Қосылу (талшықты коллектор) - Connection (fibred manifold) - Wikipedia

Жылы дифференциалды геометрия, а талшықты коллектор болып табылады сурьективті суға бату туралы тегіс коллекторлар YX. Жергілікті тривиальды талшықты коллекторлар болып табылады талшық байламдары. Сондықтан, деген ұғым байланыс талшықты коллекторларда а-ның жалпы құрылымы қарастырылған байланыс талшықты байламдарда.

Ресми анықтама

Келіңіздер π : YX талшықты коллектор болуы керек. Жалпыланған байланыс қосулы Y Бұл бөлім Γ: Y → Дж1Y, қайда Дж1Y болып табылады реактивті коллектор туралы Y.[1]

Байланыс көлденең бөліну ретінде

Жоғарыда көрсетілген коллектормен π келесі канондық бар қысқа нақты дәйектілік туралы байламдар аяқталды Y:

 

 

 

 

(1)

қайда ТY және ТX болып табылады тангенді байламдар туралы Yсәйкесінше, VY болып табылады тік жанама байлам туралы Y, және Y ×X ТX болып табылады байлам туралы ТX үстінде Y.

A байланыс талшықты коллекторда YX сызықтық шумақ морфизмі ретінде анықталады

 

 

 

 

(2)

аяқталды Y қайсысы бөлінеді нақты дәйектілік 1. Байланыс әрдайым болады.

Кейде, бұл байланыс Γ деп аталады Эресманн байланысы өйткені ол өнімді береді көлденең үлестіру

туралы ТY және оның көлденең ыдырау ТY = VY . ЖY.

Сонымен бірге Эресманн байланысы арқылы келесі құрылысты да білдіреді. Кез келген байланыс Γ талшықты коллекторда YX көлденең лифт береді Γ ∘ τ а векторлық өріс τ қосулы X үстінде Y, бірақ қажет емес жолдың ұқсас көтерілуін анықтайды X ішіне Y. Келіңіздер

екі тегіс жол болыңыз X және Yсәйкесінше. Содан кейін тж(т) көлденең көтеру деп аталады х(т) егер

Байланыс Γ деп аталады Эресманн байланысы егер, әр жол үшін х([0,1]) жылы X, кез-келген нүкте арқылы көлденең көтеру бар жπ−1(х([0,1])). Талшықты коллектор талшықты байлам болып табылады, егер ол тек Эресманнмен байланысты болса ғана.

Тангенс-бағаланатын форма ретінде байланыс

Талшықты коллектор берілген YX, оған талшықты координаттар атласы берілсін (хμ, жмен)және рұқсат етіңіз Γ қосылым болуы керек YX. Ол ерекше өнім береді көлденең тангенс-бір форма

 

 

 

 

(3)

қосулы Y каноникалық тангенс-формаға жобалар (тавтологиялық бір форма немесе дәнекерлеу формасы )

қосулы X, және қарама-қарсы. Бұл формада көлденең бөліну 2 оқиды

Атап айтқанда, байланыс Γ жылы 3 кез-келген векторлық өрістің көлденең көтерілуін береді τ = τμμ қосулы X проекцияланатын векторлық өріске

қосулы Y.

Байланыс тік мәнді форма ретінде

Көлденең бөліну 2 нақты дәйектілік 1 қос нақты дәйектіліктің сәйкес бөлінуін анықтайды

қайда T *Y және T *X болып табылады котангенс байламдары туралы Yсәйкесінше және V *YY болып табылады қосарланған байлам дейін VYY, тік котангенс байламы деп аталады. Бұл бөліну вертикальды формада берілген

бұл сонымен қатар талшықты коллектордағы байланысты білдіреді.

Байланысты тік мәнді форма ретінде қарастыра отырып, келесідей маңызды құрылысқа келеді. Талшықты коллектор берілген YX, рұқсат етіңіз f : X′ → X морфизм болуы және fYX The байлам туралы Y арқылы f. Содан кейін кез-келген байланыс Γ 3 қосулы YX индукциялайды кері тарту

қосулы fYX.

Байланыс ағынды бөлік ретінде

Келіңіздер Дж1Y болуы реактивті коллектор талшықты коллектордың бөлімдері YX, координаттары бар (хμ, жмен, жмен
μ
)
. Канондық сіңірудің арқасында

кез келген байланыс Γ 3 талшықты коллекторда YX жаһандық бөліммен ұсынылған

ұшақтың байламы Дж1YY, және қарама-қарсы. Бұл аффинді байлам а. моделінде векторлық шоғыр

 

 

 

 

(4)

Бұл фактінің келесі қорытындылары бар.

  1. Талшықты коллектордағы қосылыстар YX құрау аффиналық кеңістік векторлық кеңістігінде модельденген дәнекерлеу формалары

     

     

     

     

    (5)

    қосулы YX, яғни векторлық шоғырдың бөлімдері 4.
  2. Қосылу коэффициенттері координаталық түрлену заңына ие
  3. Барлық байланыс Γ талшықты коллекторда YX бірінші ретті береді дифференциалдық оператор
    қосулы Y деп аталады ковариантты дифференциал байланысқа қатысты Γ. Егер с : XY бұл бөлім, оның ковариантты дифференциал
    және ковариант туынды
    векторлық өріс бойымен τ қосулы X анықталды.

Қисықтық және бұралу

Байланысты ескере отырып Γ 3 талшықты коллекторда YX, оның қисықтық ретінде анықталады Nijenhuis дифференциалды

Бұл тік мәнді көлденең екі пішінді Y.

Байланысты ескере отырып Γ 3 және дәнекерлеу формасы σ 5, а бұралу туралы Γ құрметпен σ ретінде анықталады

Негізгі байланыстар дестесі

Келіңіздер π : PМ болуы а негізгі байлам Lie group құрылымымен G. A негізгі байланыс қосулы P әдетте Lie алгебрасы арқылы бағаланатын жалғаудың бір формасымен сипатталады P. Сонымен қатар, негізгі байланыс қосулы P жаһандық болып табылады бөлім ұшақтың байламы Дж1PP қайсысы эквивариант канондық дұрыс әрекетіне қатысты G жылы P. Демек, ол жиынтықтың глобальды бөлімімен ұсынылған C = Дж1P/GМ, деп аталады негізгі байланыстар шоғыры. Бұл аффинді байлам векторлық бумада модельденген VP/GМ оның типтік талшықтары Алгебра ж құрылымдық топ G, және қайда G арқылы әрекет етеді бірлескен өкілдік. Канондық сіңіру бар C бумаға ТP/G ол сондай-ақ деп аталады негізгі байланыстар шоғыры.

Берілген негіз {eм} Lie алгебрасы үшін G, талшық байламы C жиынтық координаттарымен қамтамасыз етілген (хμ, ам
μ
)
, және оның бөлімдері арқылы ұсынылған векторлық-бір формалар

қайда

таныс жергілікті байланыс формалары қосулы М.

Реактивті пакет екенін ескерейік Дж1C туралы C Бұл конфигурация кеңістігі туралы Янг-Миллс калибрлеу теориясы. Ол канондық ыдырауды қабылдайды

қайда

деп аталады күш формасы негізгі байланыс.

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Крупка, Деметер; Янишка, Йозеф (1990). Дифференциалды инварианттар туралы дәрістер. Univerzita J. E. Purkyně v Brně. б. 174. ISBN  80-210-0165-8.

Әдебиеттер тізімі