Дөңес метрикалық кеңістік - Convex metric space

Дөңес метрикалық кеңістіктің иллюстрациясы.

Жылы математика, дөңес метрикалық кеңістіктер интуитивті, метрикалық кеңістіктер сол кеңістіктегі екі нүктені біріктіретін кез-келген «сегменттің» қасиетінде соңғы нүктелерден басқа басқа нүктелер бар.

Ресми түрде a метрикалық кеңістік (Xг.) және рұқсат етіңіз х және ж екі ұпай болуы керек X. Нүкте з жылы X деп айтылады арасында х және ж егер үш нүкте де бөлек болса, және

яғни үшбұрыш теңсіздігі теңдікке айналады. A дөңес метрикалық кеңістік метрикалық кеңістік (Xг.) кез келген екі нақты нүкте үшін х және ж жылы X, үшінші тармақ бар з жылы X арасында жатыр х және ж.

Метрикалық дөңес:

Мысалдар

  • Евклидтік кеңістіктер, яғни кәдімгі үшөлшемді кеңістік және оның басқа өлшемдер үшін аналогтары - дөңес метрикалық кеңістіктер. Кез-келген екі нақты нүкте берілген және мұндай кеңістікте барлық нүктелер жиынтығы жоғарыдағы «үшбұрыштың теңдігін» қанағаттандыру сызық сегменті арасында және әрқашан басқа ұпайлары бар және шын мәнінде, ол бар континуум ұпай
Дөңес метрикалық кеңістік ретінде шеңбер.
  • Кез келген дөңес жиынтық Евклид кеңістігінде - индукцияланған евклидтік нормасы бар дөңес метрикалық кеңістік. Үшін жабық жиынтықтар The әңгімелесу ақиқат: егер эвклид кеңістігінің индукцияланған қашықтықпен бірге тұйықталған бөлігі дөңес метрикалық кеңістік болса, онда ол дөңес жиынтық болады (бұл төменде қарастырылатын неғұрлым жалпы тұжырымның нақты жағдайы).
  • A шеңбер дөңес метрикалық кеңістік, егер екі нүкте арасындағы қашықтық оларды байланыстыратын шеңбердегі ең қысқа доғаның ұзындығы ретінде анықталса.

Метрикалық сегменттер

Келіңіздер метрикалық кеңістік бол (ол міндетті түрде дөңес емес). Ішкі жиын туралы а деп аталады метрикалық сегмент екі нақты нүкте арасында және жылы егер жабық аралық болса нақты сызықта және изометрия

осындай және

Мұндай метрикалық сегменттің кез-келген нүктесі екені түсінікті «соңғы нүктелерден» басқа және арасында және Егер метрикалық кеңістік болса кеңістіктің кез-келген екі нақты нүктесінің арасындағы метрикалық сегменттерді қабылдайды, демек бұл дөңес метрикалық кеңістік.

The әңгімелесу жалпы емес, дұрыс емес. The рационал сандар кәдімгі қашықтықпен дөңес метрикалық кеңістікті құрайды, бірақ тек рационалды сандардан тұратын екі рационал сандарды қосатын сегмент жоқ. Егер болса, дөңес метрикалық кеңістік болып табылады, сонымен қатар, ол толық, кез-келген екі нүкте үшін дәлелдеуге болады жылы оларды байланыстыратын метрикалық сегмент бар (бұл бірегей емес).

Дөңес метрикалық кеңістіктер және дөңес жиындар

Мысалдар бөлімінде айтылғандай, эвклид кеңістігінің жабық ішкі жиынтығы дөңес метрикалық кеңістік болып табылады, егер олар дөңес жиынтық болса ғана. Содан кейін дөңес метрикалық кеңістікті эвклид кеңістігінен тыс дөңес ұғымын жалпылайтын деп түсіну керек, әдеттегі сызықтық кесінділер метрикалық кесінділермен ауыстырылды.

Алайда, осылайша анықталған метрикалық дөңес эвклидтік дөңес жиынтықтардың маңызды қасиеттерінің біріне ие емес екенін ескеру керек, бұл екі дөңес жиындардың қиылысы дөңес болады. Шынында да, мысалдар бөлімінде айтылғандай, оларды қосатын ең қысқа доға бойымен өлшенген екі нүкте арасындағы қашықтық шеңбер ()толық ) дөңес метрикалық кеңістік. Дегенмен, егер және шеңбердің бір-біріне қарама-қарсы қарама-қарсы екі нүктесі, оларды қосатын екі метрикалық сегмент бар (осы нүктелер шеңберді бөлетін екі доға) және бұл екі доға метрлік дөңес, бірақ олардың қиылысы жиынтыққа тең ол метрлік дөңес емес.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  • Хамси, Мохамед А .; Кирк, Уильям А. (2001). Метрикалық кеңістіктерге және бекітілген нүкте теориясына кіріспе. Wiley-IEEE. ISBN  0-471-41825-0.
  • Капланский, Ирвинг (2001). Теория мен метрикалық кеңістіктерді орнатыңыз. Американдық математикалық қоғам. ISBN  0-8218-2694-8.