әрекеті G₁ жоғарыда және оның өз-өзіне әрекеті (солға көбейту арқылы) эквивалентті емес, өйткені табиғи әрекеттің белгіленген нүктелері бар, ал екінші әрекетінде жоқ.

Олигоморфты топтар

Қашан топ G әрекет етеді орнатылды S, әрекет табиғи түрде кеңейтілуі мүмкін Декарттық өнім Sⁿ туралы S, тұратын nэлементтерінің бөлшектері S: элементтің әрекеті ж үстінде n-тупле (с₁, ..., с_n) арқылы беріледі

ж(с₁, ..., с_n) = (ж(с₁), ..., ж(с_n)).

Топ G деп айтылады олигоморфты егер әрекет Sⁿ әрбір оң бүтін сан үшін тек қана көптеген орбиталары бар n.^[17]^[18] (Егер бұл автоматты болса S ақырлы, сондықтан бұл термин әдетте қызықтырады S шексіз.)

Олигоморфты топтарға деген қызығушылық ішінара олардың қолданылуына негізделген модель теориясы, мысалы, қарастырған кезде автоморфизмдер жылы категориялық теориялар.^[19]

Тарих

Зерттеу топтар бастапқыда ауыстыру топтары туралы түсініктен өскен.^[20] Рұқсаттар өздері қарқынды зерттеген болатын Лагранж 1770 жылы өзінің көпмүшелік теңдеулердің алгебралық шешімдері жөніндегі жұмысында. Бұл тақырып өрістеді және 19 ғасырдың ортасына қарай дамыған топтар туралы дамыған теориясы пайда болды, оны кодификациялады Камилл Джордан оның кітабында Traité des Substitutions et des Équations Algébriques 1870 ж. Джорданның кітабы өз кезегінде қалдырылған қағаздарға негізделген Эварист Галуа 1832 жылы.

Қашан Кейли абстрактілі топтың тұжырымдамасын енгізді, бұл белгілі ауыстыру топтарына қарағанда (оның қазіргі заманғыдан өзгеше анықтамасы бар) объектілердің үлкен жиынтығы екендігі немесе болмағаны бірден анық болмады. Кейли әрі қарай екі ұғымның Кэйли теоремасында баламалы екендігін дәлелдеді.^[21]

Орын ауыстыру топтары туралы бірнеше тараудан тұратын тағы бір классикалық мәтін Бернсайд Келіңіздер Ақырғы ретті топтар теориясы 1911 ж.^[22] ХХ ғасырдың бірінші жартысы жалпы топтық теорияны зерттеу кезеңі болды, бірақ пермутациялық топтарға деген қызығушылық 1950 жж.-да жандана түсті. Х.Виландт неміс дәрістерінің жазбалары қайта басылып шықты Соңғы шектеулі топтар 1964 ж.^[23]

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

^ Белгілеулер S_М және S^М сонымен қатар қолданылады.
^ Ротман 2006 ж, б. 148, кіші топтың анықтамасы
^ Ротман 2006 ж, б. 149, ұсыныс 2.69
^ Вуссинг, Ганс (2007), Абстрактілі топтың генезисі тұжырымдамасы: дерексіз топтық теорияның шығу тарихына қосқан үлесі, Courier Dover басылымдары, б. 94, ISBN 9780486458687, Коши өзінің ауыстыру жазуын қолданды, онда келісімдер бірінің астына бірі жазылып, екеуі жақшаға алынады - бірінші рет 1815 ж.
^ әсіресе ауыстырудың алгебралық қасиеттері қызығушылық тудырған кезде.
^ Биггс, Норман Л .; White, A. T. (1979). Пермутациялық топтар және комбинаторлық құрылымдар. Кембридж университетінің баспасы. ISBN 0-521-22287-7.
^ Ротман 2006 ж, б. 107 - әсіресе осы беттегі ескертпеге назар аударыңыз.
^ Dixon & Mortimer 1996 ж, б. 3 - 1.2.2 мысалынан кейінгі түсініктемені қараңыз
^ Кэмерон, Питер Дж. (1999). Пермутациялық топтар. Кембридж университетінің баспасы. ISBN 0-521-65302-9.
^ Джеррум, М. (1986). «Орын ауыстыру топтарының ықшам көрінісі». J. алгоритмдері. 7 (1): 60–78. дои:10.1016/0196-6774(86)90038-6.
^ Ротман 2006 ж, б. 108
^ ^а ^б ^c Dixon & Mortimer 1996 ж, б. 5
^ Артин 1991 ж, б. 177
^ Dixon & Mortimer 1996 ж, б. 17
^ Dixon & Mortimer 1996 ж, б. 18
^ Кэмерон 1994 ж, б. 228
^ Кэмерон, Питер Дж. (1990). Олигоморфты пермутаттау топтары. Лондон математикалық қоғамы Дәрістер сериясы. 152. Кембридж: Кембридж университетінің баспасы. ISBN 0-521-38836-8. Zbl 0813.20002.
^ Олигоморфты ауыстыру топтары - Исаак Ньютон институтының алдын ала басып шығаруы, Питер Дж. Кэмерон
^ Бхаттачаржи, Менакси; Макферсон, Дюгальд; Мёллер, Рогнвалдур Г .; Нейман, Питер М. (1998). Шексіз ауыстыру топтары туралы ескертулер. Математикадан дәрістер. 1698. Берлин: Шпрингер-Верлаг. б. 83. ISBN 3-540-64965-4. Zbl 0916.20002.
^ Dixon & Mortimer 1996 ж, б. 28
^ Кэмерон 1994 ж, б. 226
^ Бернсайд, Уильям (1955) [1911], Ақырғы ретті топтар теориясы (2-ші басылым), Довер
^ Виландт, Х. (1964), Соңғы пермутациялық топтар, Academic Press

Әдебиеттер тізімі

Артин, Майкл (1991), Алгебра, Prentice-Hall, ISBN 0-13-004763-5
Кэмерон, Питер Дж. (1994), Комбинаторика: тақырыптар, әдістер, алгоритмдер, Кембридж университетінің баспасы, ISBN 0-521-45761-0
Диксон, Джон Д .; Мортимер, Брайан (1996), Пермутациялық топтар, Математика бойынша магистратура мәтіндері 163), Springer-Verlag, ISBN 0-387-94599-7
Ротман, Джозеф Дж. (2006), Қолданбалы абстрактілі алгебраның алғашқы курсы (3-ші басылым), Pearson Prentice-Hall, ISBN 0-13-186267-7

Әрі қарай оқу

Akos Seress. Рұқсат ету тобының алгоритмдері. Математикадағы Кембридж трактаттары, 152. Кембридж университетінің баспасы, Кембридж, 2003 ж.
Meenaxi Bhattacharjee, Dugald Macpherson, Rögnvaldur G. Möller және Peter M. Neumann. Шексіз пермутациялық топтар туралы ескертпелер. Математикадан дәріс жазбаларында 1698 саны. Springer-Verlag, 1998 ж.
Питер Дж. Кэмерон. Пермутациялық топтар. LMS студенттік мәтіні 45. Кембридж университетінің баспасы, Кембридж, 1999 ж.
Питер Дж. Кэмерон. Олигоморфты пермутациялық топтар. Кембридж университетінің баспасы, Кембридж, 1990 ж.

Сыртқы сілтемелер

«Рұқсат беру тобы», Математика энциклопедиясы, EMS Press, 2001 [1994]
Александр Хульпке. GAP деректер кітапханасы «Өтпелі пермутациялық топтар».

[1] Белгілеулер S_М және S^М сонымен қатар қолданылады.

[2] Ротман 2006 ж, б. 148, кіші топтың анықтамасы

[3] Ротман 2006 ж, б. 149, ұсыныс 2.69

[4] Вуссинг, Ганс (2007), Абстрактілі топтың генезисі тұжырымдамасы: дерексіз топтық теорияның шығу тарихына қосқан үлесі, Courier Dover басылымдары, б. 94, ISBN 9780486458687, Коши өзінің ауыстыру жазуын қолданды, онда келісімдер бірінің астына бірі жазылып, екеуі жақшаға алынады - бірінші рет 1815 ж.

[5] әсіресе ауыстырудың алгебралық қасиеттері қызығушылық тудырған кезде.

[6] Биггс, Норман Л .; White, A. T. (1979). Пермутациялық топтар және комбинаторлық құрылымдар. Кембридж университетінің баспасы. ISBN 0-521-22287-7.

[7] Ротман 2006 ж, б. 107 - әсіресе осы беттегі ескертпеге назар аударыңыз.

[8] Dixon & Mortimer 1996 ж, б. 3 - 1.2.2 мысалынан кейінгі түсініктемені қараңыз

[9] Кэмерон, Питер Дж. (1999). Пермутациялық топтар. Кембридж университетінің баспасы. ISBN 0-521-65302-9.

[10] Джеррум, М. (1986). «Орын ауыстыру топтарының ықшам көрінісі». J. алгоритмдері. 7 (1): 60–78. дои:10.1016/0196-6774(86)90038-6.

[11] Ротман 2006 ж, б. 108

[Dixon96-12] а ^б ^c Dixon & Mortimer 1996 ж, б. 5

[13] Артин 1991 ж, б. 177

[14] Dixon & Mortimer 1996 ж, б. 17

[15] Dixon & Mortimer 1996 ж, б. 18

[16] Кэмерон 1994 ж, б. 228

[17] Кэмерон, Питер Дж. (1990). Олигоморфты пермутаттау топтары. Лондон математикалық қоғамы Дәрістер сериясы. 152. Кембридж: Кембридж университетінің баспасы. ISBN 0-521-38836-8. Zbl 0813.20002.

[18] Олигоморфты ауыстыру топтары - Исаак Ньютон институтының алдын ала басып шығаруы, Питер Дж. Кэмерон

[19] Бхаттачаржи, Менакси; Макферсон, Дюгальд; Мёллер, Рогнвалдур Г .; Нейман, Питер М. (1998). Шексіз ауыстыру топтары туралы ескертулер. Математикадан дәрістер. 1698. Берлин: Шпрингер-Верлаг. б. 83. ISBN 3-540-64965-4. Zbl 0916.20002.

[20] Dixon & Mortimer 1996 ж, б. 28

[21] Кэмерон 1994 ж, б. 226

[22] Бернсайд, Уильям (1955) [1911], Ақырғы ретті топтар теориясы (2-ші басылым), Довер

[23] Виландт, Х. (1964), Соңғы пермутациялық топтар, Academic Press

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]