Кардинал - Cardinality

Жинақ ${displaystyle S}$ бәрінен де Платондық қатты денелер 5 элементтен тұрады. Осылайша ${displaystyle | S | = 5}$.

Жылы математика, түпкілікті а орнатылды «санының өлшемі болып табылады элементтер «жиынтығы. Мысалы, жиынтығы ${displaystyle A = {2,4,6}}$ құрамында 3 элемент бар, демек ${displaystyle A}$ кардиналдылығы 3. 19 ғасырдың аяғынан бастап бұл тұжырымдама жалпыланған шексіз жиындар, бұл әр түрлі шексіздік түрлерін ажыратуға және орындауға мүмкіндік береді арифметикалық оларға. Кардинализмнің екі тәсілі бар: жиынтықты тікелей қолдана отырып салыстыратын әдіс биекциялар және инъекциялар, және басқасын қолданады негізгі сандар.^[1]Жиынның кардиналдылығы оны деп те аталады өлшемі, өлшемнің басқа түсініктерімен шатастырмау кезінде^[2] мүмкін.

Жиынның маңыздылығы ${displaystyle A}$ әдетте белгіленеді ${displaystyle | A |}$, а тік жолақ әр жағынан;^[3][4] бұл дәл сол жазба абсолютті мән, және мағынасы байланысты контекст. Жиынның маңыздылығы ${displaystyle A}$ баламалы түрде белгіленуі мүмкін ${displaystyle n (A)}$, ${displaystyle A}$, ${displaystyle операторының аты {карта} (A)}$, немесе ${displaystyle #A}$.

Жиындарды салыстыру

Бижективтік функция N жиынтыққа E туралы жұп сандар. Дегенмен E тиісті жиынтығы болып табылады N, екі жиынтықтың бірдей дәлдігі бар.

N онымен бірдей емес қуат орнатылды P(N): Әр функция үшін f бастап N дейін P(N), жиынтық Т = {n∈N: n∉f(n)} жиынтығымен келіспейді ауқымы туралы f, демек f сурьективті бола алмайды. Суретте мысал келтірілген f және тиісті Т; қызыл: n∈f(n)Т, көк:n∈Тf(n).

Ақырлы жиынның кардиналдылығы оның элементтерінің саны ғана болса, ұғымды шексіз жиындарға дейін кеңейту, әдетте, ерікті жиынтықтарды (олардың кейбіреулері шексіз болуы мүмкін) салыстыру түсінігін анықтаудан басталады.

Анықтама 1: |A| = |B|

Екі жиынтық A және B егер бар болса, бірдей күшке ие болыңыз биекция (а., бір-бірімен хат алмасу) бастап A дейін B,^[5] яғни а функциясы бастап A дейін B бұл екеуі де инъекциялық және сурьективті. Мұндай жиынтықтар деп аталады эквипотент, жабдықталған, немесе теңдестірілген. Бұл қатынасты да белгілеуге болады A ≈ B немесе A ~ B.

Мысалы, жиынтық E = {0, 2, 4, 6, ...} теріс емес жұп сандар жиынтығы сияқты дәлдікке ие N = {0, 1, 2, 3, ...} натурал сандар, функциядан бастап f(n) = 2n бастап биекция болып табылады N дейін E (суретті қараңыз).

Анықтама 2: |A| ≤ |B|

A кардиналынан кем немесе оған тең дәрежеде болады B, егер инъекциялық функция болса A ішіне B.

Анықтама 3: |A| < |B|

A кардиналділіктен түбегейлі кем B, егер инъекциялық функция болса, бірақ биективті функция болмаса, бастап A дейін B.

Мысалы, жиынтық N бәрінен де натурал сандар кардиналдылығы онымен салыстырмалы түрде аз қуат орнатылды P(N), өйткені ж(n) = { n } - инъекциялық функция N дейін P(N), және функциясы жоқ екенін көрсетуге болады N дейін P(N) биективті болуы мүмкін (суретті қараңыз). Осыған ұқсас аргумент бойынша N жиынтықтың кардиналынан қатаң аз кардиналға ие R бәрінен де нақты сандар. Дәлелдер үшін қараңыз Кантордың диагональды аргументі немесе Кантордың санамайтындығының алғашқы дәлелі.

Егер |A| ≤ |B| және |B| ≤ |A|, содан кейін |A| = |B| (белгілі факт Шредер-Бернштейн теоремасы ). The таңдау аксиомасы | деген тұжырымға баламалыA| ≤ |B| немесе |B| ≤ |A| әрқайсысы үшін A, B.^[6][7]

Кардиналды сандар

Жоғарыда келтірілген бөлімде жиынтықтың «түпнұсқалығы» функционалды түрде анықталды. Басқаша айтқанда, бұл нақты объект ретінде анықталмаған. Алайда мұндай объектіні келесідей анықтауға болады.

Қатыстығы бірдей деп аталады теңдік, және бұл эквиваленттік қатынас үстінде сынып барлық жиынтықтардан. The эквиваленттілік класы жиынтықтың A осы қатынасқа сәйкес, дәл сол сияқты барлық жиынтықтардан тұрады A. «Жиынтықтың маңыздылығын» анықтаудың екі әдісі бар:

1. Жиынның маңыздылығы A теңдік бойынша оның эквиваленттік класы ретінде анықталады.
2. Репрезентативті жиын әр эквиваленттілік сыныбы үшін тағайындалады. Ең көп таралған таңдау сол сыныптағы алғашқы реттік. Бұл әдетте анықтамасы ретінде қабылданады негізгі нөмір жылы аксиоматикалық жиындар теориясы.

Болжалды таңдау аксиомасы, -ның негізгі белгілері шексіз жиындар деп белгіленеді

${displaystyle aleph _ {0}$

Әрқайсысы үшін реттік ${displaystyle альфа}$, ${displaystyle aleph _ {альфа +1}}$ -дан кіші кардиналды сан ${displaystyle aleph _ {альфа}}$.

Кардиналдылығы натурал сандар деп белгіленеді алеф-нөл (${displaystyle aleph _ {0}}$), ал нақты сандар «деп белгіленеді${displaystyle {mathfrak {c}}}$«(кіші әріп fraktur сценарийі «c»), және деп те аталады континуумның маңыздылығы.^[3] Кантор көрсетті қиғаш аргумент, сол ${displaystyle {mathfrak {c}}> aleph _ {0}}$. Біз мұны көрсете аламыз ${displaystyle {mathfrak {c}} = 2 ^ {aleph _ {0}}}$, бұл сонымен бірге натурал сандардың барлық ішкі жиындарының жиынтығы.

The үздіксіз гипотеза дейді ${displaystyle aleph _ {1} = 2 ^ {aleph _ {0}}}$, яғни ${displaystyle 2 ^ {алеф _ {0}}}$ қарағанда үлкен кардиналдың ең кіші саны ${displaystyle aleph _ {0}}$, яғни бүтін сандар мен нақты сандар арасында қатаңдық болатын жиынтық жоқ. Үздіксіз гипотеза тәуелсіз туралы ZFC, жиындар теориясының стандартты аксиоматизациясы; яғни ZFC-ден үздіксіз гипотезаны немесе оны жоққа шығаруды дәлелдеу мүмкін емес - егер ZFC дәйекті болса). Толығырақ ақпаратты қараңыз § континуумның маңыздылығы төменде.^[8][9][10]

Ақырлы, есептелетін және есептелмейтін жиындар

Егер таңдау аксиомасы ұстайды, трихотомия заңы түпнұсқалыққа сәйкес келеді. Осылайша біз келесі анықтамаларды жасай аламыз:

• Кез-келген жиынтық X кардиналмен салыстырғанда аз натурал сандар, немесе |X | < | N | деп аталады ақырлы жиынтық.
• Кез-келген жиынтық X натурал сандар жиынтығымен бірдей дәлдікке ие немесе |X | = | N | = ${displaystyle aleph _ {0}}$, деп аталады шексіз орнатылды.^[5]
• Кез-келген жиынтық X натурал сандардан үлкен кардиналмен немесе |X | > | N |, мысалы |R | = ${displaystyle {mathfrak {c}}}$ > | N | деп айтылады есептеусіз.

Шексіз жиынтықтар

Біздің түйсігіміз ақырлы жиынтықтар қарым-қатынас кезінде бұзылады шексіз жиындар. ХІХ ғасырдың аяғында Георгий Кантор, Gottlob Frege, Ричард Дедекинд ал басқалары тұтастай бөлшектің өлшемімен бірдей бола алмайды деген көзқарасты жоққа шығарды.^{[11][дәйексөз қажет ]} Мұның бір мысалы Гильберттің Гранд Отельдегі парадоксы.Шынында да, Дедекинд шексіз жиынтығын бір-біріне сәйкестікке қатаң ішкі жиынтықпен орналастыруға болатын жиынтық ретінде анықтады (яғни Кантор мағынасында бірдей өлшемге ие); бұл шексіздік ұғымы деп аталады Dedekind шексіз. Кантор кардинал сандарды енгізді және оның биекцияға негізделген өлшем анықтамасына сәйкес кейбір шексіз жиынтықтар басқаларына қарағанда көбірек екенін көрсетті. Ең кіші шексіз кардинал - бұл табиғи сандар (${displaystyle aleph _ {0}}$).

Континуумның маңыздылығы

Кантордың маңызды нәтижелерінің бірі болды континуумның маңыздылығы (${displaystyle {mathfrak {c}}}$) натурал сандарға қарағанда үлкен (${displaystyle aleph _ {0}}$); яғни нақты сандар көп R натурал сандарға қарағанда N. Атап айтқанда, Кантор мұны көрсетті ${displaystyle {mathfrak {c}} = 2 ^ {aleph _ {0}} = eth _ {1}}$ (қараңыз Бет бір ) қанағаттандырады:

${displaystyle 2 ^ {aleph _ {0}}> aleph _ {0}}$

(қараңыз Кантордың диагональды аргументі немесе Кантордың санамайтындығының алғашқы дәлелі ).

The үздіксіз гипотеза жоқ екенін айтады негізгі нөмір ралдың және натурал сандардың түпнұсқалығы арасындағы, яғни

${displaystyle 2 ^ {алеф _ {0}} = алеф _ {1}}$

Алайда, бұл гипотезаны кеңінен қабылданған шеңберде дәлелдеуге де, жоққа шығаруға да болмайды ZFC аксиоматикалық жиындар теориясы, егер ZFC үйлесімді болса.

Кардинал арифметикасын а нүктелерінің саны ғана емес көрсету үшін пайдалануға болады нақты сан сызығы кез келген нүкте санына тең сегмент бұл түзудің, бірақ бұл жазықтықтағы және кез келген ақырлы кеңістіктегі нүктелер санына тең. Бұл нәтижелер өте қарсы, өйткені олар бар дегенді білдіреді тиісті ішкі жиындар және дұрыс суперсеттер шексіз жиынтық S өлшемімен бірдей S, дегенмен S оның ішкі жиындарына жатпайтын элементтерден тұрады, және S оған кірмейтін элементтерді қамтуы керек.

Осы нәтижелердің біріншісі, мысалы, қарастыру арқылы көрінеді тангенс функциясы қамтамасыз етеді жеке-жеке хат алмасу арасында аралық (−½π, ½π) және R (тағы қараңыз) Гильберттің Гранд Отельдегі парадоксы ).

Екінші нәтижені Кантор алғаш рет 1878 жылы көрсетті, бірақ ол 1890 жылы, қашан айқынырақ болды Джузеппе Пеано таныстырды кеңістікті толтыратын қисықтар, кез-келген квадратты немесе кубты толтыру үшін жеткілікті бұралатын және бұрылатын қисық сызықтар гиперкуб, немесе ақырлы өлшемді кеңістік. Бұл қисықтар сызықтың ақырлы өлшемді кеңістіктің нүктелерімен бірдей екендігінің тікелей дәлелі емес, бірақ оларды алу үшін қолдануға болады осындай дәлел.

Кантор сонымен бірге жиынтықтың жиынтығынан үлкен екенін көрсетті ${displaystyle {mathfrak {c}}}$ бар (оны қараңыз жалпыланған қиғаш аргумент және теорема ). Оларға, мысалы:

• барлық ішкі жиындарының жиынтығы R, яғни қуат орнатылды туралы R, жазылған P(R) немесе 2^R
• жиынтық R^R бастап барлық функциялар R дейін R

Екеуінің де түпкілікті қасиеттері бар

${displaystyle 2 ^ {mathfrak {c}} = eth _ {2}> {mathfrak {c}}}$

(қараңыз Бет екі ).

The негізгі теңдіктер ${displaystyle {mathfrak {c}} ^ {2} = {mathfrak {c}},}$ ${displaystyle {mathfrak {c}} ^ {aleph _ {0}} = {mathfrak {c}},}$ және ${displaystyle {mathfrak {c}} ^ {mathfrak {c}} = 2 ^ {mathfrak {c}}}$ пайдалану арқылы көрсетуге болады кардиналды арифметика:

${displaystyle {mathfrak {c}} ^ {2} = сол жақта (2 ^ {aleph _ {0}}ight) ^ {2} = 2 ^ {2 imes {aleph _ {0}}} = 2 ^ {aleph _ {0}} = {mathfrak {c}},}$

${displaystyle {mathfrak {c}} ^ {aleph _ {0}} = сол жақ (2 ^ {aleph _ {0}}ight) ^ {aleph _ {0}} = 2 ^ {{aleph _ {0}} imes {aleph _ {0}}} = 2 ^ {aleph _ {0}} = {mathfrak {c}},}$

${displaystyle {mathfrak {c}} ^ {mathfrak {c}} = сол жақта (2 ^ {aleph _ {0}}ight) ^ {mathfrak {c}} = 2 ^ {{mathfrak {c}} imes aleph _ {0}} = 2 ^ {mathfrak {c}}.}$

Мысалдар мен қасиеттер

• Егер X = {а, б, c} және Y = {алма, апельсин, шабдалы}, содан кейін |X | = | Y | өйткені {(а, алма), (б, апельсин), (c, шабдалы)} - бұл жиындар арасындағы биекция X және Y. Әрқайсысының маңыздылығы X және Y 3.
• Егер |X | ≤ | Y |, сонда бар З осылай |X | = | З | және З ⊆ Y.
• Егер |X | ≤ | Y | және |Y | ≤ | X |, содан кейін |X | = | Y |. Бұл тіпті шексіз кардиналдар үшін де қолданылады және белгілі Кантор-Бернштейн-Шредер теоремасы.
• Континуумның түпнұсқалығы бар жиынтықтар барлық нақты сандар жиынтығын, барлығының жиынтығын қосыңыз қисынсыз сандар және аралық ${displaystyle [0,1]}$.

Одақ және қиылысу

Егер A және B болып табылады бөлінбеген жиынтықтар, содан кейін

${displaystyle сол жақтағы Acup Bightvert = солға Aоңға + солға Bightvert.}$

Бұдан жалпы кардиналдарды көрсетуге болады кәсіподақтар және қиылыстар келесі теңдеумен байланысты:^[12]

${displaystyle сол жақтағы Ccup Dоңға + солға Ccap Dightvert = солға Cартқа + солға Dightvert}$

Сондай-ақ қараңыз

• Алеф нөмірі
• Бет саны
• Кантор парадоксы
• Кантор теоремасы
• Санақ жиынтығы
• Санақ
• Реттілік

Әдебиеттер тізімі