Симметриялық конус - Symmetric cone - Wikipedia

Жылы математика, симметриялық конустар, кейде деп аталады позитивтің домендері, ашық дөңес болып табылады конустар транзиттік симметрия тобы бар эвклид кеңістігінде, яғни конусты өзіне қабылдайтын кері операторлар. Бойынша Коечер - Винберг теоремасы бұл ақырлы өлшемді квадраттар конусына сәйкес келеді нағыз евклидтік Джордан алгебралары, бастапқыда зерттелген және жіктелген Джордан, фон Нейман және Вингер (1934). The түтік домені симметриялы конуспен байланысты - бұл ықшам емес Эрмициандық симметриялық кеңістік туралы түтік түрі. Симметриялы кеңістікке байланысты барлық алгебралық және геометриялық құрылымдарды табиғи түрде Джордан алгебрасы арқылы көрсетуге болады. Компакт емес типтегі басқа азайтылмайтын гермиттік симметриялы кеңістіктер сәйкес келеді Siegel домендері екінші түрдегі Оларды күрделі құрылымдар тұрғысынан сипаттауға болады Иордания үштік жүйелер, Иордания алгебраларын жеке басын жалпылайтын.^[1]

Анықтамалар

A дөңес конус C ақырлы өлшемді шындықта ішкі өнім кеңістігі V оң скалярға көбейту кезінде инвариантты инвариантты. Ол ішкі кеңістікті қамтиды C – C және оның құрамындағы ең үлкен кіші кеңістік C ∩ (−C). Егер ол негіз болса ғана, ол бүкіл кеңістікті қамтиды. Бастап дөңес корпус негізі политоп болып табылады, бұл бос емес интерьер, бұл жағдайда болады, және егер C іші бос емес. Бұл жағдайда интерьер де дөңес конус болып табылады. Оның үстіне, ашық дөңес конус оның жабылуының ішкі бөлігімен сәйкес келеді, өйткені кез-келген ішкі нүкте бастапқы конустың ішіндегі политоптың ішкі жағында орналасуы керек. Дөңес конус дейді дұрыс егер оның жабылуында, сонымен қатар конуста ішкі кеңістіктер болмаса.

Келіңіздер C ашық дөңес конус бол. Оның қосарланған ретінде анықталады

${ displaystyle displaystyle {C ^ {*} = {X: (X, Y)> 0 , , mathrm {for} , , Y in { overline {C}} }.} }$

Бұл сондай-ақ ашық дөңес конус және C** = C.^[2] Ашық дөңес конус C деп айтылады өзіндік қосарлы егер C* = C. Бұл міндетті түрде дұрыс, өйткені оның құрамында 0 болмайды, сондықтан екеуін де қамтуға болмайды X және -X.

The автоморфизм тобы ашық дөңес конустың анықталады

${ displaystyle displaystyle { mathrm {Aut} , C = {g in mathrm {GL} (V) | gC = C }.}}$

Әрине ж Авт C егер және егер болса ж жабылуын қабылдайды C өзіне. Сонымен Aut C бұл GL жабық кіші тобы (V) және, демек, а Өтірік тобы. Сонымен қатар, авт C* = (Авт C) *, қайда ж* - септік жалғауы ж. C деп айтылады біртекті егер Авт C өтпелі түрде әрекет етеді C.

Ашық дөңес конус C а деп аталады симметриялық конус егер ол өзіндік қосарлы және біртекті болса.

Теоретикалық қасиеттерді топтастырыңыз

• Егер C симметриялы конус болып табылады, содан кейін Aut C іргелес жатқан кезде жабылады.
• Aut. Сәйкестендіру компоненті₀ C өтпелі түрде әрекет етеді C.
• Нүктелердің тұрақтандырғыштары болып табылады максималды ықшам топшалар, барлығы Aut-тің максималды ықшам топшаларын біріктіреді және таусады C.
• Авт₀ C нүктелердің тұрақтандырғыштары болып табылады максималды ықшам топшалар, Aut-дің максималды ықшам топшаларын біріктіреді және таусады₀ C.
• Aut-тің максималды ықшам топшалары₀ C байланысты.
• Авт компоненттер тобы C максималды ықшам топшаның компоненттік тобына изоморфты, сондықтан ақырлы.
• Авт C ∩ O (V) және Aut₀ C ∩ O (V) - Aut ішіндегі максималды ықшам топшалар C және Авт₀ C.
• C табиғи түрде а Римандық симметриялық кеңістік изоморфты G / Қ қайда G = Авт₀ C. Картаның инволюциясы σ (ж)=(ж*)⁻¹, сондай-ақ Қ = G ∩ O (V).

Евклидтік Джордан алгебрасындағы спектрлік ыдырау

Паскальды Иордания

Джон фон Нейман

Евгений Вигнер

Олардың классикалық қағаздарында, Джордан, фон Нейман және Вингер (1934) Иордания алгебраларының ақырғы сыныбын зерттеп, толығымен жіктеді, оларды қазір де атайды Евклидтік Иордания алгебралары немесе ресми түрде нақты Иордания алгебралары.

Анықтама

Келіңіздер E симметриялы қос сызықты туындымен жұмыс жасайтын ақырлы өлшемді нақты векторлық кеңістік бол

${ displaystyle displaystyle {E times E rightarrow E, , , , a, b mapsto ab = ba,}}$

1 сәйкестендіру элементімен а1 = а үшін а жылы A және нақты ішкі өнім (а,б) көбейту операторлары L(а) арқылы анықталады L(а)б = аб қосулы E өзін-өзі біріктіреді және Иордания қатынастарын қанағаттандырады

${ displaystyle displaystyle {L (a) L (a ^ {2}) = L (a ^ {2}) L (a).}}$

Төменде айтылғандай, іргелес жерлердегі шартты Tr ізінің формасы болатын эквивалентті шартпен ауыстыруға болады L(аб) ішкі өнімді анықтайды. Мониторинг формасы Иордания алгебрасының автоморфизмі кезінде айқын инвариантты болуының артықшылығына ие, ол O-ның жабық кіші тобы болып табылады (E) осылайша жинақы Lie тобы. Практикалық мысалдарда ішкі өнімді шығару оңай, бірақ ол үшін L(а) із формасының тікелей позитивті-анықтылығын тексергеннен гөрі өздігінен біріктірілген. (Джордан, фон Нейман және Вингердің баламалы бастапқы шарты, егер элементтер квадраттарының қосындысы жоғалып кетсе, онда бұл элементтердің әрқайсысы жоғалып кетуі керек.^[3])

Қуат ассоциативтілігі

Иордания шартынан Иордания алгебрасы дегенді білдіреді күш ассоциативті, яғни Джордан субалгебрасы кез-келген бір элементтің көмегімен жасалады а жылы E іс жүзінде ассоциативті коммутативті алгебра болып табылады. Осылайша, анықтау аⁿ индуктивті түрде аⁿ = а (аⁿ⁻¹), келесі ассоциативтілік қатынас:

${ displaystyle displaystyle {a ^ {m} a ^ {n} = a ^ {m + n},}}$

сондықтан субальгебраны анықтауға болады R[а], көпмүшелері in а. Ақиқатында поляризация Иордания қатынастарының орнын басады а арқылы а + тб және коэффициентін қабылдау т- өнімділік

${ displaystyle displaystyle {2L (ab) L (a) + L (a ^ {2}) L (b) = 2L (a) L (b) L (a) + L (a ^ {2} b) .}}$

Бұл сәйкестік соны білдіреді L(а^м) - бұл көпмүше L(а) және L(а²) барлығына м. Шын мәнінде, қарағанда төменгі көрсеткіштер үшін нәтиже м,

${ displaystyle displaystyle {a ^ {2} a ^ {m-1} = a ^ {m-1} (a ^ {2}) = L (a ^ {m-1}) L (a) a = L (a) L (a ^ {m-1}) a = L (a) a ^ {m} = a ^ {m + 1}.}}$

Параметр б = а^{м – 1} поляризацияланған Иорданияда сәйкестілік мынаны береді:

${ displaystyle displaystyle {L (a ^ {m + 1}) = 2L (a ^ {m}) L (a) + L (a ^ {2}) L (a ^ {m-1}) - 2L (a) ^ {2} L (a ^ {m-1}),}}$

а қайталану қатынасы индуктивті түрде көрсетеді L(а^{м + 1}) - бұл көпмүше L(а) және L(а²).

Демек, егер бірінші дәрежелі көрсеткіш ≤ болғанда қуат-ассоциативтілік сақталса м, содан кейін ол үшін де қажет м+1 бері

${ displaystyle displaystyle {L (a ^ {m + 1}) a ^ {n} = 2L (a) L (a ^ {m}) a ^ {n} + L (a ^ {2}) L ( a ^ {m-1}) a ^ {n} -2L (a) ^ {2} L (a ^ {m-1}) a ^ {n} = a ^ {m + n + 1}.}}$

Импотенттер және дәреже

Элемент e жылы E деп аталады идемпотентті егер e² = e. Екі идемпотент егер ортогональды болады дейді эф = 0. Бұл ішкі өнімге қатысты ортогоналдылыққа тең, өйткені (эф,эф) = (e,f). Бұл жағдайда ж = e + f сонымен қатар идемпотент болып табылады. Идемпотент ж аталады қарапайым немесе минималды егер оны нөлдік емес ортогоналды идемпотенттердің қосындысы түрінде жазу мүмкін болмаса. Егер e₁, ..., e_м ортогоналды идемпотенттері екіге бөлінеді, сонда олардың қосындысы идемпотентті болады және олар шығаратын алгебра барлық сызықтық комбинациялардан тұрады e_мен. Бұл ассоциативті алгебра. Егер e идемпотент болып табылады, содан кейін 1 - e ортогоналды идемпотент болып табылады. Қосындысы 1 болатын ортогоналды идемоттық жиынтық а деп аталады толық жиынтық немесе а 1 бөлімі. Егер жиынтықтағы әрбір идемотент минималды болса, оны а деп атайды Иордания жақтауы. Идемпотенттердің кез-келген ортогоналды жиынтығындағы элементтер саны күңгіртпен шектелгендіктен E, Иордания рамалары бар. Иордан рамасындағы элементтердің максималды саны - деп аталады дәреже р туралы E.

Спектрлік ыдырау

Спектрлік теоремада кез-келген элемент айтылады а ретінде ерекше түрде жазылуы мүмкін

${ displaystyle displaystyle {a = sum lambda _ {i} e_ {i},}}$

онда идемпотенттер e_менБұл 1 және λ бөлімдері_мен, меншікті мәндер туралы а, нақты және айқын. Шындығында рұқсат етіңіз E₀ = R[a] және рұқсат етіңіз Т шектеу болуы L(а) дейін E₀. Т өзін-өзі біріктіреді және циклдік вектор ретінде 1-ге ие. Сонымен коммутант туралы Т in көпмүшелерінен тұрады Т (немесе а). Бойынша спектрлік теорема өзін-өзі байланыстыратын операторлар үшін,

${ displaystyle displaystyle {T = sum lambda _ {i} P_ {i}}}$

қайда P_мен ортогоналды проекциялар болып табылады E₀ қосындымен Мен және λ_мен- бұл нақты нақты мәндер Т. Бастап P_менбірге жүру Т және өздігінен біріктірілген, олар көбейту элементтері арқылы беріледі e_мен туралы R[a] және осылайша 1 бөлімін құрайды. Бірегейлік келесідей болады, өйткені f_мен - бұл 1 және а = ∑ μ_мен f_мен, содан кейін б(т)=∏ (т - μ_j) және б_мен = б/(т - μ_мен), f_мен = б_мен(а)/б_мен(μ_мен). Сонымен f_мен- бұл көпмүшелер а және бірегейлігі спектрлік ыдыраудың бірегейлігінен туындайды Т.

Спектрлік теорема дәреженің Иордан фреймінен тәуелсіз екендігін білдіреді. Иордандық жақтау үшін к элементті құру үшін минималды идемпотенттерді пайдалануға болады а бірге к өзіндік жеке мәндер. Минималды көпмүшенің үстіндегідей б туралы а дәрежесі бар к және R[а] өлшемі бар к. Оның өлшемі де ең үлкен к осындай F_к(а≠ 0 қайда F_к(а) а анықтаушысы болып табылады Грамматрица:

${ displaystyle displaystyle {F_ {k} (a) = det _ {0 leq m, n$

Сонымен ранг р ең үлкен бүтін сан к ол үшін F_к бірдей нөлге тең емес E. Бұл жағдайда жоғалып кетпейтін көпмүшелік ретінде, F_р ашық тығыз ішкі жиында нөлге тең емес E. The тұрақты элементтер. Басқа а тұрақты элементтердің шегі болып табылады а⁽ⁿ⁾. Операторының нормасынан бастап L(х) бойынша балама норма береді E, ықшамдықтың стандартты аргументі, қажет болған жағдайда, спектральды идемпотенттердің келесіге өтуін көрсетеді а⁽ⁿ⁾ және олардың сәйкес мәндері конвергентті болады. Иордандық кадрлардың шегі - бұл Иордандық кадр, өйткені нөлдік емес идемпотенттердің шегі операторлық норманың үзіліссіздігімен нөлдік емес идемпотент береді. Демек, Иорданияның кез-келген рамасы құрастырылған р минималды идемотенттер.

Егер e және f ортогоналды идемпотенттер болып табылады, спектралды теорема мұны көрсетеді e және f in көпмүшелері болып табылады а = e − f, сондай-ақ L(e) және L(f) маршрут. Мұны Иорданияның поляризацияланған сәйкестігінен тікелей көруге болады L(e)L(f) = 2 L(e)L(f)L(e). Коммутативтілік ілесулер қабылдау арқылы жүреді.

Идемпотенттің спектрлік ыдырауы

Егер e нөлдік емес идемпотент болып табылады, содан кейін меншікті мәндері L(e) қабылдағаннан бастап 0, 1/2 және 1 ғана болуы мүмкін а = б = e поляризацияланған Иорданияның жеке басының өнімділігі

${ displaystyle displaystyle {2L (e) ^ {3} -3L (e) ^ {2} + L (e) = 0.}}$

Атап айтқанда L(e) 1 және оның ізі қатаң оң болады.

Сәйкес ортогональды өзіндік кеңістіктің ыдырауы бар E

${ displaystyle displaystyle {E = E_ {0} (e) oplus E_ {1/2} (e) oplus E_ {1} (e),}}$

қайда, үшін а жылы E, E_λ(а) λ-меншікті кеңістігін білдіреді L(а). Бұл ыдырауда E₁(e) және E₀(e) идентификациялық элементтері бар Иордания алгебралары e және 1 - e. Олардың қосындысы E₁(e) ⊕ E₀(e) - бұл Иордания алгебраларының тікелей қосындысы, олардың арасындағы кез-келген өнім нөлге тең. Бұл орталықтандырғыш субальгебра туралы e және бәрінен тұрады а осындай L(а) барады L(e). Қосалқы кеңістік E_1/2(e) - орталықтандыруға арналған модуль e, орталықтандырғыш модуль, ал ондағы кез-келген екі элементтің көбейтіндісі орталықтандырғыш субальгебрада жатыр. Екінші жағынан, егер

${ displaystyle displaystyle {U = 8L (e) ^ {2} -8L (e) + I,}}$

содан кейін U централизатор алгебрасында 1-ге тең және орталықтандырғыш модулінде −1-ге тең өзін-өзі біріктіреді. Сонымен U² = Мен және жоғарыдағы қасиеттер мұны көрсетеді

${ displaystyle displaystyle { sigma (x) = Ux}}$

Джордан алгебрасының автоморфизмін анықтайды E.

Шын мәнінде Джордан алгебра және модуль қасиеттері ауыстыру арқылы жүреді а және б Иорданияның поляризацияланған жеке басын e және а. Егер еа = 0, бұл береді L(e)L(а) = 2L(e)L(а)L(e). Іргелес жерлерді қабылдау осыдан туындайды L(а) барады L(e). Сол сияқты, егер (1 - e)а = 0, L(а) барады Мен − L(e) және, демек L(e). Бұл Джордан алгебра және модуль қасиеттерін білдіреді. Модульдегі элементтердің көбейтіндісі алгебрада жатқанын тексеру үшін оны квадраттар үшін тексеру жеткілікті: бірақ егер L(e)а = ½ а, содан кейін еа = ½ а, сондықтан L(а)² + L(а²)L(e) = 2L(а)L(e)L(а) + L(а²e). Іргелес жерлерді қабылдау осыдан туындайды L(а²) барады L(e), бұл квадраттар үшін қасиетті білдіреді.

Мониторинг формасы

Іздеу формасы келесі арқылы анықталады

${ displaystyle displaystyle { tau (a, b) = mathrm {Tr} , L (ab).}}$

Бұл нөлдік емес болғандықтан ішкі өнім а = ∑ λ_мен e_мен,

${ displaystyle displaystyle { tau (a, a) = sum lambda _ {i} ^ {2} mathrm {Tr} , L (e_ {i})> 0.}}$

Поляризацияланған Иордания сәйкестілігін ауыстыру арқылы қайтадан поляризациялауға болады а арқылы а + тк және коэффициентін қабылдау т. Әрі қарай анимсиметризация а және c кірістілік:

${ displaystyle displaystyle {L (a (bc) - (ab) c) = [[L (a), L (b)], L (c)].}}$

Ізді екі жаққа да жағу

${ displaystyle displaystyle { tau (a, bc) = tau (ba, c),}}$

сондай-ақ L(б) із формасы үшін өзін-өзі байланыстырады.

Қарапайым Евклидтік Джордан алгебралары

Адольф Хурвиц (1855–1919), оның жұмысы алгебралар 1923 жылы қайтыс болғаннан кейін жарық көрді.

Қарапайым евклидтік Джордан алгебраларын жіктеуді осыған дейін жүзеге асырды Джордан, фон Нейман және Вингер (1934), мақалада келтірілген бір ерекше алгебраның егжей-тегжейімен бірге олардан кейін Альберт (1934). Пайдалану Пирстің ыдырауы, олар проблеманы алгебралық есепке дейін азайтты көбейту квадраттық формалары арқылы шешіліп қойған Хурвиц. Мұнда таныстыру, келесі Фараут және Корании (1994), қолдану алгебралар немесе Евклидтік Хурвиц алгебралары, түпнұсқа туындысының қысқаша нұсқасы.

Орталық ыдырау

Егер E Евклидтік Иордания алгебрасы ан идеалды F жылы E элементтерінің көбейтіндісімен жабылған сызықтық ішкі кеңістік E, яғни F операторларға сәйкес инвариантты болып табылады L(а) үшін а жылы E. Егер P - ортогональ проекциясы F ол операторлармен қатынайды L(а), Сондай-ақ F^⊥ = (Мен − P)E сонымен қатар идеал болып табылады E = F ⊕ F^⊥. Сонымен қатар, егер e = P(1), содан кейін P = L(e). Шын мәнінде а жылы E

${ displaystyle displaystyle {ea = ae = L (a) P (1) = P (L (a) 1) = P (a),}}$

сондай-ақ еа = а үшін а жылы F және 0 үшін а жылы F^⊥. Сондай-ақ e және 1 - e ортогоналды идемпотенттер болып табылады L(e) = P және L(1 − e) = Мен − P. e және 1 - e Евклидтік Иордания алгебрасындағы сәйкестік F және F^⊥. Идемпотент e болып табылады орталық жылы E, қайда орталығы туралы E барлығының жиынтығы ретінде анықталған з осындай L(з) барады L(а) барлығына а. Ол коммутативті ассоциативті субальгебраны құрайды.

Осылай жалғастыру E минималды идеалдардың тікелей қосындысы ретінде жазылуы мүмкін

${ displaystyle displaystyle {E = oplus E_ {i}.}}$

Егер P_мен проекциясы болып табылады E_мен және e_мен = P_мен(1) содан кейін P_мен = L(e_мен). The e_менқосындысы 1-ге тең ортогоналды және олардың идентификациясы E_мен. Минималды күштер E_мен болу қарапайым, яғни тривиальды емес идеалдардың болмауы. Содан бері L(e_мен) барлығымен барады L(а) кез келген идеал F ⊂ E_менастында инвариантты болады E бері F = e_менF. Қарапайым эвклид алгебраларының тікелей қосындысына мұндай ыдырау ерекше. Егер E = ⊕ F_j басқа ыдырау болып табылады F_j= ⊕ e_менF_j. Минимум бойынша мұндағы терминдердің тек біреуі нөлге тең емес, сондықтан тең F_j. Минимум бойынша сәйкес келеді E_мен тең F_j, бірегейлігін дәлелдейтін.

Осылайша евклидтік Джордан алгебраларының жіктелуі қарапайымдарға жіктеледі. Қарапайым алгебра үшін E барлық ішкі өнімдер, олар үшін операторлар L(а) өздеріне тәуелді пропорционалды. Шынында да, кез-келген басқа өнімнің нысаны бар (Та, б) өзімен-өзі байланысқан оң оператор үшін L(а). Кез келген нөлдік емес жеке кеңістігі Т идеал болып табылады A сондықтан қарапайымдылығымен Т толығымен әрекет етуі керек E оң скаляр ретінде.

Барлық қарапайым евклидтік Джордан алгебраларының тізімі

• Келіңіздер H_n(R) нақты симметриялы кеңістік болуы керек n арқылы n ішкі өніммен матрицалар (а,б) = Тр аб және Иордания өнімі а ∘ б = ½(аб + ба). Содан кейін H_n(R) қарапайым Евклидтік Джордан дәрежесі алгебрасы n үшін n ≥ 3.
• Келіңіздер H_n(C) күрделі өзін-өзі байланыстыратын кеңістік болуы керек n арқылы n ішкі өніммен матрицалар (а,б) = Re Tr аб* және Иордания өнімі а ∘ б = ½(аб + ба). Содан кейін H_n(C) - қарапайым Евклидтік Джордан дәрежесі алгебрасы n ≥ 3.
• Келіңіздер H_n(H) өзін-өзі байланыстыратын кеңістік болуы керек n арқылы n ішіндегі жазбалары бар матрицалар кватерниондар, ішкі өнім (а,б) = Re Tr аб* және Иордания өнімі а ∘ б = ½(аб + ба). Содан кейін H_n(H) қарапайым Евклидтік Джордан дәрежесі алгебрасы n ≥ 3.
• Келіңіздер V нақты ішкі өнім кеңістігі мен жиынтығы болуы керек E = V ⊕ R ішкі өніммен (сен⊕λ,v⊕μ) = (сен,v) + λμ және көбейтіндісі (u⊕λ) ∘ (v⊕μ) = (μсен + λv) ⊕ [(сен,v) + λμ]. Бұл 2 дәрежелі евклидтік Джордан алгебрасы.
• Жоғарыда келтірілген мысалдар бір ерекше жағдайды қоспағанда, қарапайым Евклидтік Джордан алгебраларын береді H₃(O), өзін-өзі байланыстыратын матрицалар октониондар немесе Кейли нөмірлері, тағы бір дәреже 3, қарапайым 27 өлшемді Евклидтік Джордан алгебрасы (төменде қараңыз).

Пирстің ыдырауы

Келіңіздер E қарапайым евклидтік Джордан алгебрасы, ішкі өнімі the ізімен берілгена) = Тр L(а). Оның дәлелі E жоғарыда келтірілген форма Иордан рамасы үшін матрица бірліктерінің аналогын құруға негізделген E. Идемпотенттердің келесі қасиеттері бар E.

• Идемпотент e минималды E егер және егер болса E₁(e) өлшемі бар (сондықтан тең болады) Re). Оның үстіне E_1/2(e) ≠ (0). Шындығында. Кез келген элементінің спектрлік проекциялары E₁(e) жату E сондықтан нөлге тең болмауы керек e. Егер жеке кеңістіктің 1/2 бөлігі жоғалып кетсе E₁(e) = Re идеал болар еді.
• Егер e және f ортогоналды емес минималды идемпотенттер болып табылады, содан кейін autom 2 автоморфизм кезеңі болады E осылай σe=f, сондай-ақ e және f бірдей із қалдырыңыз.
• Егер e және f олар ортогоналды минималды идемпотенттер болып табылады E_1/2(e) ∩ E_1/2(f) ≠ (0). Сонымен қатар, 2 автоморфизм кезеңі бар E осылай σe=f, сондай-ақ e және f бірдей із қалдырыңыз, және кез келген үшін а осы қиылыста, а² = ½ τ (e) |а|² (e + f).
• Барлық минималды импотенттер E автоморфизм тобының бір орбитасында болғандықтан, іздері бірдей болады₀.
• Егер e, f, ж бұл үш минималды ортогоналды идемпотент, содан кейін а жылы E_1/2(e) ∩ E_1/2(f) және б жылы E_1/2(f) ∩ E_1/2(ж), L(а)² б = ⅛ τ₀ |а|² б және |аб|² = ⅛ τ₀ |а|²|б|². Оның үстіне, E_1/2(e) ∩ E_1/2(f) ∩ E_1/2(ж) = (0).
• Егер e₁, ..., e_р және f₁, ..., f_р Иордания жақтаулары E, сонда α болатын автоморфизм боладыe_мен = f_мен.
• Егер (e_мен) - бұл Иордания жақтауы және E_II = E₁(e_мен) және E_иж = E_1/2(e_мен) ∩ E_1/2(e_j), содан кейін E ортогоналды тікелей қосындысы болып табылады E_IIжәне E_иж. Бастап E қарапайым, E_IIБұл бір өлшемді және ішкі кеңістіктер E_иж барлығы нөлге тең емес мен ≠ j.
• Егер а = ∑ α_мен e_мен кейбір Иордания кадрлары үшін (e_мен), содан кейін L(а) α рөлін атқарады_мен қосулы E_II және (α_мен + α_мен) / 2 қосулы E_иж.

Евклидтік Хурвиц алгебраларына дейін төмендету

Келіңіздер E қарапайым Евклидтік Джордан алгебрасы бол. Пирс ыдырауының қасиеттерінен мыналар шығады:

• Егер E 2 дәрежесі бар, содан кейін оның формасы бар V ⊕ R ішкі өнім кеңістігі үшін V жоғарыда сипатталғандай Иордания өнімімен.
• Егер E атағы бар р > 2, онда ассоциативті емес алитбра бар A, егер ассоциативті р > 3, (ab, ab) = (a, a) (b, b) қанағаттандыратын ішкі өніммен жабдықталған E = H_р(A). (Біріктіру A арқылы анықталады а* = −a + 2 (a, 1) 1.)

Мұндай алгебра A а деп аталады Евклидтік Хурвиц алгебрасы. Жылы A егер λ (а)б = аб және ρ (а)б = ба, содан кейін:

• инволюция - бұл антиаутоморфизм, яғни. (а б)*=б* а*
• а а* = ‖ а ‖² 1 = а* а
• λ (а*) = λ (а)*, ρ (а*) = ρ (а)*, сондықтан алгебрадағы инволюция қабылдауға сәйкес келеді қосылыстар
• Қайта (а б) = Re (б а) егер Қайтах = (х + х*)/2 = (х, 1)1
• Қайта (а б) c = Қайтаа(b c)
• λ (а²) = λ (а)², ρ (а²) = ρ (а)², сондай-ақ A болып табылады балама алгебра.

Авторы Гурвиц теоремасы A изоморфты болуы керек R, C, H немесе O. Алғашқы үшеуі - ассоциативті бөлім алгебралары. Октонондар ассоциативті алгебра түзбейді, сондықтан H_р(Oүшін Джордан алгебрасын ғана бере алады р = 3. Себебі A қашан ассоциативті болып табылады A = R, C немесе H, бұл бірден H_р(A) - Иордания алгебрасы р ≥ 3. Бастапқыда берілген жеке аргумент Альберт (1934), мұны көрсету үшін қажет H₃(O) Иордания өнімімен бірге а∘б = ½(аб + ба) Иорданияның сәйкестігін қанағаттандырады [L(а),L(а²)] = 0. кейінірек тікелей дәлелі бар Фрейдентальды диагональдау теоремасы байланысты Фрейденталь (1951): ол алгебрадағы кез-келген матрица берілгенін дәлелдеді H_р(A) матрицаны диагональды матрицаға нақты жазбалармен жеткізетін алгебра автоморфизмі бар; содан кейін бұл [L(а),L(б)] = 0 нақты диагональ матрицалар үшін.^[4]

Евклидтік Иордания алгебралары ерекше және ерекше

The ерекше Евклидтік Джордан алгебрасы E= H₃(O) деп аталады Альберт алгебрасы. Кон-Ширшов теоремасы оны екі элемент (және сәйкестілік) тудыруы мүмкін емес дегенді білдіреді. Мұны тікелей көруге болады. Фрейдентальдың диагонализациясы теоремасы бойынша бір элемент X нақты жазбалары бар диагональды матрица және басқасы ретінде қабылдануы мүмкін Y Джордан субалгебрасына ортогональды болу керек X. Егер барлық диагональды жазбалар болса X Иордания субальгебрасы ерекше X және Y диагональды матрицалар және үш элемент арқылы жасалады

${ displaystyle displaystyle {Y_ {1} = { begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & y_ {1} 0 & y_ {1} ^ {*} & 0 end {pmatrix}}, , , , Y_ { 2} = { begin {pmatrix} 0 & 0 & y_ {2} ^ {*} 0 & 0 & 0 y_ {2} & 0 & 0 end {pmatrix}}, , , , Y_ {3} = { begin {pmatrix } 0 & y_ {3} & 0 y_ {3} ^ {*} & 0 & 0 0 & 0 & 0 end {pmatrix}}.}}$

Диагональды матрицалардың нақты сызықтық аралығы, осы матрицалар және нақты жазбалары бар ұқсас матрицалар біртұтас Джордан субальгебрасын құрайтындығын тексеру өте қарапайым. Егер диагональды жазбалар болса X ерекше емес, X қарабайыр идемпотент ретінде қабылдауға болады e₁ 1, 0 және 0 диагональды жазбалармен Springer & Veldkamp (2000) содан кейін біртұтас Джордан субалгебрасы арқылы жасалатынын көрсетеді X және Y дұрыс. Шынында да, егер 1 - e₁ автомобилизмін қолданғаннан кейін субальгебрадағы екі қарабайыр идепотенттің қосындысы E қажет болған жағдайда субальгебраны диагональды матрицалар және диагональды матрицаларға ортогональды матрица жасайды. Алдыңғы дәлел бойынша бұл дұрыс болады. Егер 1 - e₁ - қарабайыр идемпотент, субалгебра дәреже қасиеттеріне сәйкес дұрыс болуы керек E.

Евклидтік алгебра дейді арнайы егер оның орталық ыдырауында Альберт алгебрасының көшірмелері болмаса. Альберт алгебрасын екі элемент құра алмайтындықтан, екі элемент тудыратын Евклид Джордан алгебрасы ерекше екендігі шығады. Бұл Ширшов-Кон теоремасы Евклидтік Иордания алгебралары үшін.^[5]

Жіктеу көрсеткендей, әрбір ерекше емес қарапайым Евклидтік Джордан алгебрасы кейбіреулерінің субальгебрасы болып табылады H_n(R). Сондықтан кез-келген арнайы алгебраға қатысты.

Екінші жағынан, ретінде Альберт (1934) Альберт алгебрасы көрсетілген H₃(O) -ның субальгебрасы ретінде іске асырыла алмайды H_n(R) кез келген үшін n.^[6]

Шынында да, π нақты сызықтық карта болып табылады E = H₃(O) өзін-өзі байланыстыратын операторларға V = Rⁿ π-мен (аб) = ½ (π (а) π (б) + π (б) π (а)) және π (1) = Мен. Егер e₁, e₂, e₃ бұл диагональ бойынша минималды идемпотенттер P_мен = π (e_мен өзара ортогоналды проекциялар болып табылады V ортогоналды ішкі кеңістіктерге V_мен. Егер мен ≠ j, элементтері e_иж туралы E ішінде 1-мен (мен,j) және (j,мен) жазбалар және 0 басқа жерде қанағаттандырады e_иж² = e_мен + e_j. Оның үстіне, e_ижe_jk = ½ e_ик егер мен, j және к ерекшеленеді. Операторлар Т_иж нөлге тең V_к (к ≠ мен, j) және қосылулармен шектеліңіз V_мен ⊕ V_j өзара алмасу V_мен және V_j. Рұқсат ету P_иж = P_мен Т_иж P_j және параметр P_II = P_мен, (P_иж) жүйесін құрайды матрица бірліктері қосулы V, яғни P_иж* = P_джи, ∑ P_II = Мен және P_ижP_км = δ_jk P_им. Келіңіздер E_мен және E_иж Peirce ыдырауының ішкі кеңістігі болыңыз E. Үшін х жылы O, set орнатыңыз_иж = P_иж π (xe_иж) оператор ретінде қарастырылады V_мен. Бұл тәуелді емес j және үшін х, ж жылы O

${ displaystyle displaystyle { pi _ {ij} (xy) = pi _ {ij} (x) pi _ {ij} (y), , , , pi _ {ij} (1) = Мен.}}$

Әрқайсысынан бастап х жылы O оң кері болады ж бірге xy = 1, карта π_иж инъекциялық. Екінші жағынан, бұл ассоциативті емес алгебрадан алгебралық гомоморфизм O ассоциативті алгебрада End V_мен, қайшылық.^[7]

Евклидтік Джордан алгебрасындағы оң конус

Макс Кочер симметриялы кеңістікті зерттеуде Иордания алгебраларын қолданудың бастамашысы болды

Анықтама

Қашан (e_мен) - Евклидтік Джордан алгебрасындағы 1 бөлімі E, өздігінен байланысатын L операторлары (e_мен) және бір уақытта өзіндік кеңістікке ыдырау бар. Егер а = ∑ λ_мен e_мен меншікті мәндері L(а) формасы бар ∑ have_мен λ_мен 0, 1/2 немесе 1. болып табылады e_мен меншікті мәндерді өздері береді λ_мен. Атап айтқанда элемент а жағымсыз спектрі бар, егер болса ғана L(а) теріс емес спектрге ие. Оның үстіне, а оң спектрі бар, егер болса ғана L(а) оң спектрі бар. Егер болса а оң спектрі бар, а - ε1 кейбір ε> 0 үшін теріс емес спектрге ие.

The оң конус C жылы E элементтер жиынтығы ретінде анықталған а осындай а оң спектрі бар. Бұл шарт операторға тең L(а) а оң өздігінен байланысатын оператор қосулы E.

• C - бұл дөңес конус E өйткені өзін-өзі байланыстыратын оператордың позитивтілігі Т- оның меншікті мәндері қатаң оң болатын қасиет - (ТВ,v)> 0 барлығы үшін v ≠ 0.
• C ашық матрицалар, өйткені оң матрицалар өзіне-өзі жалғасатын матрицаларда ашық болады L үздіксіз карта болып табылады: егер ең төменгі меншікті мәні болса Т ε> 0, содан кейін Т + S || болған сайын оң боладыS|| <ε.
• Жабылуы C бәрінен тұрады а осындай L(а) теріс емес немесе эквивалентті болып табылады а теріс емес спектрі бар. Дөңес конустың элементар қасиеттерінен, C оның жабылуының ішкі көрінісі болып табылады және дұрыс конус болып табылады. Жабылуындағы элементтер C дәл элементтер квадраты E.
• C өзіндік қосарланған. Іс жүзінде жабылу элементтері C тек барлық квадраттар жиынтығы х² жылы E, қос конусты барлығы береді а осылай (а,х²)> 0. Екінші жағынан, (а,х²) = (L(а)х,х), демек, бұл позитивтіге тең L(а).^[8]

Квадраттық бейнелеу

Оң конус екенін көрсету үшін C біртектес, яғни транзитивті автоморфизмдер тобы бар, өздеріне байланысты матрицалардың өздеріне квадраттық әрекетін жалпылау X ↦ YXY анықталуы керек. Егер Y аударылатын және өздігінен байланысқан, бұл карта кері және оң операторларға оң операторларды алып келеді.

Үшін а жылы E, эндоморфизмін анықтаңыз E, деп аталады квадраттық бейнелеу, арқылы^[9]

${ displaystyle displaystyle {Q (a) = 2L (a) ^ {2} -L left (a ^ {2} right).}}$

Өзіндік матрицалар үшін екенін ескеріңіз L(X)Y = ½(XY + YX), сондай-ақ Q(X)Y = XYX.

Элемент а жылы E аталады төңкерілетін егер ол invertable болса R[а]. Егер б кері, содан кейін спектрлік ыдырауын білдіреді а көрсетеді L(а) және L(б) маршрут.

Ақиқатында а егер болса және тек қана өзгертілсе Q(а) аударылатын болып табылады. Бұл жағдайда

${ displaystyle displaystyle {Q (a) ^ {- 1} a = a ^ {- 1}, , , , Q сол жақ (a ^ {- 1} оң) = Q (a) ^ { -1}.}}$

Шынында да, егер Q(а) алып жүреді R[а] өзіне. Басқа жақтан, Q(а)1 = а², сондықтан

${ displaystyle displaystyle { сол (Q (a) ^ {- 1} а оң) a = aQ (a) ^ {- 1} a = L (a) Q (a) ^ {- 1} a = Q (a) ^ {- 1} a ^ {2} = 1.}}$

Қабылдау б = а⁻¹ поляризацияланған Иордания сәйкестігінде

${ displaystyle displaystyle {Q (a) L сол (a ^ {- 1} оң) = L (a).}}$

Ауыстыру а оның кері қатынасы, егер мынадан туындайды L(а) және L(а⁻¹) аударылатын болып табылады. Егер жоқ болса, ол сақталады а + ε1 ерікті түрде аз, демек, шектеулі.

Бұл сәйкестікті ақырлы өлшемді (эвклидті) Джордан алгебрасында (төменде қараңыз) немесе арнайы Иордания алгебрасы, яғни Иордания алгебрасы унитальды ассоциативті алгебрамен анықталады.^[10] Олар кез-келген Иордания алгебрасында жарамды. Бұл болжам жасады Джейкобсон және дәлелдеді Макдональд (1960): Макдональд егер үш айнымалыдағы полиномдық идентификация, үшіншісінде сызықтық болса, кез-келген арнайы Джордан алгебрасында жарамды болса, онда ол барлық Иордан алгебраларында болады.^[11]

Шын мәнінде c жылы A және F(а) функциясы қосулы A End мәндерімен A, рұқсат етіңізД._cF(аat туынды болуы т = 0 F(а + тк). Содан кейін

${ displaystyle displaystyle {c = D_ {c} сол жақ (Q (a) a ^ {- 1} оң) = 2 сол [(L (a) L (c) + L (c) L (a ) -L (ac)) a ^ {- 1} right] + Q (a) D_ {c} сол (a ^ {- 1} оң) = 2c + Q (a) D_ {c} сол (а ^ {- 1} оң).}}$

Төрт жақшаның ішіндегі өрнек c өйткені L(а) барады L(а⁻¹).

Осылайша

${ displaystyle displaystyle {D_ {c} сол жақ (a ^ {- 1} оң) = - Q (a) ^ {- 1} с.}}$

Қолдану Д._c дейін L(а⁻¹)Q(а) = L(а) және әрекет ету б = c⁻¹ өнімділік

${ displaystyle displaystyle {(Q (a) b) сол (Q сол (a ^ {- 1} оң) b ^ {- 1} оң) = 1.}}$

Басқа жақтан, L(Q(а)б) ашық тығыз жиынтықта қайтымды болады Q(а)б сонымен бірге аударылатын болуы керек

${ displaystyle displaystyle {(Q (a) b) ^ {- 1} = Q солға (a ^ {- 1} оңға) b ^ {- 1}.}}$

Туынды алу Д._c айнымалыда б жоғарыдағы өрнекте береді

${ displaystyle displaystyle {-Q (Q (a) b) ^ {- 1} Q (a) c = -Q (a) ^ {- 1} Q (b) ^ {- 1} c.}}$

Бұл инверсияланатын элементтердің тығыз жиынтығы үшін негізгі сәйкестікті береді, сондықтан жалпы сабақтастықпен жүреді. Іргелі сәйкестік соны білдіреді c = Q(а)б егер аударылатын болса а және б қайтымды және кері формуласын береді Q(c). Оны қолдану c толық жалпылықта кері сәйкестікті береді.

Соңында оны анықтамалардан бірден тексеруге болады, егер сен = 1 − 2e кейбір идемпотент үшін e, содан кейін Q(сен) - бұл орталықтандырғыш алгебра мен модулі үшін жоғарыда салынған 2-ші кезең автоморфизм e.

Позитивті конустың біртектілігі

Мұның дәлелі өздігінен байланысқан операторлардың меншікті мәндерінің элементарлы үздіксіздік қасиеттеріне сүйенеді.^[12]

Келіңіздер Т(т) (α ≤ т ≤ β) өзін-өзі байланыстыратын операторлардың үздіксіз отбасы болуы E бірге Т(α) оң және Т(β) мәнінің теріс мәні бар. Орнатыңыз S(т)= –Т(т) + М бірге М > 0 таңдалғаны соншалық S(т) барлығы үшін оң т. Операторлық норма ||S(т) || үздіксіз. Бұл аз М үшін т = α және одан үлкен М үшін т = β. Сонымен, кейбіреулер үшін α < с <β, ||S(с) || = M және вектор бар v ≠ 0 осылай S(с)v = Mv. Сондай-ақ Т(с)v = 0, сондықтан Т(с) қайтарылмайды.

Айталық х = Q(а)б жатпайды C. Келіңіздер б(т) = (1 − т) + тб 0 with т ≤ 1. Дөңес б(т) жатыр C. Келіңіздер х(т) = Q(а)б(т) және X(т) = L(х(т)). Егер X(т) барлығына аударылады т 0 with т ≤ 1, меншікті мән аргументі қарама-қайшылықты береді, өйткені ол оң т = 0 және минус меншікті мәндері бар т = 1. Сонымен X(с) кейбіреулері үшін нөлдік мәні бар с 0 < с ≤ 1: X(с)w = 0 бірге w ≠ 0. Квадраттық бейнелеу қасиеттері бойынша, х(т) барлығына аударылады т. Келіңіздер Y(т) = L(х(т)²). Бұл оң оператор х(т)² жатыр C. Келіңіздер Т(т) = Q(х(т)), аударылатын өзін-өзі қосатын оператор х(т). Басқа жақтан, Т(т) = 2X(т)² - Y(т). Сонымен (Т(с)w,w) <0 бері Y(с) оң және X(с)w = 0. Атап айтқанда Т(с) өзіндік жеке мәндеріне ие. Екінші жағынан, оператор Т(0) = Q(а²) = Q(а)² оң. Өзіндік мән бойынша, Т(т) кейбіреулері үшін 0 мәніне ие т 0 < т < с, қайшылық.

Бұдан сызықтық операторлар шығады Q(а) бірге а конвертті және олардың инверсиялары конусты алады C өзіне. Шынында да, кері Q(а) әділ Q(а⁻¹). Бастап Q(а)1 = а², осылайша симметриялардың өтпелі тобы бар:

Симметриялы конустың эвклидтік Джордан алгебрасы

Құрылыс

Келіңіздер C Евклид кеңістігінде симметриялы конус бол E. Жоғарыда айтылғандай, авт C GL жабық ішкі тобын білдіреді (E) қабылдау C (немесе баламалы түрде оның жабылуы) өзіне. Келіңіздер G = Авт₀ C оның жеке құрамдас бөлігі болуы керек. Қ = G ∩ O (E). Бұл максималды ықшам топшасы G және нүктенің тұрақтандырғышы e жылы C. Ол қосылған. Топ G ассоциацияларды қабылдаған кезде өзгермейтін болып табылады. Let рұқсат етіңізж =(ж*)⁻¹, 2 кезең автоморфизм. Осылайша Қ the тіркелген нүктелік кіші тобы болып табылады. Келіңіздер ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ Lie алгебрасы G. Осылайша σ-нің инволюциясын тудырады ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ демек ± 1 жеке кеңістіктің ыдырауы

${ displaystyle displaystyle {{ mathfrak {g}} = { mathfrak {k}} oplus { mathfrak {p}},}}$

қайда ${ displaystyle { mathfrak {k}}}$+1 меншікті кеңістігі - бұл Lie алгебрасы Қ және ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ меншікті кеңістік. Осылайша ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$⋅e бұл димфиннің аффиндік ішкі кеңістігі ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$. Бастап C = G/Қ болып табылады E, бұл солғын болады E = күңгірт ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ және демек ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$⋅e = E. Үшін а жылы E рұқсат етіңіз L(а) бірегей элементі болуы керек ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ осындай L(а)e = а. Анықтаңыза ∘ б = L(а)б. Содан кейін E Евклидтік құрылымымен және осы екі сызықты өнім 1 = идентификациясы бар евклидтік Иордания алгебрасы e. Дөңес конус сәйкес келеді C оң конусымен E.^[13]

Элементтері болғандықтан ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ өзін-өзі байланыстырады, L(а)* = L(а). Өнім коммутативті болып табылады [${ displaystyle { mathfrak {p}}}$, ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$] ⊆ ${ displaystyle { mathfrak {k}}}$ жойылады e, сондай-ақ аб = L(а)L(б)e = L(б)L(а)e = ба. Иорданияның жеке басын тексеру керек [L(а),L(а²)] = 0.

The ассоциатор берілген [а,б,c] = [L(а),L(c)]б. Бастап [L(а),L(c)] жатыр${ displaystyle { mathfrak {k}}}$ Бұдан шығатыны [[L(а),L(c)],L(б)] = L([а,б,c]). Екі тарапты да әрекет етуге мәжбүр ету c өнімділік

${ displaystyle displaystyle {[a, b ^ {2}, c] = 2 [a, b, c] b.}}$

Басқа жақтан,

${ displaystyle displaystyle {([b ^ {2}, a, b], c) = (b ^ {2} (ba) -b (b ^ {2} a), c) = - (b ^ { 2}, [a, b, c])}}$

және сол сияқты

${ displaystyle displaystyle {([b ^ {2}, a, b], c) = (b, [a, b ^ {2}, c]).}}$

Мына әлпеттерді біріктіру береді

${ displaystyle displaystyle {([b ^ {2}, a, b], c) = 0,}}$

бұл Иорданияның сәйкестігін білдіреді.

Соңында оң конус E сәйкес келеді C. Бұл кез-келген евклидтік Джордан алгебрасында болатындығына байланысты E

${ displaystyle displaystyle {Q (e ^ {a}) = e ^ {2L (a)}.}}$

Ақиқатында Q(e^а) оң оператор болып табылады,Q(e^та) оң операторлардың бір параметрлі тобы: рационал үшін сабақтастық жалғасады т, мұнда ол күштердің мінез-құлқының салдары болып табылады, сондықтан ол exp формасына ие tX өзін-өзі байланыстыратын оператор үшін X. Туынды 0-ге алсақ, ол береді X = 2L(а).

Демек, оң конусты барлық элементтер береді

${ displaystyle displaystyle {e ^ {2a} = Q (e ^ {a}) 1 = e ^ {2L (a)} 1 = e ^ {X} cdot 1,}}$

бірге X жылы ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$. Осылайша оң конус E ішінде жатыр C. Екеуі де екі жақты болғандықтан, олар сәйкес келуі керек.

Автоморфизм топтары және формасы

Келіңіздер C қарапайым Евклидтік Джордан алгебрасында оң конус бол E. Авт C - GL жабық кіші тобы (E) қабылдау C (немесе оның жабылуы) өзіне. Келіңіздер G = Авт₀ C Aut сәйкестендіру компоненті болуы C және рұқсат етіңіз Қ жабық кіші тобы болуы керек G бекіту 1. Топтан конустың теориялық қасиеттері, Қ қосылатын ықшам топшасы болып табылады G және Aut Aut Lakt тобының сәйкестендіру компонентіне тең E. Келіңіздер ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ және ${ displaystyle { mathfrak {k}}}$ Lie алгебралары болыңыз G және Қ. G және Қ 2 кезеңнің тіркелген нүктелік топшасы болып табылады автоморфизм σ (ж) = (ж*)⁻¹. Осылайша Қ = G ∩ SO (E). Келіңіздер ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ σ -нің меншікті кеңістігі болыңыз.

• ${ displaystyle { mathfrak {k}}}$ туындыларынан тұрады E ішкі формаға сәйкес келетін, із түрінде анықталған.
• [[L(а),L(c)],L(б)] = L([а,б,c]).
• Егер а және б бар E, содан кейін Д. = [L(а),L(б)] - туындысы E, сондықтан жатыр ${ displaystyle { mathfrak {k}}}$. Бұл туындылар созылады ${ displaystyle { mathfrak {k}}}$.
• Егер а ішінде C, содан кейін Q(а) жатыр G.
• C -ның кері элементтерінің жиынтығының жалғанған компоненті болып табылады E 1. элементтерінің экспоненциалдарынан тұрады E ал экспоненциалды карта диффеоморфизмін береді E үстінде C.
• Карта а ↦ L(а) изоморфизмін береді E үстінде ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ және e^L(а) = Q(e^а/2). Мұндай экспоненциалдардың кеңістігі сәйкес келеді P ішіндегі өзін-өзі біріктіретін оң элементтер G.
• Үшін ж жылы G және а жылы E, Q(ж(а)) = ж Q(а) ж*.

Картандық ыдырау

• G = P ⋅ Қ = Қ ⋅ P және ыдырау ж = pk сәйкес келеді полярлық ыдырау GL-де (E).
• Егер (e_мен) - бұл Иордания жақтауы E, содан кейін ішкі кеңістік ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ туралы ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ таралған L(e_мен) ең үлкен Абелия ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$. A = exp ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ - бұл операторлардың абель топшасы Q(а) қайда а = Σ λ_мен e_мен λ көмегімен_мен > 0. A жабық P және демек G. Егер б = Σ μ_мен e_мен μ бар_мен > 0, содан кейін Q(аб)=Q(а)Q(б).
• ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ және P бірігу болып табылады Қ аударады ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ және A.

Иусасаваның конус үшін ыдырауы

Егер E Иордан рамасына қатысты Peirce ыдырауы бар (e_мен)

${ displaystyle displaystyle {E = bigoplus _ {i leq j} E_ {ij},}}$

содан кейін ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ осы ыдырауымен қиғашталған L(а) ретінде әрекет етеді (α_мен + α_j) / 2 қосулы E_иж, қайда а = ∑ α_мен e_мен.

Жабық ішкі топты анықтаңыз S туралы G арқылы

${ displaystyle displaystyle {S = {g in G | gE_ {ij} subseteq bigoplus _ {(p, q) geq (i, j)} E_ {pq} },}}$

жұптарға тапсырыс беру б ≤ q болып табылады лексикографиялық. S топты қамтиды A, өйткені ол скаляр ретінде әрекет етеді E_иж. Егер N жабық кіші тобы болып табылады S осындай nx = х модуль ⊕_{(б,q) > (мен,j)} E_pq, содан кейін S = AN = NA, а жартылай бағыт өнім бірге A қалыпқа келтіру N. Оның үстіне, G мыналар бар Ивасаваның ыдырауы:

${ displaystyle displaystyle {G = KAN.}}$

Үшін мен ≠ j рұқсат етіңіз

${ displaystyle displaystyle {{ mathfrak {g}} _ {ij} = {X in { mathfrak {g}}: [L (a), X] = {1 over 2} ( alpha _) {i} - alpha _ {j}) X, , , , mathrm {for} , , , a = sum alpha _ {i} e_ {i} }.}}$

Сонда Lie алгебрасы N болып табылады

${ displaystyle displaystyle {{ mathfrak {n}} = bigoplus _ {i$

Ортанормальды негіздерді қабылдау E_иж негізін береді E, жұптарға лексикографиялық тәртіпті қолдану (мен,j). Топ N төменгі бірлік, ал Lie алгебрасы төменгі үшбұрышқа тең. Атап айтқанда, экспоненциалды карта - бұл полиномдық карта ${ displaystyle { mathfrak {n}}}$ үстінде N, логарифммен берілген полиномға кері санмен.

Евклидтік Иордания алгебрасының комплексі

Кешендеудің анықтамасы

Келіңіздер E Евклидтік Иордания алгебрасы бол. Кешендеу E_C = E ⊕ мен табиғи конъюгация операциясы бар (а + Иб)* = а − Иб және табиғи күрделі ішкі өнім мен норма. Иордания өнімі қосулы E дейін созылады E_C, сондай-ақ (а + Иб)(c + идентификатор) = (ак − bd) + мен(жарнама + б.з.д.). Егер көбейту арқылы анықталса L(а)б = аб содан кейін Иордания аксиомасы

${ displaystyle displaystyle {[L (a), L (a ^ {2})] = 0}}$

әлі де аналитикалық жалғасуда. Шынында да, жоғарыдағы сәйкестілік қашан болады а ауыстырылады а + тб үшін т нақты; және сол жағы онда мәндері End көпмүшесі болғандықтан E_C жоғалып кету т, ол да жоғалады т күрделі. Analytic continuation also shows that all for the formulas involving power-associativity for a single element а жылы E, including recursion formulas for L(а^м), also hold in E_C. Since for б жылы E, L(б) is still self-adjoint on E_C, the adjoint relation L(а*) = L(а)* holds for а жылы E_C. Similarly the symmetric bilinear form β(а,б) = (а,б*) satisfies β(аб,c) = β(б,ак). If the inner product comes from the trace form, then β(а,б) = Tr L(аб).

Үшін а жылы E_C, the quadratic representation is defined as before by Q(а)=2L(а)² − L(а²). By analytic continuation the fundamental identity still holds:

${displaystyle displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a),,,,Q(a^{m})=Q(a)^{m},,(mgeq 0).}}$

Элемент а жылы E аталады төңкерілетін if it is invertible in C[а]. Power associativity shows that L(а) және L(а⁻¹) commute. Оның үстіне, а⁻¹ is invertible with inverse а.

Сол сияқты E, а is invertible if and only if Q(а) is invertible. Бұл жағдайда

${displaystyle displaystyle {Q(a)^{-1}a=a^{-1},,,,Q(a^{-1})=Q(a)^{-1}.}}$

Indeed, as for E, егер Q(а) is invertible it carries C[а] onto itself, while Q(а)1 = а², сондықтан

${displaystyle displaystyle {(Q(a)^{-1}a)a=aQ(a)^{-1}a=L(a)Q(a)^{-1}a=Q(a)^{-1}a^{2}=1,}}$

сондықтан а is invertible. Conversely if а is invertible, taking б = а⁻² in the fundamental identity shows that Q(а) is invertible. Ауыстыру а арқылы а⁻¹ және б арқылы а then shows that its inverse is Q(а⁻¹). Ақырында, егер а және б are invertible then so is c = Q(а)б and it satisfies the inverse identity:

${displaystyle displaystyle {(Q(a)b)^{-1}=Q(a^{-1})b^{-1}.}}$

Invertibility of c follows from the fundamental formula which gives Q(c) = Q(а)Q(б)Q(а). Демек

${displaystyle displaystyle {c^{-1}=Q(c)^{-1}c=Q(a)^{-1}Q(b)^{-1}b=Q(a)^{-1}b^{-1}.}}$

The formula

${displaystyle displaystyle {Q(e^{a})=e^{2L(a)}}}$

also follows by analytic continuation.

Complexification of automorphism group

Авт E_C болып табылады кешендеу of the compact Lie group Aut E in GL(E_C). This follows because the Lie algebras of Aut E_C and Aut E consist of derivations of the complex and real Jordan algebras E_C және E. Under the isomorphism identifying End E_C with the complexification of End E, the complex derivations is identified with the complexification of the real derivations.^[14]

Structure groups

The Jordan operator L(а) are symmetric with respect to the trace form, so that L(а)^т = L(а) үшін а жылы E_C. The automorphism groups of E және E_C consist of invertible real and complex linear operators ж осындай L(га) = gL(а)ж⁻¹ және g1 = 1. Aut E_C is the complexification of Aut E. Since an automorphism ж preserves the trace form, ж⁻¹ = ж^т.

The structure groups туралы E және E_C consist of invertible real and complex linear operators ж осындай

${displaystyle displaystyle {Q(ga)=gQ(a)g^{t}.}}$

They form groups Γ(E) and Γ(E_C) with Γ(E) ⊂ Γ(E_C).

• The structure group is closed under taking transposes ж ↦ ж^т and adjoints ж ↦ ж*.
• The structure group contains the automorphism group. The automorphism group can be identified with the stabilizer of 1 in the structure group.
• Егер а is invertible, Q(а) lies in the structure group.
• Егер ж is in the structure group and а is invertible, га is also invertible with (га)⁻¹ = (ж^т)⁻¹а⁻¹.
• Егер E is simple, Γ(E) = Aut C × {±1}, Γ(E) ∩ O(E) = Aut E × {±1} and the identity component of Γ(E) acts transitively on C.
• Γ (E_C) is the complexification of Γ(E), which has Lie algebra ${displaystyle {mathfrak {k}}oplus {mathfrak {p}}}$.
• The structure group Γ(E_C) acts transitively on the set of invertible elements in E_C.
• Әрқайсысы ж in Γ(E_C) has the form ж = сағ Q(а) бірге сағ an automorphism and а invertible.

The unitary structure group Γ_сен(E_C) is the subgroup of Γ(E_C) consisting of unitary operators, so that Γ_сен(E_C) = Γ (E_C) ∩ U(E_C).

• The stabilizer of 1 in Γ_сен(E_C) is Aut E.
• Әрқайсысы ж in Γ_сен(E_C) has the form ж = сағ Q(сен) бірге сағ in Aut E және сен invertible in E_C бірге сен* = сен⁻¹.
• Γ (E_C) is the complexification of Γ_сен(E_C), which has Lie algebra ${displaystyle {mathfrak {k}}oplus i{mathfrak {p}}}$.
• Жинақ S of invertible elements сен осындай сен* = сен⁻¹ can be characterized equivalently either as those сен ол үшін L(сен) is a normal operator with уу* = 1 or as those сен of the form exp ia кейбіреулер үшін а жылы E. Сондай-ақ S is connected.
• The identity component of Γ_сен(E_C) acts transitively on S
• ж in GL(E_C) is in the unitary structure group if and only if gS = S
• Given a Jordan frame (e_мен) және v жылы E_C, there is an operator сен in the identity component of Γ_сен(E_C) солай uv = ∑ α_мен e_мен with α_мен ≥ 0. If v is invertible, then α_мен > 0.

Given a frame (e_мен) in a Euclidean Jordan algebra E, шектеулі Weyl тобы can be identified with the group of operators on ⊕ R e_мен arising from elements in the identity component of Γ_сен(E_C) that leave ⊕ R e_мен invariant.

Spectral norm

Келіңіздер E be a Euclidean Jordan algebra with the inner product given by the trace form. Let (e_мен) be a fixed Jordan frame in E. For given а жылы E_C таңдау сен in Γ_сен(E_C) солайуа = ∑ α_мен e_мен with α_мен ≥ 0. Then the spectral norm ||а|| = max α_мен is independent of all choices. It is a norm on E_C бірге

${displaystyle displaystyle {|a^{*}|=|a|,,,,|{a,a^{*},a}|=|a|^{3}.}}$

In addition ||а||² арқылы беріледі operator norm туралы Q(а) on the inner product space E_C. The fundamental identity for the quadratic representation implies that ||Q(а)б|| ≤ ||а||²||б||. The spectral norm of an element а терминдерімен анықталады C[а] so depends only on а and not the particular Euclidean Jordan algebra in which it is calculated.^[15]

The compact set S жиынтығы экстремалды нүктелер of the closed unit ball ||х|| ≤ 1. Each сен жылы S has norm one. Сонымен қатар, егер сен = e^ia және v = e^Иб, then ||uv|| ≤ 1. Indeed, by the Cohn–Shirshov theorem the unital Jordan subalgebra of E жасаған а және б is special. The inequality is easy to establish in non-exceptional simple Euclidean Jordan algebras, since each such Jordan algebra and its complexification can be realized as a subalgebra of some H_n(R) and its complexification H_n(C) ⊂ М_n(C). The spectral norm in H_n(C) is the usual operator norm. In that case, for unitary matrices U және V жылы М_n(C), clearly ||½(Ультрафиолет + VU) || ≤ 1. The inequality therefore follows in any special Euclidean Jordan algebra and hence in general.^[16]

On the other hand, by the Керин - Милман теоремасы, the closed unit ball is the (closed) convex span туралы S.^[17] It follows that ||L(сен) || = 1, in the operator norm corresponding to either the inner product norm or spectral norm. Hence ||L(а)|| ≤ ||а|| барлығына а, so that the spectral norm satisfies

${displaystyle displaystyle {|ab|leq |a|cdot |b|.}}$

Бұдан шығатыны E_C Бұл Jordan C* algebra.^[18]

Complex simple Jordan algebras

The complexification of a simple Euclidean Jordan algebra is a simple complex Jordan algebra which is also бөлінетін, i.e. its trace form is non-degenerate. Conversely, using the existence of a real form of the Lie algebra of the structure group, it can be shown that every complex separable simple Jordan algebra is the complexification of a simple Euclidean Jordan algebra.^[19]

To verify that the complexification of a simple Euclidean Jordan algebra E has no ideals, note that if F идеал болып табылады E^C then so too is F^⊥, the orthogonal complement for the trace norm. As in the real case, Дж = F^⊥ ∩ F must equal (0). For the associativity property of the trace form shows that F^⊥ is an ideal and that аб = 0 if а және б жату Дж. Демек Дж is an ideal. Бірақ егер з ішінде Дж, L(з) алады E_C ішіне Дж және Дж into (0). Hence Tr L(з) = 0. Since Дж is an ideal and the trace form degenerate, this forces з = 0. It follows that E_C = F ⊕ F^⊥. Егер P is the corresponding projection onto F, it commutes with the operators L(а) және F^⊥ = (Мен − P)E_C. is also an ideal and E = F ⊕ F^⊥. Сонымен қатар, егер e = P(1), then P = L(e). In fact for а жылы E

${displaystyle displaystyle {ea=ae=L(a)P(1)=P(L(a)1)=P(a),}}$

сондай-ақ еа = а үшін а жылы F and 0 for а жылы F^⊥. Сондай-ақ e және 1 - e are orthogonal орталық idempotents with L(e) = P және L(1 − e) = Мен − P.

So simplicity follows from the fact that the center of E_C is the complexification of the center of E.

Symmetry groups of bounded domain and tube domain

According to the "elementary approach" to bounded symmetric space of Koecher,^[20] Hermitian symmetric spaces of noncompact type can be realized in the complexification of a Euclidean Jordan algebra E as either the open unit ball for the spectral norm, a bounded domain, or as the open tube domain Т = E + iC, қайда C is the positive open cone in E. In the simplest case where E = R, the complexification of E жай C, the bounded domain corresponds to the open unit disk and the tube domain to the upper half plane. Both these spaces have transitive groups of biholomorphisms given by Möbius transformations, corresponding to matrices in SU(1,1) немесе SL (2,R). They both lie in the Riemann sphere C ∪ {∞}, the standard one-point compactification of C. Moreover, the symmetry groups are all particular cases of Möbius transformations corresponding to matrices in SL (2,C). This complex Lie group and its maximal compact subgroup СУ (2) act transitively on the Riemann sphere. The groups are also algebraic. They have distinguished generating subgroups and have an explicit description in terms of generators and relations. Moreover, the Cayley transform gives an explicit Möbius transformation from the open disk onto the upper half plane. All these features generalize to arbitrary Euclidean Jordan algebras.^[21] The compactification and complex Lie group are described in the next section and correspond to the dual Hermitian symmetric space of compact type. In this section only the symmetries of and between the bounded domain and tube domain are described.

Jordan frames provide one of the main Jordan algebraic techniques to describe the symmetry groups. Each Jordan frame gives rise to a product of copies of R және C. The symmetry groups of the corresponding open domains and the compactification—polydisks and polyspheres—can be deduced from the case of the unit disk, the upper halfplane and Riemann sphere. All these symmetries extend to the larger Jordan algebra and its compactification. The analysis can also be reduced to this case because all points in the complex algebra (or its compactification) lie in an image of the polydisk (or polysphere) under the unitary structure group.

Анықтамалар

Келіңіздер E be a Euclidean Jordan algebra with complexification A = E_C = E + iE.

The unit ball or disk Д. жылы A is just the convex bounded open set of elementsа such the ||а|| < 1, i.e. the unit ball for the spectral norm.

The tube domain Т жылы A is the unbounded convex open set Т = E + iC, қайда C is the open positive cone in E.

Möbius transformations

The group SL(2,C) әрекет етеді Möbius transformations үстінде Риман сферасы C ∪ {∞}, the one-point compactification туралы C. Егер ж in SL(2,C) is given by the matrix

${displaystyle displaystyle {g={egin{pmatrix}alpha &eta gamma &delta end{pmatrix}},}}$

содан кейін

${displaystyle displaystyle {g(z)=(alpha z+eta )(gamma z+delta )^{-1}.}}$

Similarly the group SL(2,R) acts by Möbius transformations on the circle R ∪ {∞}, the one-point compactification of R.

Келіңіздер к = R немесе C. Then SL(2,к) is generated by the three subgroups of lower and upper unitriangular matrices, L және U ', and the diagonal matrices Д.. It is also generated by the lower (or upper) unitriangular matrices, the diagonal matrices and the matrix

${displaystyle displaystyle {J={egin{pmatrix}0&1-1&0end{pmatrix}}.}}$

Матрица Дж corresponds to the Möbius transformation j(з) = −з⁻¹ and can be written

${displaystyle displaystyle {J={egin{pmatrix}1&0-1&1end{pmatrix}}{egin{pmatrix}1&1�&1end{pmatrix}}{egin{pmatrix}1&0-1&1end{pmatrix}}.}}$

The Möbius transformations fixing ∞ are just the upper triangular matrices B = УД = DU. Егер ж does not fix ∞, it sends ∞ to a finite point а. But then ж can be composed with an upper unitriangular matrix to send а to 0 and then with Дж to send 0 to infinity. This argument gives the one of the simplest examples of the Брухаттың ыдырауы:

${ displaystyle displaystyle { mathbf {SL} (2, k) = mathbf {B} cup mathbf {B} cdot J cdot mathbf {B},}}$

қос косеталық ыдырау SL (2,к). Іс жүзінде одақ бөлінбейді және дәлірек жазуға болады

${ displaystyle displaystyle { mathbf {SL} (2, k) = mathbf {B} cup mathbf {B} cdot J cdot mathbf {U},}}$

мұнда екінші тоқсанда пайда болатын өнім тікелей болады.

Енді рұқсат етіңіз

${ displaystyle displaystyle {T ( beta) = { begin {pmatrix} 1 & beta 0 & 1 end {pmatrix}}.}}$

Содан кейін

${ displaystyle displaystyle {{ begin {pmatrix} alpha & 0 0 & alfa ^ {- 1} end {pmatrix}} = JT ( alpha ^ {- 1}) JT ( alpha) JT ( альфа ^ {- 1}).}}$

Бұдан шығады SL (2,к) операторлар тобы арқылы жасалады Т(β) және Дж келесі қатынастарға байланысты:

• β ↦ Т(β) аддитивті гомоморфизм болып табылады
• α ↦ Д.(α) = JT(α⁻¹)JT(α)JT(α⁻¹) мультипликативті гомоморфизм болып табылады
• Д.(−1) = Дж
• Д.(α)Т(β)Д.(α)⁻¹ = Т(α²β)
• JD(α)Дж⁻¹ = Д.(α)⁻¹

Соңғы қатынас анықтамасынан туындайды Д.(α). Жоғарыда келтірілген генератор және қатынастар фактіні ұсынады SL (2,к). Шынында да, құрған тегін топты қарастырыңыз Дж және Т(β) бірге Дж 4-ші бұйрық және оның квадраты орталық. Бұл барлық өнімдерден тұрадыТ(β₁)JT(β₂)JT(β₃)Дж ... Т(β_м)Дж үшін м ≥ 0. Φ -ның табиғи гомоморфизмі бар SL (2,к). Оның ядросында жоғарыдағы қатынастар тудыратын sub қалыпты топшасы бар. Сонымен, Φ / Δ табиғи гомоморфизмі бар SL (2,к). Инъекциялық екенін көрсету үшін Брухат ыдырауының да болатынын көрсету жеткілікті Φ / Δ. Бірінші нұсқаны дәлелдеу жеткілікті, өйткені дәлірек нұсқасы арасындағы коммутациялық қатынастардан туындайды Дж жәнеД.(α). Жинақ B ∪ B Дж B инверсия кезінде инвариантты, құрамында операторлары бар Т(β) және Дж, сондықтан көбейту кезінде инвариантты екенін көрсету жеткілікті. Құрылымы бойынша ол көбейтіндіге инвариантты B. Ол көбейтіндіге инвариантты болады Дж үшін анықтайтын теңдеу болғандықтан Д.(α).^[22]

Атап айтқанда SL (2,к) скалярлық матрицалардан тұрады ±Мен және бұл тек кішігірім емес қалыпты кіші топ SL (2,к), сондай-ақ PSL (2,к) = SL (2,к)/{±Мен} болып табылады қарапайым.^[23] Іс жүзінде егер Қ бұл қалыпты кіші топ, сондықтан Брухаттың ыдырауы оны білдіреді B максималды кіші топ болып табылады, сондықтан да Қ ішінде орналасқан B немесеКБ = SL (2,к). Бірінші жағдайда Қ бір нүктені, демек әрбір нүктені түзетеді к ∪ {∞}, сондықтан орталықта жатыр. Екінші жағдайда коммутатордың кіші тобы туралы SL (2,к) - бұл бүкіл топ, өйткені ол төменгі және жоғарғы өлшемді матрицалардан құралған топ және төртінші қатынас барлық осындай матрицалардың коммутатор екенін көрсетеді [Т(β),Д.(α)] = Т(β - α²β). Жазу Дж = кб бірге к жылы Қ және б жылы B, бұдан шығады L = к U к⁻¹. Бастап U және L бүкіл топты құру, SL (2,к) = KU. Бірақ содан кейін SL (2,к)/Қ ≅ U/U ∩ Қ. Мұндағы оң жақ - Абель, ал сол жақ - өзінің жеке коммутатор топшасы. Демек, бұл тривиальды топ болуы керек және Қ = SL (2,к).

Элемент берілген а күрделі Иордания алгебрасында A = E_C, бірыңғай Иордания субальгебрасы C[а] ассоциативті және коммутативті болып табылады. Көбейту а бойынша операторды анықтайды C[а] спектрі бар, атап айтқанда оның күрделі меншікті мәндерінің жиынтығы. Егер б(т) күрделі полином болып табылады б(а) анықталады C[а]. Ол ішіне аударылады A егер және егер ол ішіне аударылатын болса ғанаC[а], бұл дәл қашан болады б спектрінде жоғалып кетпейді а. Бұл рұқсат рационалды функциялар туралы а функциясы спектрінде анықталған сайын анықталуы керек а. Егер F және G деген ұтымды функциялар болып табылады G және F∘G бойынша анықталған а, содан кейінF бойынша анықталады G(а) және F(G(а)) = (F∘G)(а). Бұл, атап айтқанда, анықтауға болатын күрделі Мобиус түрлендірулеріне қатыстыж(а) = (αа + β1) (γа + δ1)⁻¹. Олар кетеді C[а] инвариантты және анықталған кезде топ құрамы туралы заң орындалады. (Келесі бөлімде Mobius түрлендірулерінің тығыздалуы бойынша анықталатын болады A.)^[24]

Қарапайым идемпотент берілген e жылы E Peirce ыдырауымен

${ displaystyle displaystyle {E = E_ {1} (e) oplus E_ {1/2} (e) oplus E_ {0} (e), , , , , A = A_ {1} (e) oplus A_ {1/2} (e) oplus A_ {0} (e).}}$

әрекеті SL (2,C) Мобиус түрлендіруі бойынша E₁(e) = C e әрекетке дейін кеңейтілуі мүмкін A сондықтан әрекет компоненттерді инвариантты етіп қалдырады A_мен(e) және, атап айтқанда, маңызды емес әрекеттер E₀(e).^[25] Егер P₀ проекциясы болып табылады A₀(e), әрекет формула түрінде берілген

${ displaystyle displaystyle {g (ze oplus x_ {1/2} oplus x_ {0}) = { alfa z + beta over gamma z + delta} cdot e oplus ( gamma z + delta ) ^ {- 1} x_ {1/2} oplus x_ {0} - ( gamma z + delta) ^ {- 1} P_ {0} (x_ {1/2} ^ {2}).}}$

Қарапайым идемпотенттердің Джордан шеңбері үшін e₁, ..., e_м, әрекеттері SL (2,C) әртүрлі байланысты e_мен маршрут, осылайша әрекет береді SL (2,C)^м. Қиғаш көшірмесі SL (2,C) қайтадан Мобиус түрлендірулерінің әрекетін береді A.

Кэйли түрлендіруі

Мобиустың өзгеруі

${ displaystyle displaystyle {C (z) = i {1 + z over 1-z} = - i + {2i over-z}}}$

деп аталады Кэйли түрлендіруі. Оның кері мәні берілген

${ displaystyle displaystyle {P (w) = {w-i over w + i} = 1- {2i over w + i}.}}$

Кейлидің кері түрлендіруі нақты сызықты шеңберге 1 нүктесі алынып тасталынады. Ол жоғарғы дискіні блок дискісіне, ал төменгі жарты самолетін жабық блок дискісіне толықтырады. Жылы оператор теориясы картаға түсіру Т ↦ P(Т) өзін-өзі байланыстыратын операторларды алады Т унитарлық операторларға U олардың спектрінде 1 жоқ. Матрицалар үшін бұл унитарлы және өзін-өзі біріктіретін матрицаларды диагонализациялауға болатындықтан және олардың жеке мәндері бірлік шеңберіне немесе нақты сызыққа жататындықтан шығады. Бұл ақырлы өлшемде Кейли түрлендіруі және оның кері мәні оператордың нормасы матрицалары бірден кіші және оң бөлігі ойдан шығарылған операторлары арасындағы биекцияны орнатады. Бұл ерекше жағдай A = М._n(C) Төменде түсіндірілген Иордания алгебралық нәтижесінің нәтижесі, бұл Кейли түрлендіруі мен оның кері байланысы шектелген домен арасында биекция орнатады деп тұжырымдайды. Д. және түтік домені Т.

Матрицалар жағдайында биекция резолютивті формулалардан шығады.^[26] Шындығында Т оң болады Т + iI бастап аударылады

${ displaystyle displaystyle { | (T + iI) x | ^ {2} = | (T-iI) x | ^ {2} +4 ( mathrm {Im} (T) x, x) .}}$

Атап айтқанда, параметр ж = (Т + iI)х,

${ displaystyle displaystyle { | y | ^ {2} = | P (T) y | ^ {2} +4 ( mathrm {Im} (T) x, x).}}$

Эквивалентті

${ displaystyle displaystyle {IP (T) ^ {*} P (T) = 4 (T ^ {*} - iI) ^ {- 1} [ mathrm {Im} , T] (T + iI) ^ {-1}}}$

оң оператор болып табылады, сондықтан ||P(Т) || <1. Керісінше, егер ||U|| <1 содан кейін Мен− U аударылатын және

${ displaystyle displaystyle { mathrm {Im} , C (U) = (2i) ^ {- 1} [C (U) -C (U) ^ {*}] = (1-U ^ {*}) ) ^ {- 1} [IU ^ {*} U] (IU) ^ {- 1}.}}$

Кэйли түрленуі және оның транспозамен кері жүрісі болғандықтан, олар симметриялы матрицаларға биекция орнатады. Бұл Иордания симметриялы күрделі матрицалар алгебрасына сәйкес келеді H_n(R).

Жылы A = E_C жоғарыдағы анықталған сәйкестіліктер келесі формада болады:^[27]

${ displaystyle displaystyle {Q (1-u ^ {*}) Q (C (u) + C (u ^ {*})) Q (1-u) = - 4B (u ^ {*}, u) }}$

және баламалы

${ displaystyle displaystyle {4Q ( mathrm {Im} , a) = Q (a ^ {*} - i) B (P (a) ^ {*}, P (a)) Q (a + i) ,}}$

мұнда Бергман операторы B(х,ж) арқылы анықталады B(х,ж) = Мен − 2R(х,ж) + Q(х)Q(ж) бірге R(х,ж) = [L(х),L(ж)] + L(xy). Мұндағы инверсиялар жақсы анықталған. Іс жүзінде бір бағытта 1 − сен || үшін аударылатын болып табыладысен|| <1: бұл норманы || қанағаттандыратын фактіні қолдану арқылы жүредіаб|| ≤ ||а|| ||б|| немесе анықталған сәйкестендіруді және қайтарылмайтындығын қолдана отырып B(сен*,сен) (төменде қараңыз). Басқа бағытта болса а ішінде C сонда L(а) позитивті, сондықтан а айналдыруға болады. Бұл дәлелді қолдануға болады а + мен, сондықтан ол да аударылады.

Хат-хабарды анықтау үшін оны қашан тексеру керек E қарапайым. Бұл жағдайда -ның қосылуынан шығады Т және Д. және себебі:

Бірінші критерий - меншікті мәндері Q(х) дәл λ_менλ_j егер меншікті мәндері болса х болып табылады λ_мен. Сонымен λ_мен не оң, не бәрі жағымсыз. Екінші критерий, егер болсаа = сен ∑ α_мен e_мен = ux бірге α_мен ≥ 0 және сен жылы Γ_сен(E_C), содан кейін B(а*,а) = сен*Q(1 − х²)сен меншікті мәндері бар (1 - α_мен²) (1 - α_j²). Сонымен α_мен не біреуден кіші, не біреуден үлкен.

Шешімді сәйкестілік келесі тұлғаның салдары болып табылады а және б төңкерілетін

${ displaystyle displaystyle {Q (a) Q (a ^ {- 1} + b ^ {- 1}) Q (b) = Q (a + b).}}$

Іс жүзінде бұл жағдайда квадраттық Иордания алгебрасы үшін қатынастар меңзейді

${ displaystyle displaystyle {R (a, b) = 2Q (a) Q (a ^ {- 1}, b) = 2Q (a, b ^ {- 1}) Q (b)}}$

сондай-ақ

${ displaystyle displaystyle {B (a, b) = Q (a) Q (a ^ {- 1} -b) = Q (b ^ {- 1} -a) Q (b).}}$

Соңғы екі шарттың теңдігі ауыстырудың сәйкестігін білдіреді б арқылы −б⁻¹.

Енді орнатылды а = 1 − х және б = 1 − ж. Шешімді сәйкестілік - бұл жалпыға ортақ бірегейліктің ерекше жағдайы:

${ displaystyle displaystyle {Q (1-x) Q (C (x) + C (y)) Q (1-y) = - 4B (x, y).}}$

Ақиқатында

${ displaystyle displaystyle {C (x) + C (y) = - 2i (1-a ^ {- 1} -b ^ {- 1}),}}$

сондықтан сәйкестілік барабар

${ displaystyle displaystyle {Q (a) Q (1-a ^ {- 1} -b ^ {- 1}) Q (b) = B (1-a, 1-b).}}$

Жоғарыдағы сәйкестікті бірге қолдану Q(c)L(c⁻¹) = L(c), сол жағы тең Q(а)Q(б) + Q(а + б) − 2L(а)Q(б) − 2Q(а)L(б). Оң жағы тең 2L(а)L(б) + 2L(б)L(а) − 2L(аб) − 2L(а)Q(б) − 2Q(а)L(б) + Q(а)Q(б) + Q(а) + Q(б). Бұлар формуланың арқасында тең ½[Q(а + б) − Q(а) − Q(б)] = L(а)L(б) + L(б)L(а) − L(аб).

Шектелген доменнің автоморфизм тобы

Егер а шектелген доменде жатыр Д., содан кейін а − 1 аударылатын. Бастап Д. ≤ 1 модулінің скалярына көбейту кезінде инвариантты болады, бұдан шығадыа - λ | in | үшін аударылады ≥ 1. Демек || үшіна|| ≤ 1, а - λ | in | үшін аударылады > 1. Бұдан Мобиус түрленуі шығады га || үшін анықталадыа|| ≤ 1 және ж жылы СУ (1,1). Бұл анықталған жерде инъекциялық болып табылады. Ол голоморфты Д.. Бойынша максималды модульдік принцип, мұны көрсету үшін ж карталар Д. үстінде Д. оған карталарды көрсету жеткілікті S өзіне. Бұл жағдайда ж және оны кері консервілеу Д. сондықтан сюрютивті болуы керек. Егер сен = e^ix бірге х = ∑ ξ_менe_мен жылы E, содан кейін гу жатыр ⊕ C e_мен. Бұл коммутативті ассоциативті алгебра, ал спектрлік норма - супремумдық норма. Бастап сен = ∑ ς_менe_мен | ς көмегімен_мен| = 1, бұдан шығады гу = ∑ ж(ς_мен)e_мен қайда |ж(ς_мен) = 1. Сонымен гу жатыр S.

Бұл спектрлік норма анықтамасының тікелей салдары.

Бұл Mobius түрлендірулерімен, яғни диагональмен белгілі СУ (1,1)^м. Бұл белгіленген компоненттегі диагональды матрицалар үшін СУ (1,1)^м өйткені олар унитарлық құрылым тобындағы түрлендірулерге сәйкес келеді. Мобиустың түрленуі арқылы коньюгациялау сол компоненттегі матрицаның конъюгациясына тең. Жалғыз тривиальды емес кіші топтан бастап СУ (1,1) оның орталығы болып табылады, бекітілген компоненттегі әрбір матрица орын алады Д. өзіне.

In элементі берілген Д. унитарлы құрылым тобының сәйкестендіру компонентіндегі трансформация оны элемент түрінде жүзеге асырады ⊕ C e_мен супремум нормасы 1-ден кем СУ (1,1)^м оны нөлге жеткізеді. Осылайша бихоломорфты түрлендірулердің өтпелі тобы бар Д.. Симметрия з ↦ −з тек 0 болатын фиксингтің биоломорфты Мебиус трансформациясы.

Егер f бихоломорфты өзіндік картаға түсіру болып табылады Д. бірге f(0) = 0 және туынды Мен 0-де, содан кейін f болуы керек.^[28] Егер болмаса, f Тейлор сериясының кеңеюі бар f(з) = з + f_к + f_{к + 1}(з) + ⋅⋅⋅ бірге f_мен дәрежесі біртекті менжәне f_к ≠ 0. Бірақ содан кейін fⁿ(з) = з + n f_к(з). Келіңіздер ψ функционалды болу A* норма бірінші. Содан кейін бекітілген үшін з жылы Д., күрделі айнымалының голоморфты функциялары w берілген сағ_n(w) = ψ (fⁿ(wz)) | үшін модуль 1-ден кем болуы керекw| <1. Авторы Кошидің теңсіздігі, коэффициенттері w^к тәуелсіз біркелкі шектелген болуы керек n, егер бұл мүмкін болмаса f_к ≠ 0.

Егер ж бихоломорфты бейнелеу болып табылады Д. тек 0 thenif-ді өзі бекітеді сағ(з) = e^менα з, картаға түсіру f = ж ∘ сағ ∘ ж⁻¹ ∘ сағ^−α 0 түзетеді және оның туындысы бар Мен Ана жерде. Сондықтан бұл жеке куәлік. Сонымен ж(e^менα з) = e^менαж(з) кез келген α үшін. Бұл білдіреді ж сызықтық картаға түсіру болып табылады. Ол картаға түсірілгендіктен Д. ол жабылуды өзіне бейнелейді. Атап айтқанда, ол Шилов шекарасын бейнелеуі керек S өзіне. Бұл күш ж унитарлық құрылым тобында болу.

0 астындағы орбита A_Д. барлық нүктелердің жиынтығы ∑ α_мен e_мен бірге −1 <α_мен < 1. Біртұтас құрылым тобындағы осы нүктелердің орбитасы бүтін Д.. Картандық ыдырау келесідей болады Қ_Д. 0 дюйм тұрақтандырғышы болып табылады G_Д..

Іс жүзінде (сәйкестендіру компоненті) белгілеген жалғыз нүкте Қ_Д. жылы Д. 0-ді білдіреді орталығы туралы G_Д. 0-ді бекіту керек G_Д. жатыр Қ_Д.. Орталығы Қ_Д. шеңбер тобына изоморфты болып келеді: θ арқылы айналу көбейтуге сәйкес келеді e^менθ қосулы Д. сондықтан жатыр SU (1,1) / {± 1}. Бұл топта тривиальды орталық болғандықтан, орталығы G_Д. маңызды емес.^[29]

Іс жүзінде кез-келген үлкен ықшам кіші топ қиылысады A_Д. тривиальды емес және оның кішігірім шағын топтары жоқ.

Ескертіп қой G_Д. - бұл Lie тобы (төменде қараңыз), сондықтан жоғарыдағы үш тұжырым орындалады G_Д. және Қ_Д. олардың сәйкестендіру компоненттерімен ауыстырылды, яғни олардың бір параметрлі куб топтары құрған ішкі топтар. Максималды ықшам топшаның коньюгацияға дейінгі ерекшелігі келесіден туындайды жалпы дәлел немесе тікелей қолдана отырып классикалық домендер үшін шығаруға болады Сильвестрдің инерция заңы келесі Сугиура (1982).^[30] Мысалы, Эрмициан матрицалары C, бұл дәлелдеуге дейін азаяды U (n× U (n) бірегей максималды ықшам кіші топты конъюгациялауға байланысты U (n,n). Іс жүзінде егер W = Cⁿ ⊕ (0), содан кейін U (n× U (n) кіші тобы болып табылады U (n,n) сақтау W. Ішкі өнім берген гермиттік форманың шектелуі W ішкі өнімді минус (0) ⊕ Cⁿ.Екінші жағынан, егер Қ шағын топшасы болып табылады U (n,n), бар Қ- өзгермейтін ішкі өнім C²ⁿ Haar өлшеміне қатысты кез-келген ішкі өнімді орташаландыру арқылы алынған Қ. Эрмиц формасы өлшемнің екі кіші кеңістігіне ортогональды ыдырауға сәйкес келеді n екеуі де өзгермейтін Қ бірінде позитивті, екіншісінде терісті анықтауыш түрінде. Сильвестрдің инерция заңы бойынша өлшемнің екі кіші кеңістігі берілген n онда Эрмитические формасы позитивті анықталған, біреуін екіншісіне U (n,n). Демек элемент бар ж туралы U (n,n) осылайша оң анықталған ішкі кеңістік беріледі gW. Сонымен gKg⁻¹ жапырақтары W өзгермейтін және gKg⁻¹ ⊆ U (n× U (n).