Ішкі метрика - Intrinsic metric

Ішінде математикалық зерттеу метрикалық кеңістіктер деп санауға болады доға ұзындығы кеңістіктегі жолдардың Егер екі нүкте бір-бірінен берілген қашықтықта болса, онда арклл ұзындығы сол қашықтыққа тең (немесе өте жақын) болатын жол бойымен бірінші нүктеден екіншісіне жету керек деп күтуге болады. Метрикалық кеңістіктің екіге дейінгі арақашықтық меншікті метрика ретінде анықталады шексіз барлық нүктелердің бірінші нүктеден екіншісіне дейінгі ұзындықтары. Метрикалық кеңістік - бұл метрлік кеңістік егер ішкі метрика кеңістіктің бастапқы метрикасымен сәйкес келсе.

Егер кеңістіктің күшті қасиеті болса, онда ұзындықтың шексіздігіне жететін жол әрқашан бар (а геодезиялық ) онда оны а деп атауға болады геодезиялық метрикалық кеңістік немесе геодезиялық кеңістік. Мысалы, Евклидтік жазықтық геодезиялық кеңістік болып табылады сызық сегменттері оның геодезиясы ретінде. Евклид жазықтығы шығу тегі жойылған геодезиялық емес, дегенмен метрикалық кеңістік болып табылады.

Анықтамалар

Келіңіздер болуы а метрикалық кеңістік, яғни, нүктелер жиынтығы (мысалы, жазықтықтағы барлық нүктелер немесе шеңбердегі барлық нүктелер) және бізді қамтамасыз ететін функция болып табылады қашықтық нүктелер арасында . Біз жаңа көрсеткішті анықтаймыз қосулы , ретінде белгілі ішкі метрика, келесідей: болып табылады шексіз бастап барлық жолдардың ұзындықтары дейін .

Мұнда, а жол бастап дейін Бұл үздіксіз карта

бірге және . The ұзындығы мұндай жол түсіндірілгендей анықталады түзетілетін қисықтар. Біз қойдық егер бастап ақырлы ұзындықтың жолы болмаса дейін . Егер

барлық ұпайлар үшін және жылы , біз мұны айтамыз Бұл ұзындық кеңістігі немесе а жолдық метрикалық кеңістік және метрика болып табылады ішкі.

Біз метрика деп айтамыз бар шамамен орта нүктелер егер бар болса және кез-келген ұпай және жылы бар жылы осындай және екеуі де кіші

.

Мысалдар

  • Евклид кеңістігі кәдімгі евклидтік метрикамен - бұл жолдық метрикалық кеңістік. сонымен қатар.
  • The бірлік шеңбер евклидтік метрикадан қалған метрикамен ( аккордтық метрика) метрлік кеңістік емес. Индукцияланған ішкі метрика қашықтықты өлшейді бұрыштар жылы радиан, және алынған ұзындықтың метрикалық кеңістігі деп аталады Риман шеңбері. Екі өлшемде аккордтық метрика сфера меншікті емес, ал индукцияланған ішкі метрика үлкен шеңбер қашықтығы.
  • Әрқайсысы Риманн коллекторы екі нүктенің арақашықтығын екі нүктені жалғайтын үздіксіз дифференциалданатын қисықтардың ұзындығының шексіздігі ретінде анықтау арқылы жолдық метрикалық кеңістікке айналдыруға болады. (Риман құрылымы осындай қисықтардың ұзындығын анықтауға мүмкіндік береді.) Ұқсастық анықталған басқа коллекторларға ұқсас Финслерлік коллекторлар және суб-Риман коллекторлары.
  • Кез келген толық және дөңес метрикалық кеңістік ұзындық метрикалық кеңістік (Хамси және Кирк 2001, Теорема 2.16), нәтижесі Карл Менгер. Әдетте, керісінше болмайды: дөңес емес метрикалық кеңістіктер бар.

Қасиеттері

  • Жалпы, бізде бар және топология арқылы анықталады сондықтан әрқашан жіңішке анықталғанға қарағанда немесе тең .
  • Кеңістік әрқашан метрикалық кеңістік болып табылады (жоғарыда айтылғандай, ескерту қажет) шексіз болуы мүмкін).
  • Ұзындық кеңістігінің орташа нүктелері бар. Керісінше, әрқайсысы толық орташа нүктелері бар метрикалық кеңістік - бұл ұзындық кеңістігі.
  • The Хопф-Ринов теоремасы егер ұзындық кеңістігі болса толық және жергілікті ықшам онда кез-келген екі нүкте арқылы қосылуы мүмкін минимум геодезиялық және барлығы шектеулі жабық жиынтықтар жылы болып табылады ықшам.

Әдебиеттер тізімі

  • Герберт Бусеманн, Таңдалған шығармалар, (Афанас Пападопулос, ред.) I том, 908 б., Springer International Publishing, 2018 ж.
  • Герберт Бусеманн, Таңдалған шығармалар, (Афанас Пападопулос, ред.) II том, 842 б., Springer International Publishing, 2018.
  • Громов, Михаил (1999), Риманна және Риман емес кеңістіктерге арналған метрикалық құрылымдар, Математика жетістіктері., 152, Бирхязер, ISBN  0-8176-3898-9
  • Хамси, Мохамед А.; Кирк, Уильям А. (2001), Метрикалық кеңістіктерге және бекітілген нүкте теориясына кіріспе, Wiley-IEEE, ISBN  0-471-41825-0