Dedekind-шексіз жиынтық - Dedekind-infinite set

Жылы математика, жиынтық A болып табылады Dedekind-шексіз (неміс математигінің атымен аталған Ричард Дедекинд ) егер дұрыс болса ішкі жиын B туралы A болып табылады теңдестірілген дейін A. Айқын, бұл бар екенін білдіреді биективті функция бастап A кейбір дұрыс жиынға B туралы A. Жиынтық Dedekind-ақырлы егер бұл Dedekind-шексіз болмаса. 1888 жылы Дедекинд ұсынған Дедекинд-шексіздік «шексіздік» анықтамасына сүйенбеген алғашқы анықтама болды натурал сандар.[1]

Дейін математиканың негізгі дағдарысы математиктердің көпшілігі жиындар теориясына мұқият қарау қажеттілігін көрсетті болжалды бұл жиынтық шексіз егер және егер болса бұл Dedekind-шексіз. ХХ ғасырдың басында, Цермело-Фраенкель жиынтығы теориясы, бүгінде ең жиі қолданылатын түрі аксиоматикалық жиындар теориясы ретінде ұсынылды аксиоматикалық жүйе тұжырымдау жиындар теориясы сияқты парадокстардан ада Расселдің парадоксы. Зермело-Фраенкель жиынтығы теориясының аксиомаларын қолдана отырып, бастапқыда өте қайшылықты таңдау аксиомасы қосылған (ZFC) егер ол бар болса, жиынның Dedekind-ақырлы екенін көрсете алады ақырлы элементтердің ақырғы санына ие болу мағынасында. Алайда, таңдау аксиомасынсыз Зермело-Фраенкель жиынтығы теориясының моделі бар (ZFонда аксиомаларын көрсететін шексіз, Dedekind-ақырлы жиынтық бар ZF Dedekind-ақырлы жиынның элементтердің ақырғы саны болатындығын дәлелдеуге күші жеткіліксіз.[2][1] Сонда жиынтықтардың шексіздігі мен шексіздігінің анықтамалары таңдау аксиомасына тәуелді емес Dedekind бергеннен басқа.

Бұлыңғыр байланысты ұғым - а Ақырғы сақина. A сақина егер Dedekind-ақ сақина деп аталады, егер аб = 1 білдіреді ба = 1 кез келген екі сақина элементтері үшін а және б. Бұл сақиналар да шақырылды тікелей ақырлы сақиналар.

Шексіз жиынның әдеттегі анықтамасымен салыстыру

Бұл анықтама «шексіз жиынтық «әдеттегі анықтамамен салыстыру керек: жиынтық A болып табылады шексіз оны шектеулі биекцияға қою мүмкін болмаған кезде реттік, атап айтқанда форманың жиынтығы {0, 1, 2, ..., n−1} натурал сан үшін n - шексіз жиынтық - биекция мағынасында сөзбе-сөз «ақырлы емес» жиынтық.

19 ғасырдың соңғы жартысында, көпшілігі математиктер жай жиыны шексіз деп қабылдады егер және егер болса бұл Dedekind-шексіз. Алайда, бұл эквиваленттілікті дәлелдеу мүмкін емес аксиомалар туралы Цермело-Фраенкель жиынтығы теориясы жоқ таңдау аксиомасы (AC) (әдетте «ZFЭквиваленттілікті дәлелдеу үшін айнымалы токтың толық күші қажет емес; шын мәнінде екі анықтаманың эквиваленттілігі қатаң түрде қарағанда әлсіз есептелетін таңдау аксиомасы (CC). (Төмендегі сілтемелерді қараңыз).

ZF ішіндегі шексіз жиынтықтар

Жинақ A болып табылады Dedekind-шексіз егер ол келесі баламаның кез-келгенін, содан кейін бәрін қанағаттандырса (артық) ZF) шарттары:

Бұл қосарланған Dedekind-шексіз егер:

  • функция бар f : AA бұл сурьективті, бірақ инъекциялық емес;

Бұл әлсіз Dedekind-шексіз егер ол келесі баламаның кез-келгенін, содан кейін бәрін қанағаттандырса (артық) ZF) шарттары:

  • бастап сурьективті картасы бар A шексіз жиынтыққа;
  • қуаты A Dedekind-шексіз;

және солай шексіз егер:

  • кез келген натурал сан үшін n, {0, 1, 2, ..., n − 1} -ден биекция жоқ A.

Содан кейін, ZF келесі салдарларды дәлелдейді: Dedekind-шексіз ⇒ екі жақты Dedekind-шексіз ⇒ әлсіз Dedekind-шексіз ⇒ шексіз.

Модельдері бар ZF Dedekind-шексіз жиынтығына ие. Келіңіздер A осындай жиынтық болыңыз және рұқсат етіңіз B ақырлы жиынтығы инъекциялық тізбектер бастап A. Бастап A шексіз, «соңғы элементті тастау» функциясы B өзіне сурьективті, бірақ инъекциялық емес, сондықтан B екі жақты Dedekind-шексіз. Алайда, бері A Dedekind-ақырлы болып табылады, солай болады B (егер B элементтері болғанын пайдаланып, шексіз ішкі жиынға ие болды B инъекциялық тізбектер болып табылады, олардың шексіз ішкі жиынын көрсетуге болады A).

Жиынтықтар қосымша құрылымға ие болған кезде, шексіздіктің екі түрі де кейде эквивалентті түрде дәлелденуі мүмкін ZF. Мысалы, ZF дұрыс реттелген жиынтық шексіз болған жағдайда ғана Dedekind-шексіз болатындығын дәлелдейді.

Тарих

Термин неміс математигінің есімімен аталады Ричард Дедекинд, анықтаманы алғаш анық енгізген кім. Бұл анықтаманың «шексіздік» анықтамасына сүйенбеген алғашқы анықтамасы болғандығы назар аудартады натурал сандар (егер біреу Пуанкарені ұстанбайтын болса және сан ұғымына дейінгі жиынтық ұғымына қатысты болса). Мұндай анықтама белгілі болғанымен Бернард Больцано, оның жұмысын саяси емес жердегі жер аудару шарттары бойынша ең түсініксіз журналдарда жариялауға тыйым салынды. Прага университеті 1819 ж. Сонымен қатар, Больцано анықтамасы шексіз жиынның анықтамасынан гөрі екі шексіз жиынның арасындағы қатынасты дәлірек көрсетті өз кезегінде.

Ұзақ уақыт бойы көптеген математиктер шексіз жиын мен Дедекинд-шексіз жиын ұғымдарының арасындағы айырмашылық болуы мүмкін деген оймен тіпті айналыспады. Шындығында, бұл айырмашылық кейінге дейін жүзеге асырылған жоқ Эрнст Зермело айнымалы токты нақты тұжырымдады. Шексіз, Dedekind-ақырлы жиынтықтардың болуын зерттеді Бертран Рассел және Альфред Норт Уайтхед 1912 жылы; бұл жиынтықтар алғашқы кезде шақырылды делдалдық кардиналдар немесе Dedekind кардиналдары.

Математикалық қоғамдастық арасында таңдау аксиомасының жалпы қабылдануымен шексіз және Dedekind-шексіз жиындарға қатысты бұл мәселелер математиктердің көпшілігінде аз орын алды. Алайда, Dedekind-шексіз жиынтықтарды зерттеу ақырлы және шексіз арасындағы шекараны нақтылауға тырысуда маңызды рөл атқарды, сонымен қатар АС тарихында маңызды рөл атқарды.

Таңдау аксиомасымен байланыс

Әрбір шексіз дұрыс реттелген жиынтық Dedekind-шексіз болғандықтан, ал айнымалы ток - тең дұрыс реттелген теорема әрбір жиынтық жақсы реттелген болуы мүмкін екенін айта отырып, жалпы айнымалы ток кез-келген шексіз жиынтықтың шексіз екенін білдіреді. Алайда, екі анықтаманың эквиваленттілігі айнымалы токтың толық күшіне қарағанда әлдеқайда әлсіз.

Атап айтқанда, бар ZF онда шексіз жиын бар, жоқ шексіз ішкі жиын. Демек, бұл модельде шексіз, Dedekind-ақырлы жиынтық бар. Жоғарыда айтылғандай, мұндай жиынтықта бұл модельде жақсы тапсырыс беруге болмайды.

Егер СС аксиомасын алсақ (i. E., AC)ω), демек, әр шексіз жиын Dedekind-шексіз болады. Алайда, осы екі анықтаманың эквиваленттілігі іс жүзінде СС-ге қарағанда мүлдем әлсіз. Нақты моделі бар ZF онда кез-келген шексіз жиынтық Dedekind-шексіз болып табылады, бірақ СС сәтсіздікке ұшырайды ZF).

Шексіздікке эквиваленттіліктің дәлелдеуі, есептелетін таңдау аксиомасын қабылдау

Кез-келген Dedekind-шексіз жиынның шексіз екендігі ZF-те оңай дәлелденуі мүмкін: кез-келген ақырлы жиынтық анықтамаға сәйкес кейбір ақырғы реттік бұйрықпен биекцияға ие n, және индукция арқылы дәлелдеуге болады n бұл Dedekind-шексіз емес.

Көмегімен есептелетін таңдау аксиомасы (денотат: аксиома СС) керісінше дәлелдеуге болады, яғни әрбір шексіз жиын X Dedekind-шексіз, келесідей:

Алдымен функцияны натурал сандарға қатысты анықтаңыз (яғни ақырлы реттік нөмірлердің үстінде) f : N → қуат (қуат (X)), сондықтан әрбір табиғи сан үшін n, f(n) - ақырлы ішкі жиындарының жиыны X өлшемі n (яғни, ақырғы реттікпен биекция бар n). f(n) ешқашан бос болмайды немесе басқаша X ақырлы болар еді (оны индукция арқылы дәлелдеуге болады n).

The сурет f - есептелетін жиын {f(n) | nN}, олардың мүшелері өздері шексіз (және мүмкін санауға болмайтын) жиынтықтар. Есептелетін таңдау аксиомасын қолдану арқылы біз осы жиындардың әрқайсысынан бір мүшені таңдай аламыз, және бұл мүшенің өзі ақырғы жиын болып табылады X. Дәлірек айтсақ, есептелетін таңдау аксиомасына сәйкес (есептелетін) жиынтық бар, G = {ж(n) | nN}, сондықтан әрбір табиғи сан үшін n, ж(n) мүшесі болып табылады f(n) және сондықтан, ақырғы ішкі жиыны болып табылады X өлшемі n.

Енді біз анықтаймыз U мүшелерінің одағы ретінде G. U шексіз есептелетін ішкі жиыны болып табылады X, және натурал сандардан биекция U, сағ : NU, оңай анықтауға болады. Біз енді биекцияны анықтай аламыз B : XXсағ(0) бұл әрбір мүшені қабылдамайды U өзіне және алады сағ(n) әрбір натурал санға дейін сағ(n + 1). Демек, X Dedekind-шексіз, және біз аяқтадық.

Жалпылау

Санат-теориялық тұрғыда, жиынтықта айтылған A Dedekind-ақырлы, егер жиындар санатында болса, әр мономорфизм f : AA изоморфизм болып табылады. A фон Нейманның тұрақты сақинасы R (солға немесе оңға) санатындағы ұқсас қасиетке ие R-модульдер, егер бар болса ғана R, xy = 1 білдіреді yx = 1. Жалпы, а Ақырғы сақина бұл соңғы шартты қанағаттандыратын кез-келген сақина. Сақинаның түпкі жиынтығы Dedekind-шексіз болса да, Dedekind-ақыры болуы мүмкін екеніне сақ болыңыз, мысалы. бүтін сандар.

Ескертулер

  1. ^ а б Мур, Григорий Х. (2013) [бастапқыда 1982 жылы Спрингер-Верлаг, Нью-Йорктегі «Математика және физика ғылымдарының тарихында зерттеулер» сериясында 8-том болып жарияланған шығарманың республикасыз республикасы]. Цермелоның таңдау аксиомасы: оның шығу тегі, дамуы және әсері. Dover жарияланымдары. ISBN  978-0-486-48841-7.
  2. ^ Геррлих, Хорст (2006). Таңдау аксиомасы. Математикадан дәрістер 1876. Спрингер-Верлаг. ISBN  978-3540309895.

Пайдаланылған әдебиеттер

  • Сенім, Карл Клифтон. Математикалық зерттеулер және монографиялар. 65-том. Американдық математикалық қоғам. 2-ші басылым AMS кітап дүкені, 2004 ж. ISBN  0-8218-3672-2
  • Мур, Григорий Х., Зермелоның таңдау аксиомасы, Springer-Verlag, 1982 (басылымнан тыс), ISBN  0-387-90670-3, атап айтқанда 22-30 б. және 1 және 2 кестелер. 322-323
  • Джек, Томас Дж., Таңдау аксиомасы, Dover Publications, 2008, ISBN  0-486-46624-8
  • Лам, Цит-Юен. Коммутативті емес сақиналардағы бірінші курс. 131 том Математикадан магистратура мәтіндері. 2-ші басылым Springer, 2001 ж. ISBN  0-387-95183-0
  • Геррлих, Хорст, Таңдау аксиомасы, Springer-Verlag, 2006 ж., Математика бойынша дәрістер 1876, ISSN басылымы 0075–8434, ISSN электронды басылымы: 1617-9692, атап айтқанда 4.1 бөлім.