Виеторис-Рипс кешені - Vietoris–Rips complex
Жылы топология, Виеторис-Рипс кешені, деп те аталады Виеторис кешені немесе Рипс кешені, болып табылады абстрактілі қарапайым кез келгенінен анықтауға болады метрикалық кеңістік М және а түзу арқылы арақашықтық қарапайым әрқайсысы үшін ақырлы жиынтық бар ұпайлар диаметрі ең көп дегенде δ. Яғни, бұл соңғы жиындардың отбасы М, оның ішіндегі жиынтығы туралы ойланамыз к а түзетін нүктелерк - 1) -өлшемді симплекс (екі нүкте үшін жиек, үш нүкте үшін үшбұрыш, төрт нүкте үшін тетраэдр және т.б.); егер ақырлы жиынтық болса S нүктелердің әр жұбы арасындағы қашықтықтың қасиеті бар S ең көп дегенде δ, содан кейін біз оны қосамыз S кешендегі симплекс ретінде.
Тарих
Виеторис-Рипс кешені алдымен Виеторис кешені деп аталды Леопольд Виеторис, кім оны кеңейту құралы ретінде енгізді гомология теориясы жеңілдетілген кешендерден метрикалық кеңістіктерге дейін.[1] Кейін Eliyahu Rips сол кешенді зерттеуге қолданды гиперболалық топтар, оны қолдану танымал болды Михаил Громов (1987 ), кім оны Rips кешені деп атады.[2] «Вьеторис-Рипс кешені» атауына байланысты Жан-Клод Хаусман (1995 ).[3]
Техникалық кешенге қатысты
Виеторис-Рипс кешені олармен тығыз байланысты Техникалық кешен (немесе жүйке ) жиынтығының шарлар, бос емес қиылысы бар шарлардың әрбір ақырғы жиынтығы үшін симплексі бар: а геодезиялық дөңес кеңістік Y, кез-келген кіші кеңістіктің Виеторис-Рипс кешені X ⊂ Y арақашықтық үшін for радиустары δ / 2 доптар жиынтығының ech комплексіндегідей нүктелер мен шеттерге ие Y нүктелерінде орналасқан X. Алайда, Чех кешенінен айырмашылығы, Виеторис-Рипс кешені X тек ішкі геометриясына байланысты X, және кез-келген ендіруге емес X үлкен кеңістікке.
Мысал ретінде біркелкі метрикалық кеңістікті қарастырыңыз М3 әрқайсысы бір-бірінен бірлік қашықтықта орналасқан үш нүктеден тұрады. Виеторис-Рипс кешені М3, δ = 1 үшін, ішіндегі әр нүкте үшін симплексті қосады М3үшін үшбұрышты қосқанда М3 өзі. Егер біз ендіретін болсақ М3 ретінде тең бүйірлі үшбұрыш ішінде Евклидтік жазықтық, содан кейін радиустың complexech кешені 1/2 шарлар нүктелерінде центрленген М3 құрамында Виеторис-Рипс кешенінің барлық қарапайым симплекстері болады, бірақ бұл үшбұрыш болмайды, өйткені үш шарда да жазықтықтың нүктесі жоқ. Алайда, егер М3 орнына үш нүктенің әрқайсысынан 1/2 қашықтықта төртінші нүктені қамтитын метрикалық кеңістікке енгізілген М3, осы кеңістіктегі радиустың 1/2 шарларының complexech кешені үшбұрышты қамтиды. Осылайша, центрі бекітілген радиусы бар шарлардың ech кешені М3 кеңістіктің қайсысына байланысты ерекшеленеді М3 енуі мүмкін, ал Вьетори-Рипс кешені өзгеріссіз қалады.
Егер қандай да бір метрикалық кеңістік болса X ендірілген инъекциялық метрикалық кеңістік Y, or және қашықтыққа арналған Вьеторис-Рипс кешені X нүктелерінде центрленген радиусы δ / 2 шарларының Čech кешенімен сәйкес келеді X жылы Y. Осылайша, кез-келген метрлік кеңістіктің Виеторис-Рипс кешені М ішіндегі шарлар жүйесінің Čech кешеніне тең тығыз аралық туралы М.
Дискілік бірлік графиктерімен және кликалық кешендермен байланыс
Or = 1-ге арналған Вьетиорис-Рипс кешені берілген метрикалық кеңістіктегі бірлік қашықтықта немесе одан аз нүктелердің әр жұбы үшін шетін қамтиды. Осылайша, оның 1-қаңқа болып табылады дискінің графигі оның тармақтары. Оның әрқайсысына арналған симплекс бар клика бірлік дискінің графигінде, сондықтан да клика кешені немесе жалау кешені дискінің графикалық графигі.[4] Жалпы кез-келген графиктің кликалық кешені G - бұл нүкте ретінде орналасқан метрикалық кеңістікке арналған Виеторис-Рипс кешені төбелер туралы G және қашықтыққа сәйкес ұзындықтары бар ең қысқа жолдар жылы G.
Басқа нәтижелер
Егер М жабық Риманн коллекторы, онда δ-дің Вьетори-Рипс кешенінің жеткілікті аз мәндері үшін М, немесе жеткілікті жақын кеңістіктер М, болып табылады гомотопиялық эквивалент дейін М өзі.[5]
Chambers, Erickson & Worah (2008) -де берілген кез-келген ақырлы нүктенің Rips комплексінде берілген циклдың келісімшартты екендігін анықтайтын тиімді алгоритмдерді сипаттаңыз Евклидтік жазықтық.
Қолданбалар
Дискілік бірлік графиктеріндегі сияқты, Вьеторис-Рипс кешені де қолданылды Информатика топологиясын модельдеу уақытша сымсыз байланыс желілері. Виеторис-Рипс кешенінің бұл қосымшасындағы бір артықшылығы - оны тек байланыс тораптары арасындағы қашықтықтан анықтауға болады, олардың нақты физикалық орналасуын анықтамай. Кемшілігі - Čech кешенінен айырмашылығы, Вьеторис-Рипс кешені коммуникациядағы алшақтықтар туралы тікелей ақпарат бермейді, бірақ бұл кемшілікті Viet әр түрлі for мәндері үшін екі Вьеториас-Рипс кешені арасындағы Čech кешенін бутербродтау арқылы түзетуге болады.[6] Виеторис-Рипс кешендерін қолдануға болатын өнімді мына жерден табуға болады TDA статистикасы R пакеті.[7]
Вьеторис-Рипс кешендері цифрлық кескін деректерін алу үшін қолданылды; бұл қосымшада кешен жоғары өлшемді метрикалық кеңістіктен тұрғызылған, онда нүктелер төменгі деңгейлі кескін ерекшеліктерін көрсетеді.[8]
Ескертулер
- ^ Виеторис (1927); Лефшетц (1942); Хаусманн (1995); Рейтбергер (2002).
- ^ Хаусманн (1995); Рейтбергер (2002).
- ^ Рейтбергер (2002).
- ^ Chambers, Erickson & Worah (2008).
- ^ Хаусманн (1995), Латчев (2001).
- ^ де Силва және Грист (2006), Мұхаммед және Джадбабаи (2007).
- ^ Вадхва, Рауль; Уильямсон, Дрю; Дхаван, Эндрю; Скотт, Джейкоб (2018). «TDAstats: топологиялық деректерді талдау кезінде тұрақты гомологияны есептеуге арналған R құбыры». Ашық кодты бағдарламалық қамтамасыз ету журналы. 3 (28): 860. дои:10.21105 / joss.00860.
- ^ Карлссон, Карлссон және де Силва (2006).
Әдебиеттер тізімі
- Карлссон, Эрик; Карлссон, Гуннар; де Силва, Вин (2006), «Ерекшеліктерді анықтаудың алгебралық топологиялық әдісі» (PDF), Халықаралық есептеу геометриясы және қолданбалы журналы, 16 (4): 291–314, дои:10.1142 / S021819590600204X.
- Палаталар, Эрин В .; Эриксон, Джефф; Ворах, Пратик (2008), «Пландық Rips кешендеріндегі келісімшартты сынау», Есептеу геометриясы бойынша ACM 24-ші жылдық симпозиумының материалдары, 251–259 б., CiteSeerX 10.1.1.296.6424, дои:10.1145/1377676.1377721.
- Шазаль, Фредерик; Оудот, Стив (2008), «Евклид кеңістігіндегі табандылыққа негізделген қайта құруға», Есептеу геометриясы бойынша ACM симпозиумы: 232–241, arXiv:0712.2638, дои:10.1145/1377676.1377719, ISBN 978-1-60558-071-5.
- де Силва, Вин; Грист, Роберт (2006), «Гомология арқылы бақыланатын шекаралары бар сенсорлық желілердегі координатасыз қамту», Халықаралық робототехникалық зерттеулер журналы, 25 (12): 1205–1222, дои:10.1177/0278364906072252.
- Громов, Михаил (1987), «Гиперболалық топтар», Топтық теориядағы очерктер, Математика ғылымдары ғылыми-зерттеу институты Жарияланымдар, 8, Springer-Verlag, 75-263 бб.
- Хаусманн, Жан-Клод (1995), «Виетори-Рипс кешендері және метрикалық кеңістіктерге арналған когомологиялық теория туралы», Топологияның болашағы: Уильям Браудердің құрметіне арналған конференция материалдары, Математика зерттеулерінің жылнамалары, 138, Принстон университетінің баспасы, 175–188 б., МЫРЗА 1368659.
- Латчев, Янко (2001), «Риманнаның жабық коллекторы жанындағы метрикалық кеңістіктердің Виеторис-Рипс кешендері», Archiv der Mathematik, 77 (6): 522–528, дои:10.1007 / PL00000526, МЫРЗА 1879057.
- Лефшетц, Сүлеймен (1942), Алгебралық топология, Нью-Йорк: Amer. Математика. Soc., P. 271, МЫРЗА 0007093.
- Мұхаммед, А .; Джадбабай, А. (2007), «Ауыстырылған жоғары реттік лапластар арқылы мобильді сенсорлық желілерде динамикалық қамтуды тексеру» (PDF), Брочта, Оливер (ред.), Робототехника: ғылым және жүйелер, MIT түймесін басыңыз.
- Рейтбергер, Генрих (2002), «Леопольд Виеторис (1891–2002)» (PDF), Американдық математикалық қоғамның хабарламалары, 49 (20).
- Виеторис, Леопольд (1927), «Абердингенмен бірге Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen», Mathematische Annalen, 97 (1): 454–472, дои:10.1007 / BF01447877.