Таксиаб геометриясы - Taxicab geometry

Таксикаб геометриясы мен Евклид арақашықтығы: такси геометриясында қызыл, сары және көк жолдардың барлығы бірдей қысқа жол ұзындығы 12-ге тең. Евклидтік геометрияда жасыл сызықтың ұзындығы бар

{ displaystyle 6 { sqrt {2}} шамамен 8.49}

және бұл бірегей қысқа жол.

A такси геометриясы формасы болып табылады геометрия онда әдеттегі қашықтық функциясы немесе метрикалық туралы Евклидтік геометрия жаңа метрикамен ауыстырылады, онда қашықтық екі нүктенің арасындағы қосынды абсолютті айырмашылықтар олардың Декарттық координаттар. The такси метрикасы ретінде белгілі түзу қашықтық, L₁ қашықтық, L¹ қашықтық немесе ${ displaystyle ell _ {1}}$ норма (қараңыз L^б ғарыш ), жылан қашықтық, қалалық блок қашықтығы, Манхэттен қашықтығы немесе Манхэттеннің ұзындығы, геометрия атауының сәйкес өзгерулерімен.^[1] Соңғы атаулар бұл туралы меңзейді көптеген көшелердің тор сызбасы аралында Манхэттен Бұл автомобильдің екі қиылысы арасында өтуі мүмкін ең қысқа жолды тудырады аудан такси геометриясында қиылыстардың арақашықтығына тең ұзындық болуы керек.

Геометрия қолданылған регрессиялық талдау 18 ғасырдан бастап, бүгінгі күні жиі аталады ЛАССО. Геометриялық интерпретация күні евклидтік емес геометрия 19 ғасырдың және байланысты Герман Минковский.

Ресми анықтама

Такси қашықтығы, ${ displaystyle d_ {1}}$ , екі вектордың арасында ${ displaystyle mathbf {p}, mathbf {q}}$ ан n-өлшемді нақты векторлық кеңістік бекітілгенмен Декарттық координаттар жүйесі, - проекцияларының ұзындықтарының қосындысы сызық сегменті нүктелер арасындағы координат осьтері. Ресми түрде,

{ displaystyle d_ {1} ( mathbf {p}, mathbf {q}) = | mathbf {p} - mathbf {q} | _ {1} = sum _ {i = 1} ^ {n} | p_ {i} -q_ {i} |,}

қайда ${ displaystyle ( mathbf {p}, mathbf {q})}$ болып табылады векторлар

{ displaystyle mathbf {p} = (p_ {1}, p_ {2}, dots, p_ {n}) { text {and}} mathbf {q} = (q_ {1}, q_ {2 }, нүктелер, q_ {n}) ,}

Мысалы, ұшақ, арасындағы такси қашықтығы ${ displaystyle (p_ {1}, p_ {2})}$ және ${ displaystyle (q_ {1}, q_ {2})}$ болып табылады ${ displaystyle | p_ {1} -q_ {1} | + | p_ {2} -q_ {2} |.}$

Қасиеттері

Салық таксасының арақашықтығы тәуелді айналу координаттар жүйесінің, бірақ оған тәуелді емес шағылысу координат осі немесе оның аударма. Taxicab геометриясы бәрін қанағаттандырады Гильберттің аксиомалары (ресімдеу Евклидтік геометрия ) қоспағанда бүйірлік-бұрыштық аксиома, екі бірдей «ұзын» екі үшбұрыш және олардың арасындағы бұрыш бірдей емес үйлесімді егер аталған жақтар параллель болмаса.

Үйірмелер

Дискретті және үзіліссіз такси геометриясындағы шеңберлер

A шеңбер - деп аталатын, белгіленген қашықтықтағы нүктелер жиынтығы радиусы, деп аталатын нүктеден орталығы. Таксикаб геометриясында арақашықтық Евклид геометриясына қарағанда басқа метрикамен анықталады және шеңберлердің пішіні де өзгереді. Taxicab үйірмелері бар квадраттар қабырғалары координаталық осьтерге 45 ° бұрышқа бағытталған. Оң жақтағы кескін неліктен мұның рас екенін, қызыл түспен барлық нүктелердің жиынтығын центрден белгіленген қашықтықта, көк түспен көрсетеді. Қала блоктарының мөлшері кішірейген сайын нүктелер көбейіп, үздіксіз такси геометриясында айналатын квадратқа айналады. Әр жақтың ұзындығы болады ${ displaystyle { sqrt {2}} r}$ пайдалану Евклидтік метрика, қайда р - шеңбердің радиусы, оның такси геометриясындағы ұзындығы 2-ге теңр. Сонымен, шеңбердің шеңбері 8-ге теңр. Сонымен, геометриялық аналогтың мәні ${ displaystyle pi}$ Бұл геометрияда 4-ті құрайды. Таксикалық геометриядағы бірлік шеңбер формуласы мынада ${ displaystyle | x | + | y | = 1}$ жылы Декарттық координаттар және

{ displaystyle r = { frac {1} {| sin theta | + | cos theta |}}}

жылы полярлық координаттар.

Радиусы 1 шеңбер (осы қашықтықты қолдана отырып) - болып табылады фон Нейман маңы оның орталығынан.

Радиус шеңбері р үшін Чебышев арақашықтық (L_∞ метрикалық ) жазықтықта сонымен қатар қабырғасының ұзындығы 2 болатын квадрат боладыр координаталық осьтерге параллель, сондықтан жазықтықтағы Чебышев қашықтығын айналу және тақтайлық такси қашықтығына масштабтау арқылы баламалы деп санауға болады. Алайда, L арасындағы бұл эквиваленттілік₁ және Л._∞ метрикалар жоғары өлшемдерге жалпыланбайды.

Осы шеңберлер жиынтығындағы әр жұп бос емес қиылысқа ие болған кезде, бүкіл жиын үшін қиылысу нүктесі болады; сондықтан Манхэттен қашықтығы ан инъекциялық метрикалық кеңістік.

Қолданбалар

Шахматтағы қашықтық өлшемдері

Жылы шахмат, квадраттар арасындағы қашықтық шахмат тақтасы үшін қарақшылар такси қашықтығымен өлшенеді; патшалар және ханшайымдар пайдалану Чебышев арақашықтық, және епископтар шахмат тақтасында таксидің арақашықтығын (бірдей түсті квадраттардың арасында) 45 градусқа айналдырыңыз, яғни оның диагональдары координаталық осьтермен. Бір квадраттан екінші квадратқа жету үшін тек патшалар өздерінің арақашықтықтарына тең жүрістер санын талап етеді; сарайлар, ханшайымдар мен епископтар бір немесе екі жүрісті қажет етеді (бос тақтада және епископтың жағдайында қозғалу мүлдем мүмкін деп ойлаңыз).

Сығымдалған зондтау

Шешуде анықталмаған жүйе сызықтық теңдеулер, регуляция параметр векторына арналған термин ${ displaystyle ell _ {1}}$ -вектордың нормасы (таксикаб геометриясы).^[2] Бұл тәсіл сигналды қалпына келтіру шеңберінде пайда болады қысылған зондтау.

Жиіліктің үлестірілуінің айырмашылықтары

Дискреттік жиіліктің үлестіріміндегі айырмашылықты бағалау үшін таксикаб геометриясын қолдануға болады. Мысалы, in РНҚ қосылуы позициялық үлестірімдері гексамерлер, бұл әрбір берілгенде пайда болу ықтималдығын графикте нуклеотид Бөлім учаскесінің жанында L1 арақашықтықпен салыстыруға болады. Әр позицияның таралуы вектор ретінде ұсынылуы мүмкін, онда әр жазба гексамераның белгілі бір нуклеотидтен басталу ықтималдығын білдіреді. Екі вектор арасындағы үлкен L1 арақашықтық үлестірімдер сипатындағы айтарлықтай айырмашылықты көрсетеді, ал кішігірім қашықтық ұқсас пішінді үлестірімдерді білдіреді. Бұл екі үлестірім қисығының арасындағы ауданды өлшеуге тең, себебі әр сегменттің ауданы екі қисықтың сол нүктедегі ықтималдығы арасындағы абсолютті айырмашылықты құрайды. Барлық сегменттер үшін жиынтықта ол L1-арақашықтық сияқты өлшемді ұсынады.^[3]

Тарих

The L¹ метрика қолданылды регрессиялық талдау 1757 жылы Роджер Джозеф Боскович.^[4] Геометриялық интерпретация 19 ғасырдың соңына және дамуға жатады евклидтік емес геометриялар, атап айтқанда Герман Минковский және оның Минковский теңсіздігі, оның ішінде геометрия ерекше жағдай болып табылады, әсіресе сандардың геометриясы, (Минковский 1910 ж ). Ресми L^б кеңістіктер есептеледі (Riesz 1910 ).

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

^ Қара, Пол Э. «Манхэттен қашықтығы». Алгоритмдер және мәліметтер құрылымы сөздігі. Алынған 6 қазан, 2019.
^ Донохо, Дэвид Л. (23 наурыз, 2006). «Үлкен анықталмаған сызықтық теңдеулер жүйесі үшін минималды ${ displaystyle ell _ {1}}$ -норм ерітіндісі де ең сирек шешім болып табылады ». Таза және қолданбалы математика бойынша байланыс. 59 (6): 797–829. дои:10.1002 / cpa.20132.
^ Лим, Киан Хуат; Ferraris, Luciana; Филло, Мадлен Э .; Рафаэль, Бенджамин Дж.; Фэрбрротер, Уильям Г. (5 шілде, 2011). «Позициялық үлестіруді сплайсинг элементтерін анықтау және адам гендеріндегі мРНК-ға дейінгі өңдеу ақауларын болжау үшін қолдану». Америка Құрама Штаттарының Ұлттық Ғылым Академиясының еңбектері. 108 (27): 11093–11098. Бибкод:2011PNAS..10811093H. дои:10.1073 / pnas.1101135108. PMC 3131313. PMID 21685335.
^ Стиглер, Стивен М. (1986). Статистика тарихы: 1900 жылға дейінгі белгісіздікті өлшеу. Гарвард университетінің баспасы. ISBN 9780674403406. Алынған 6 қазан, 2019.

Әдебиеттер тізімі

Краузе, Евгений Ф. (1987). Таксикалық геометрия. Довер. ISBN 978-0-486-25202-5.
Минковский, Герман (1910). Geometrie der Zahlen (неміс тілінде). Лейпциг және Берлин: Р. Г. Теубнер. JFM 41.0239.03. МЫРЗА 0249269. Алынған 6 қазан, 2019.
Риес, Фриг (1910). «Funktionen жүйелік интегралды жүйеге қосылу». Mathematische Annalen (неміс тілінде). 69 (4): 449–497. дои:10.1007 / BF01457637. hdl:10338.dmlcz / 128558.

Сыртқы сілтемелер

Вайсштейн, Эрик В. «Taxicab Metric». MathWorld.
Малкевич, Джо (1 қазан, 2007). «Такси!». Американдық математикалық қоғам. Алынған 6 қазан, 2019.

[1] Қара, Пол Э. «Манхэттен қашықтығы». Алгоритмдер және мәліметтер құрылымы сөздігі. Алынған 6 қазан, 2019.

[2] Донохо, Дэвид Л. (23 наурыз, 2006). «Үлкен анықталмаған сызықтық теңдеулер жүйесі үшін минималды ${ displaystyle ell _ {1}}$ -норм ерітіндісі де ең сирек шешім болып табылады ». Таза және қолданбалы математика бойынша байланыс. 59 (6): 797–829. дои:10.1002 / cpa.20132.

[lim-3] Лим, Киан Хуат; Ferraris, Luciana; Филло, Мадлен Э .; Рафаэль, Бенджамин Дж.; Фэрбрротер, Уильям Г. (5 шілде, 2011). «Позициялық үлестіруді сплайсинг элементтерін анықтау және адам гендеріндегі мРНК-ға дейінгі өңдеу ақауларын болжау үшін қолдану». Америка Құрама Штаттарының Ұлттық Ғылым Академиясының еңбектері. 108 (27): 11093–11098. Бибкод:2011PNAS..10811093H. дои:10.1073 / pnas.1101135108. PMC 3131313. PMID 21685335.

[Stigler1986-4] Стиглер, Стивен М. (1986). Статистика тарихы: 1900 жылға дейінгі белгісіздікті өлшеу. Гарвард университетінің баспасы. ISBN 9780674403406. Алынған 6 қазан, 2019.

[1]

[2]

[3]

[4]