Цермело-Фраенкель жиынтығы теориясы - Zermelo–Fraenkel set theory

Жылы жиынтық теориясы, Цермело-Фраенкель жиынтығы теориясы, математиктердің атымен аталады Эрнст Зермело және Авраам Фраенкел, болып табылады аксиоматикалық жүйе тұжырымдау мақсатында ХХ ғасырдың басында ұсынылған жиындар теориясы сияқты парадокстардан ада Расселдің парадоксы. Бүгінгі күні Зермело-Фраенкель теориясын құрды, тарихи даулы таңдау аксиомасы (AC) қосылған, стандартты түрі болып табылады аксиоматикалық жиындар теориясы және ең көп таралған математиканың негізі. Таңдау аксиомасымен бірге Зермело-Фраенкель жиынтығы теориясы қысқартылған ZFC, онда C «таңдау» дегенді білдіреді,[1] және ZF таңдау аксиомасын алып тастаған Зермело-Фраенкель жиынтығы теориясының аксиомаларына сілтеме жасайды.

Зермело-Фраенкель жиынтығы теориясы а. Деген алғашқы қарабайыр ұғымды формализациялауға арналған тұқым қуалаушылық негізделген орнатылды, сондықтан бәрі субъектілер ішінде дискурс әлемі осындай жиынтықтар. Осылайша аксиомалар Зермело-Фраенкель жиынтығы теориясына қатысты таза жиынтықтар және оның алдын алу модельдер құрамынан урелементтер (өздері жиын емес жиындардың элементтері). Сонымен қатар, тиісті сыныптар (жинақтар математикалық объектілер егер олардың жиынтықтары тым үлкен болса, олардың мүшелері бөлетін қасиеттермен анықталады) тек жанама түрде қарастырылуы мүмкін. Нақтырақ айтсақ, Зермело-Фраенкель жиынтығы теориясы а-ның өмір сүруіне жол бермейді әмбебап жиынтық (барлық жиынтықтарды қамтитын жиынтық) не үшін шектеусіз түсіну, осылайша Расселдің парадоксынан аулақ болыңыз. Фон Нейман-Бернейс-Годель жиынтығы теориясы (NBG) - көбінесе қолданылады консервативті кеңейту Зермело-Фраенкель жиынтығының теориясы, бұл тиісті сыныптарды нақты емдеуге мүмкіндік береді.

Цермело-Фраенкель жиынтығы теориясының көптеген эквивалентті тұжырымдары бар. Аксиомалардың көпшілігінде басқа жиындардан анықталған белгілі жиындардың болуы туралы айтылады. Мысалы, жұптастыру аксиомасы кез-келген екі жиын берілген деп айтады және жаңа жиынтық бар дәл бар және . Басқа аксиомалар жиынтық мүшелік қасиеттерін сипаттайды. Аксиомалардың мақсаты әр аксиома шындыққа сәйкес келеді, егер олар барлық жиынтықтардың жиынтығы туралы мәлімдеме ретінде түсіндірілсе фон Нейман әлемі (жиынтық иерархия деп те аталады). Ресми түрде ZFC а бір сұрыпталған теория жылы бірінші ретті логика. The қолтаңба теңдікке және бірыңғай примитивке ие екілік қатынас, мүшелік орнату, ол әдетте белгіленеді . The формула жиынтығы дегенді білдіреді жиынтықтың мүшесі болып табылады (ол да оқылады, « элементі болып табылады «немесе» ішінде ").

The метаматематика Зермело-Фраенкель жиынтығы теориясы жан-жақты зерттелген. Осы бағыттағы маңызды нәтижелер логикалық тәуелсіздік қалған Зермело-Фраенкель аксиомаларынан таңдау аксиомасы (қараңыз) Таңдау аксиомасы # Тәуелсіздік ) және үздіксіз гипотеза ZFC-тен. The дәйектілік ZFC сияқты теорияны теорияның өзінде дәлелдеу мүмкін емес, көрсетілгендей Годельдің екінші толық емес теоремасы.

Тарих

Қазіргі заманғы зерттеу жиынтық теориясы бастамашысы болды Георгий Кантор және Ричард Дедекинд 1870 жж. Алайда, ашылуы парадокстар жылы аңғал жиынтық теориясы, сияқты Расселдің парадоксы, осы парадокстардан арылған жиынтық теориясының қатаң формасына ұмтылысқа әкелді.

1908 жылы, Эрнст Зермело біріншісін ұсынды аксиоматикалық жиындар теориясы, Зермело жиынтығы теориясы. Алайда, бірінші рет атап өткендей Авраам Фраенкел 1921 жылы Зермелоға жолдаған хатында бұл теория белгілі жиындардың бар екендігін дәлелдеуге қабілетсіз болды негізгі сандар оның өмірін уақыттың көптеген теоретиктері, атап айтқанда кардиналды сан, табиғи деп қабылдады және жиынтық қайда кез келген шексіз жиын және болып табылады қуат орнатылды жұмыс.[2] Сонымен қатар, Зермелоның аксиомаларының бірі оперативті мағынасы түсініксіз «анықталған» қасиет туралы тұжырымдама жасады. 1922 жылы Фраенкель және Торальф Школем а-да жақсы қалыптасқан формула ретінде тұжырымдала алатын қасиет ретінде «белгілі» қасиетті жедел пайдалануға ұсынылған бірінші ретті логика кімдікі атомдық формулалар белгіленген мүшелік пен жеке куәлікпен шектелді. Олар сондай-ақ өз бетінше ауыстыруды ұсынды сипаттаманың аксиома схемасы бірге ауыстырудың аксиома схемасы. Осы схеманы қолдану, сонымен қатар заңдылық аксиомасы (бірінші ұсынған Джон фон Нейман ),[3] Зермелоға теория теориясы белгілеген теорияны береді ZF. ZF-ге қосыңыз таңдау аксиомасы (AC) немесе оған балама тұжырым ZFC береді.

Аксиомалар

ZFC аксиомаларының көптеген баламалы тұжырымдамалары бар; Бұл туралы талқылау үшін қараңыз Фраенкель, Бар-Хилл және Леви 1973 ж. Келесі нақты аксиома жиынтығы Кунан (1980). Аксиомалар өзіндік символикасында көрінеді бірінші ретті логика. Байланысты ағылшын прозасы интуицияға көмектесуге ғана арналған.

ZFC-дің барлық тұжырымдамалары кем дегенде бір жиынтықтың бар екендігін білдіреді. Куненге төменде келтірілген аксиомалардан басқа жиынтықтың бар екендігін тікелей дәлелдейтін аксиома кіреді (бірақ ол мұны тек «екпін үшін» жасайды).[4] Мұндағы кемшіліктерді екі жолмен ақтауға болады. Біріншіден, ZFC әдетте рәсімделген бірінші ретті логиканың стандартты семантикасында дискурстың домені бос болмауы керек. Демек, бұл нәрсе бар деген бірінші ретті логиканың теоремасы - әдетте бір нәрсенің өзіне ұқсас екендігі туралы тұжырым түрінде көрінеді, . Демек, бұл кез-келген бірінші ретті теорияның теоремасы, ол бар нәрсе. Алайда, жоғарыда айтылғандай, ZFC-нің жоспарланған семантикасында тек жиынтықтар болғандықтан, ZFC контекстіндегі бұл логикалық теореманы түсіндіру кейбір орнатылды бар. Демек, жиын бар деп тұжырымдайтын жеке аксиоманың қажеті жоқ. Екіншіден, ZFC деп аталатын тұжырымдалған болса да тегін логика, онда тек бірдеңенің болуы тек логикадан дәлелденбесе, шексіздік аксиомасы (төменде) шексіз жиын бар. Бұл мұны білдіреді а жиын бар, сондықтан тағы да аксиоманы қосудың қажеті жоқ.

1. Экстенсионалдылық аксиомасы

Екі жиын тең, егер олардың элементтері бірдей болса (бірдей жиын).

Бұл аксиоманың керісінше мәні-нің ауыстыру қасиетінен шығады теңдік. Егер фондық логика теңдікті қамтымаса »", келесі формуланың аббревиатурасы ретінде анықталуы мүмкін:[5]

Бұл жағдайда экстенсивтілік аксиомасын келесі түрде қайта құруға болады

егер бұл болса және бірдей элементтерге ие болса, онда олар бірдей жиындарға жатады.[6]

2. Заңдылық аксиомасы (негіз аксиомасы деп те аталады)

Бос емес жиынтық құрамында мүше бар осындай және болып табылады бөлінбеген жиынтықтар.

[7]

немесе қазіргі нотада:

Бұл (жұптастыру аксиомасымен бірге), мысалы, ешқандай жиынтық өзінің элементі емес және кез-келген жиынтықта реттік дәреже.

3. Сипаттаманың аксиома схемасы (бөлудің немесе шектеулі түсінудің аксиома схемасы деп те аталады)

Ішкі жиындар көбіне пайдаланып жасалады құрастырушы белгісін орнатыңыз. Мысалы, жұп бүтін сандарды бүтін сандардың ішкі жиыны ретінде құруға болады қанағаттанарлық үйлесімділік модулі предикат :

Жалпы, жиынның ішкі жиыны формулаға бағыну бір еркін айнымалысы бар келесі түрде жазылуы мүмкін:

Сипаттаманың аксиома схемасында бұл жиын әрқашан бар екендігі айтылады (ол аксиома схема өйткені әрқайсысы үшін бір аксиома бар ). Ресми түрде, рұқсат етіңіз арасында барлық еркін айнымалылар бар ZFC тіліндегі кез-келген формула болуы керек ( еркін емес ). Содан кейін:

Сипаттаманың аксиома схемасы тек ішкі жиындарды құра алатындығына және жалпы нысандағы объектілерді салуға мүмкіндік бермейтініне назар аударыңыз:

Бұл шектеуді болдырмау үшін қажет Расселдің парадоксы және оның аңғал жиынтық теориясымен бірге жүретін нұсқалары шектеусіз түсіну.

ZF-тің кейбір басқа аксиоматизацияларында бұл аксиома артық ауыстырудың аксиома схемасы және бос жиынтықтың аксиомасы.

Екінші жағынан, спецификация аксиомасын бар болуын дәлелдеу үшін пайдалануға болады бос жиын, деп белгіленді , кем дегенде бір жиынтық бар екендігі белгілі болған кезде (жоғарыдан қараңыз). Мұның бір әдісі - меншікті пайдалану ешқандай жиынтығы жоқ. Мысалы, егер кез келген қолданыстағы жиын болып табылады, бос жиынды келесі түрде құруға болады

Осылайша бос жиынтықтың аксиомасы мұнда келтірілген тоғыз аксиома көздейді. Кеңеюдің аксиомасы бос жиынтықтың бірегей екендігін білдіреді (тәуелді емес) ). А жасау әдеттегідей анықтамалық кеңейту белгісін қосады »«ZFC тіліне.

4. Жұптастыру аксиомасы

Егер және жиындар, содан кейін бар жиын бар және элементтер ретінде.

Мұны дәл осы екі элементтен тұратын жиынтыққа дейін азайту үшін спецификацияның аксиома схемасын қолдану керек. Жұптастыру аксиомасы Z бөлігі болып табылады, бірақ ZF-де артық, өйткені ол ауыстырудың аксиомалық схемасынан туындайды, егер бізге кем дегенде екі элементтен тұратын жиын берілсе. Кем дегенде екі элементтен тұратын жиынтықтың бар екендігі мынаған кепілдендірілген шексіздік аксиомасы, немесе сипаттаманың аксиома схемасы бойынша және қуат жиынтығының аксиомасы кез-келген жиынтыққа екі рет қолданылады.

5. Біріктіру аксиомасы

The одақ жиын элементтері бар. Мысалы, жиын элементтері бойынша бірігу болып табылады

Біріктіру аксиомасында жиындардың кез-келген жиынтығы үшін айтылады жиынтық бар құрамына кіретін әрбір элементтен тұрады :

Бұл формула тікелей бар екенін дәлелдемесе де , жиынтық бастап салынуы мүмкін сипаттаманың аксиома схемасын қолдану арқылы жоғарыда:

6. Аксиома ауыстыру схемасы

Ауыстырудың аксиомалық схемасы сурет кез келген анықталатын жиынтықтың функциясы жиынтықтың ішіне түседі.

Ресми түрде, рұқсат етіңіз кез келген болуы формула ZFC тілінде кімдікі еркін айнымалылар арасында сондықтан, атап айтқанда тегін емес . Содан кейін:

Мағынасы үшін , қараңыз бірегейліктің өлшемі.

Басқаша айтқанда, егер қатынас анықталатын функцияны білдіреді , оны білдіреді домен, және әрқайсысына арналған жиынтық содан кейін ауқымы туралы кейбір жиындардың ішкі жиыны болып табылады . Мұнда көрсетілген нысан, онда қатаңнан үлкенірек болуы мүмкін, кейде деп аталады аксиома схемасы.

7. Шексіздік аксиомасы

Алғашқы фон Нейман ординалисттері
0= { }= ∅
1= { 0}= {∅}
2= { 0, 1}= { ∅, {∅} }
3= { 0, 1, 2}= { ∅, {∅}, {∅, {∅}} }
4= { 0, 1, 2, 3}= { ∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}} }

Келіңіздер қысқарту қайда жиынтығы бар. (Біз мұны көре аламыз жұптастыру аксиомасын қолдану арқылы жарамды жиынтық болып табылады сондықтан жиынтық болып табылады ). Содан кейін жиын бар бос жиын сияқты мүшесі болып табылады және кез келген уақытта мүшесі болып табылады содан кейін мүшесі болып табылады .

Ауызекі тілде, жиын бар көптеген мүшелері бар. (Алайда бұл мүшелердің әрқилы екендігі анықталуы керек, өйткені егер екі элемент бірдей болса, реттілік жиындардың ақырлы циклінде айналады. Заңдылық аксиомасы бұған жол бермейді.) Минималды жиын шексіздік аксиомасын қанағаттандыратын бұл фон Нейман жиынтығы ретінде қарастыруға болады натурал сандар

8. Қуат жиынтығы аксиомасы

Анықтама бойынша жиынтық Бұл ішкі жиын жиынтықтың егер әр элементтің болса ғана элементі болып табылады :

Қуат жиынтығы аксиомасы кез-келген жиын үшін бұл туралы айтады , жиынтық бар құрамына кіретін :

Сипаттаманың аксиома схемасы содан кейін анықтау үшін қолданылады қуат орнатылды ішкі а ішкі жиындарын қамтиды дәл:

Аксиомалар 1–8 ZF анықтаңыз. Осы аксиомалардың альтернативті формалары жиі кездеседі, олардың кейбіреулері келтірілген Джех (2003). Кейбір ZF аксиоматизацияларына аксиома жатады бос жиын бар. Жұптасу, бірігу, ауыстыру және қуат жиынтығының аксиомалары жиын мүшелері үшін жиі айтылады олардың бар екендігі дәлелденетін аксиома бекітетін жиынтықтар қамтуы керек.

ZF-ті ZFC-ге айналдыру үшін келесі аксиома қосылады:

9. Жақсы реттелген теорема

Кез-келген жиынтық үшін , бар екілік қатынас қайсысы жақсы тапсырыс . Бұл білдіреді Бұл сызықтық тәртіп қосулы әрбір бос емес сияқты ішкі жиын туралы құрамында ең аз мүше бар .

Берілген аксиомалар 1 – 8, аксиомаға баламалы көптеген тұжырымдар бар 9, олардың ішіндегі ең жақсы белгілі таңдау аксиомасы (AC), ол келесідей жүреді. Келіңіздер барлық мүшелері бос емес жиынтық болу. Сонда функция бар бастап мүшелерінің одағына , «деп аталадытаңдау функциясы «, бәріне арналған біреуінде бар . Таңдау функциясы болғаннан бері Бұл ақырлы жиынтық аксиомалардан оңай дәлелденеді 1–8, Айнымалы ток тек белгілі бір мәнге ие шексіз жиындар. Айнымалы ток сипатталады конструктивті емес өйткені бұл таңдау жиынтығының бар екендігін растайды, бірақ таңдау жиынтығының «құрастырылуы» туралы ештеңе айтпайды. Көптеген зерттеулер[бұлыңғыр ] белгілі бір жиынтықтардың анықталуын (немесе олардың жоқтығын) сипаттауға тырысты[мысал қажет ] айнымалы токтың бар екендігі дәлелдейді.

Кумулятивтік иерархия арқылы мотивация

ZFC аксиомаларының бір мотивациясы болып табылады кумулятивті иерархия енгізілген жиынтықтар Джон фон Нейман.[8] Осы тұрғыдан алғанда, жиынтық теориясының әлемі кезең-кезеңмен құрылады, әрқайсысы үшін бір кезең бар реттік сан. 0 кезеңде әлі жиынтықтар жоқ. Әрбір келесі кезеңде, егер оның барлық элементтері алдыңғы кезеңдерде қосылса, жиынтық әлемге қосылады. Осылайша бос жиын 1-кезеңде, ал бос жиынтықты қамтитын жиын 2-ші кезеңде қосылады.[9] Осылайша алынған барлық жиындардың барлық кезеңдер бойынша жиынтығы V деп аталады. V-дегі жиынтықтар әр жиынға сол жиынтық V қосылатын бірінші кезеңді тағайындау арқылы иерархия бойынша орналасуы мүмкін.

Жиын V болған жағдайда дәлелденеді, егер жиын бар болса ғана таза және негізделген; және егер V ординалдар класы тиісті шағылысу қасиеттеріне ие болса, V ZFC-нің барлық аксиомаларын қанағаттандырады. Мысалы, бұл жиынтық делік х α сатысында қосылады, бұл дегеніміз х α-дан ерте сатыда қосылды. Содан кейін х α сатысында да қосылады, өйткені кез келген ішкі жиынының барлық элементтері х α кезеңіне дейін де қосылды. Бұл кез-келген ішкі жиыны дегенді білдіреді х бөлу аксиомасын құра алатын α сатысында қосылады және оның қуаты х αдан кейін келесі кезеңде қосылады. V ZFC-ді қанағаттандыратын толық дәлелді қараңыз Шоинфилд (1977).

Жиынтық иерархияға стратификацияланған жиынтықтар әлемінің суреті ZFC-ге және оған қатысты аксиоматикалық жиынтық теорияларына тән. Фон Нейман-Бернейс-Годель жиынтығы теориясы (көбінесе NBG деп аталады) және Морз-Келли жиынтығы теориясы. Жинақталған иерархия басқа жиынтық теориялармен үйлеспейді Жаңа қорлар.

Анықтамасын өзгертуге болады V сондықтан әр кезеңде алдыңғы кезеңдердегі одақтың барлық ішкі жиындарын қосудың орнына, егер олар белгілі бір мағынада анықталатын болса ғана ішкі жиындар қосылады. Нәтижесінде «тар» иерархия пайда болады құрастырылатын ғалам L, ол сонымен қатар ZFC-тің барлық аксиомаларын, соның ішінде таңдау аксиомасын қанағаттандырады. Бұл ZFC аксиомаларына тәуелсіз V = L. Құрылымы болғанымен L қарағанда тұрақты және өзін жақсы ұстайдыV, бірнеше математиктер бұл туралы айтадыVL қосымша ретінде ZFC қосылуы керек «құрылымдық аксиомасы ".

Метаматематика

Виртуалды сабақтар

Бұрын айтылғандай, тиісті сыныптар (олардың мүшелері бөлетін қасиеттермен анықталатын математикалық объектілер жиынтығы), тек жанама түрде ZF-де (және, демек, ZFC) қарастырылуы мүмкін. ZFC - бұл виртуалды класс енгізілген нотациялық конструкция Квине (1969), мұнда бүкіл құрылыс ж ∈ { х | Fх } жай F ретінде анықталадыж.[10] Бұл кластардың онтологиясын қабылдамай, жинақтарды қамтуы мүмкін, бірақ өздері жиынтықты қажет етпейтін сыныптар үшін қарапайым жазуды ұсынады (өйткені белгіні синтаксистік жолмен тек жиынтықтарды қолданатын түрге ауыстыруға болады). Quine-дің бұрынғы тәсіліне негізделген тәсіл Bernays & Fraenkel (1958). Виртуалды сыныптар да қолданылады Леви (2002), Такеути және Заринг (1982), және Метамата ZFC енгізу.

Фон Нейман-Бернейс-Годель жиынтығы теориясы

Ауыстыру мен бөлудің аксиома схемасында әрқайсысы шексіз көп данадан тұрады. Монтегу (1961) алғаш рет 1957 жылы кандидаттық диссертациясында дәлелденген нәтижені қосады тезис: егер ZFC дәйекті болса, тек көптеген аксиомаларды қолдану арқылы ZFC-ті аксиоматизациялау мүмкін емес. Басқа жақтан, фон Нейман-Бернейс-Годель жиынтығы теориясы (NBG) түпкілікті аксиоматизациялануы мүмкін. НБГ онтологиясына кіреді тиісті сыныптар сонымен қатар жиынтықтар; жиын - бұл басқа кластың мүшесі бола алатын кез келген класс. NBG және ZFC - кез келген мағынасында эквивалентті жиынтық теориялары теорема сыныптар туралы айтпау және бір теорияда дәлелденетінін басқа теорияда дәлелдеу мүмкін.

Жүйелілік

Годельдің екінші толық емес теоремасы түсіндіре алатын рекурсивті аксиоматизацияланатын жүйе дейді Робинзон арифметикасы сәйкес келмеген жағдайда ғана өзінің дәйектілігін дәлелдей алады. Сонымен қатар, Робинсон арифметикасын түсіндіруге болады жалпы жиынтық теориясы, ZFC кішкене фрагменті. Демек дәйектілік ZFC-ді ZFC ішінде дәлелдеу мүмкін емес (егер ол шынымен сәйкес келмесе). Осылайша, ZFC қарапайым математикамен қаншалықты сәйкестендірілген болса, қарапайым математикада ZFC дәйектілігін көрсету мүмкін емес. ZFC консистенциясы әлсіздің болуынан туындайды қол жетпейтін кардинал, егер ZFC сәйкес болса, бұл ZFC-де дәлелденбейді. Дегенмен, ZFC күдіктенбеген қарама-қайшылықты сезінуі екіталай деп саналады; егер ZFC сәйкес келмесе, бұл факт қазірге дейін ашылған болар еді деген пікір кең таралған. Бұл ZFC классикалық парадокстарға қарсы иммунитет аңғал жиынтық теориясы: Расселдің парадоксы, Бурали-Форти парадоксы, және Кантор парадоксы.

Абиан және ЛаМачкиа (1978) оқыды субтория экстенсивтілік, бірігу, қуат жиынтығы, ауыстыру және таңдау аксиомаларынан тұратын ZFC. Қолдану модельдер, олар бұл кіші теорияны дәйекті түрде дәлелдеді және кеңею, ауыстыру және қуат жиынтығының аксиомаларының әрқайсысы осы кіші теорияның қалған төрт аксиомаларына тәуелсіз екендігін дәлелдеді. Егер бұл субтория шексіздік аксиомасымен толықтырылса, біріктіру, таңдау және шексіздік аксиомаларының әрқайсысы қалған бес аксиомадан тәуелсіз. Заңдылық аксиомасынан басқа ZFC аксиомасын қанағаттандыратын негізделмеген модельдер болғандықтан, аксиома басқа ZFC аксиомаларына тәуелсіз.

Сәйкес болса, ZFC-нің бар екенін дәлелдей алмайды қол жетімді емес кардиналдар бұл категория теориясы талап етеді. Егер ZF ұлғайтылған болса, осындай сипаттағы үлкен жиынтықтар мүмкін Тарскийдің аксиомасы.[11] Аксиоманы аксиомалар айналдырады деп ұйғарсақ шексіздік, қуат орнатылды, және таңдау (7 – 9 теоремаларға).

Тәуелсіздік

Көптеген маңызды мәлімдемелер тәуелсіз ZFC туралы (қараңыз. қараңыз) ZFC-де шешілмейтін мәлімдемелер тізімі ). Тәуелсіздік, әдетте, дәлелденеді мәжбүрлеу, сол арқылы әрбір есептелетін өтпелі екендігі көрсетілген модель ZFC туралы (кейде көбейтіледі үлкен кардиологиялық аксиомалар ) қарастырылып отырған пікірді қанағаттандыру үшін кеңейтілуі мүмкін. Содан кейін тұжырымның терістеуін қанағаттандыру үшін басқа кеңейту көрсетіледі. Тәуелсіздікті дәлелдеу арифметикалық тұжырымдардан, басқа нақты тұжырымдардан және үлкен кардиомалардан тәуелсіздігін автоматты түрде дәлелдейді. ZFC-ге тәуелсіз кейбір мәлімдемелер, атап айтқанда, дәлелденуі мүмкін ішкі модельдер, сияқты құрастырылатын ғалам. Алайда, құрастырылатын жиындарға қатысты кейбір тұжырымдар гипотезаға негізделген үлкен кардиналды аксиомалармен сәйкес келмейді.

Мәжбүрлеу келесі тұжырымдардың ZFC-ге тәуелсіз екендігін дәлелдейді:

Ескертулер:

Әдісі бойынша вариация мәжбүрлеу дәйектілігі мен дәлелденбейтіндігін көрсету үшін де қолданыла алады таңдау аксиомасы, яғни таңдау аксиомасы ZF-ге тәуелді емес. Ішкі модель L таңдауды қанағаттандыратынын дәлелдеу арқылы таңдаудың дәйектілігін (салыстырмалы түрде) оңай тексеруге болады. (Осылайша, ZF-тің кез-келген моделінде ZFC субмоделі бар, сондықтан Con (ZF) Con (ZFC) білдіреді.) Мәжбүрлеу таңдауды сақтайтындықтан, біз тікелей қанағаттандыратын таңдау моделінен қайшылықты модель шығара алмаймыз. Алайда, біз моделін жасау үшін мәжбүрлеп қолдана аламыз, оның құрамында қолайлы субмодель бар, атап айтқанда ZF қанағаттандыратын, бірақ С емес.

Тәуелсіздік нәтижелерін дәлелдеудің тағы бір әдісі, оған мәжбүр етудің қажеті жоқ Годельдің екінші толық емес теоремасы. Бұл тәсіл ZFC-дің белгіленген моделінің бар екендігін дәлелдеу үшін тәуелсіздігі тексеріліп отырған тұжырымды қолданады, бұл жағдайда Con (ZFC) шындыққа сәйкес келеді. ZFC Годельдің екінші теоремасының шарттарын қанағаттандырғандықтан, ZFC-тің консистенциясы ZFC-де дәлелденбейді (егер ZFC шын мәнінде сәйкес болса). Демек, ZFC-де мұндай дәлелдеуге мүмкіндік беретін ешқандай мәлімдеме дәлелденбейді. Бұл әдіс бар екенін дәлелдей алады үлкен кардиналдар ZFC-де дәлелденбейді, бірақ ZFC-ті ескере отырып, мұндай кардиналдарды қарастыру қайшылықсыз екенін дәлелдей алмайды.

Ұсынылған толықтырулар

Үздіксіз гипотезаны немесе басқа мета-математикалық түсініксіздікті шешу үшін қосымша аксиомалардың артында тұрған теоретиктерді біріктіру жобасы кейде «Годель бағдарламасы» деп аталады.[12] Қазіргі кезде математиктер қай аксиомалар неғұрлым ақылға қонымды немесе «өзін-өзі анықтайтын», қай аксиомалар әр түрлі домендерде ең пайдалы болатындығы және қаншалықты дәрежеде пайдалылықты ақылға қонымдылықпен ауыстыру керек екендігі туралы пікірталас жүргізуде; кейбір «көпсатылы «жиынтық теоретиктер пайдалылық әдеттегідей аксиомаларды қабылдайтын жалғыз басты критерий болуы керек деп тұжырымдайды. Ойлаудың бір мектебі жиынтықтың» қайталанатын «тұжырымдамасын кеңейтуге сүйенеді, бұл қызықты және күрделі, бірақ ақылға қонымды құрылымы бар теоретикалық жиынтық мәжбүрлі аксиомаларды қабылдау арқылы, тағы бір мектеп «негізгі» ішкі модельге бағдарланған, аз тәртіпсіз ғаламды жақтайды.[13]

Сындар

Жалпы жиынтық теориясын сынау үшін қараңыз Теорияны қоюға қарсылықтар

ZFC шамадан тыс күшті және тым әлсіз, сондай-ақ тиісті сыныптар мен объектілерді түсіре алмағаны үшін сынға алынды әмбебап жиынтық.

Сияқты көптеген математикалық теоремаларды ZFC-ге қарағанда әлдеқайда әлсіз жүйелерде дәлелдеуге болады Пеано арифметикасы және екінші ретті арифметика (бағдарламасы бойынша зерттелген кері математика ). Сондерс Мак-Лейн және Соломон Феферман екеуі де осы ойды айтты. Кейбір «негізгі математика» (математика аксиоматикалық жиындар теориясымен тікелей байланысты емес) Пеано арифметикасынан және екінші ретті арифметикадан тыс, бірақ бәрібір мұндай математиканы ZC-де жүргізуге болады (Зермело жиынтығы теориясы тағы бір теория ZFC-ге қарағанда әлсіз). ZFC қуатының көп бөлігі, оның ішінде жүйелілік аксиомасы мен ауыстыру аксиомасының схемасы, ең алдымен жиынтық теориясының өзін зерттеуді жеңілдету үшін енгізілген.

Екінші жағынан, арасында аксиоматикалық жиынтық теориялары, ZFC салыстырмалы түрде әлсіз. Айырмашылығы жоқ Жаңа қорлар, ZFC әмбебап жиынтықтың болуын мойындамайды. Демек ғалам ZFC бойынша жиынтықтар қарапайым операциялар бойынша жабылмайды жиындар алгебрасы. Айырмашылығы жоқ фон Нейман-Бернейс-Годель жиынтығы теориясы (NBG) және Морз-Келли жиынтығы теориясы (MK), ZFC бар екенін мойындамайды тиісті сыныптар. ZFC-дің келесі салыстырмалы әлсіздігі мынада таңдау аксиомасы ZFC-ге енгізілгенге қарағанда әлсіз жаһандық таңдау аксиомасы NBG және MK құрамына кіреді.

Олардың саны өте көп ZFC-де шешілмейтін математикалық тұжырымдар. Оларға үздіксіз гипотеза, Уайтхед проблемасы, және Мур кеңістігінің қалыпты гипотезасы. Сияқты болжамдардың кейбіреулері, мысалы, аксиомалар қосумен дәлелденеді Мартин аксиомасы немесе үлкен кардиологиялық аксиомалар ZFC-ге. Кейбіреулері ZF + AD бойынша шешіледі, мұндағы AD - детерминация аксиомасы, таңдауымен үйлеспейтін күшті болжам. Үлкен кардиондық аксиомалардың бір тартымдылығы - бұл ZF + AD-тан көптеген нәтижелерді кейбір үлкен кардиналды аксиомалармен іргелес ZFC-де орнатуға мүмкіндік береді (қараңыз) проективті детерминация ). The Mizar жүйесі және Метамата асырап алды Тарски-Гротендик жиынтығы теориясы, ZFC-ді кеңейту, соның дәлелі болуы керек Гротендиек ғаламдары (санат теориясында және алгебралық геометрияда кездеседі) формальды болуы мүмкін.

Сондай-ақ қараңыз

Байланысты аксиоматикалық жиынтық теориялары:

Ескертулер

  1. ^ Ciesielski 1997 ж. «Zermelo-Fraenkel аксиомалары (қысқартылған ZFC, мұнда C таңдау аксиомасын білдіреді»)
  2. ^ Эббингауз 2007 ж, б. 136.
  3. ^ Halbeisen 2011, 62-63 б.
  4. ^ Кунан (1980, б. 10)
  5. ^ Хетчер 1982 ж, б. 138, анықтама 1.
  6. ^ Фраенкель, Бар-Хилл және Леви 1973 ж.
  7. ^ Shoenfield 2001, б. 239.
  8. ^ Shoenfield 1977, 2 бөлім.
  9. ^ Хинман 2005, б. 467.
  10. ^ (Сілтеме 2014 )
  11. ^ Тарски 1939 ж.
  12. ^ Феферман 1996 ж.
  13. ^ Wolchover 2013.

Келтірілген жұмыстар

Сыртқы сілтемелер