Кошидің интегралдық формуласы - Cauchys integral formula - Wikipedia

Математикалық талдау → Кешенді талдау
Кешенді талдау
Күрделі сандар
Нақты нөмір Қиял нөмірі Кешенді жазықтық Кешенді конъюгат Бірліктің күрделі нөмірі
Күрделі функциялар
Кешенді функция Аналитикалық функция Холоморфты функция Коши-Риман теңдеулері Ресми қуат қатары
Негізгі теория
Нөлдер мен полюстер Кошидің интегралдық теоремасы Жергілікті қарабайыр Кошидің интегралдық формуласы Орам нөмірі Лоран сериясы Оқшауланған даралық Қалдық теоремасы Конформдық карта Шварц леммасы Гармоникалық функция Лаплас теңдеуі
Геометриялық функциялар теориясы
Адамдар
Августин-Луи Коши Леонхард Эйлер Карл Фридрих Гаусс Жак Хадамар Киёши Ока Бернхард Риман Карл Вейерштрасс
Математика порталы

Математикада, Кошидің интегралдық формуласы, атындағы Августин-Луи Коши, - бұл орталық мәлімдеме кешенді талдау. Бұл а голоморфтық функция дискіде анықталған оның диск шекарасындағы мәндерімен толық анықталады және ол голоморфтық функцияның барлық туындылары үшін интегралды формулаларды ұсынады. Коши формуласы көрсеткендей, күрделі талдау кезінде «дифференциалдау интеграцияға тең»: күрделі дифференциация интеграция сияқты өзін жақсы ұстайды бірыңғай шектер - ұстамайтын нәтиже нақты талдау.

Теорема

Келіңіздер U болуы ішкі жиын туралы күрделі жазықтық C, және жабық дискіні делік Д. ретінде анықталды

${ displaystyle D = { bigl {} z: | z-z_ {0} | leq r { bigr }}}$

толығымен қамтылған U. Келіңіздер f : U → C голоморфты функция болыңыз және рұқсат етіңіз γ болуы шеңбер, бағытталған сағат тіліне қарсы, қалыптастыру шекара туралы Д.. Содан кейін әрқайсысы үшін а ішінде интерьер туралы Д.,

${ displaystyle f (a) = { frac {1} {2 pi i}} oint _ { gamma} { frac {f (z)} {z-a}} , dz. ,}$

Осы тұжырымның дәлелі Коши интегралдық теоремасы және сол теорема сияқты, ол тек қажет етеді f болу күрделі дифференциалданатын. Бастап ${ displaystyle 1 / (z-a)}$ ретінде кеңейтілуі мүмкін қуат сериясы айнымалыда ${ displaystyle a}$:

${ displaystyle { frac {1} {za}} = { frac {1 + { frac {a} {z}} + left ({ frac {a} {z}} right) ^ {2 } + cdots} {z}}}$

- осыдан шығады холоморфты функциялар аналитикалық болып табылады, яғни оларды конвергентті қуат қатарлары ретінде кеңейтуге болады. Соның ішінде f іс жүзінде шексіз дифференциалданады

${ displaystyle f ^ {(n)} (a) = { frac {n!} {2 pi i}} oint _ { gamma} { frac {f (z)} { left (za ) оң) ^ {n + 1}}} , dz.}$

Бұл формула кейде деп аталады Кошидің дифференциалдау формуласы.

Жоғарыда айтылған теореманы жалпылауға болады. Шеңбер γ кез келген жабықпен ауыстырылуы мүмкін түзетілетін қисық жылы U ол бар орам нөмірі туралы а. Сонымен қатар, Коши интегралдық теоремасына келетін болсақ, мұны талап ету жеткілікті f жолмен қоршалған ашық аймақта голоморфты және оның бойында үздіксіз болу жабу.

Шектегі кез-келген үздіксіз функцияны шекара ішінде берілген шекара функциясына сәйкес келетін функция жасау үшін қолдануға болмайтынын ескеріңіз. Мысалы, егер біз функцияны қойсақ f (з) = 1/зүшін анықталған |з| = 1, Коши интегралдық формуласына шеңбердің ішіндегі барлық нүктелер үшін нөл аламыз. Шын мәнінде, функцияны анықтау үшін голоморфты функцияның шекарасында тек нақты бөлігін беру жеткілікті дейін ойдан шығарылған тұрақты - шекарада константаны қосқанға дейін берілген нақты бөлікке сәйкес келетін бір ғана қиял бөлігі бар. Біз а тіркесімін қолдана аламыз Мобиустың өзгеруі және Stieltjes инверсия формуласы шекарасында нақты бөлігінен голоморфты функциясын құру. Мысалы, функция f (з) = мен − из нақты бөлігі бар Қайта f (з) = Им з. Мұны блок шеңберіне жазуға болады мен/з − из/2. Мобиус түрлендіруін және Стильтес формуласын пайдаланып, шеңбер ішіндегі функцияны құрамыз. The мен/з термин ешқандай үлес салмайды, ал біз функцияны табамыз −из. Бұл шекарада дұрыс нақты бөлік бар, сонымен қатар бізге сәйкес елестету бөлігін береді, бірақ тұрақты, яғни тұрақты мен.

Дәлелді эскиз

Көмегімен Коши интегралдық теоремасы, интеграл аяқталғанын көрсетуге болады C (немесе жабық түзетілетін қисық) айналасындағы ерікті түрде кішкене шеңбер бойынша алынған бірдей интегралға тең а. Бастап f (з) үздіксіз, біз оған шеңберді таңдай аламыз f (з) ерікті түрде жақын f (а). Екінші жағынан, интеграл

${ displaystyle oint _ {C} { frac {1} {z-a}} , dz = 2 pi i,}$

кез-келген шеңбердің үстінде C ортасында а. Мұны тікелей параметрлеу арқылы есептеуге болады (алмастыру арқылы интеграциялау ) з(т) = а + .e^бұл қайда 0 ≤ т ≤ 2π және ε - шеңбердің радиусы.

Рұқсат ету ε → 0 қажетті бағаны береді

${ displaystyle { begin {aligned} left | { frac {1} {2 pi i}} oint _ {C} { frac {f (z)} {za}} , dz-f ( a) right | & = left | { frac {1} {2 pi i}} oint _ {C} { frac {f (z) -f (a)} {za}} , dz right | [. 5em] & = left | { frac {1} {2 pi i}} int _ {0} ^ {2 pi} left ({ frac {f { bigl (} z (t) { bigr)} - f (a)} { varepsilon e ^ {it}}} cdot varepsilon e ^ {it} i right) , dt right | & leq { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} { frac {| f { bigl (} z (t) { bigr)} - f (a) |} { varepsilon}} , varepsilon , dt [. 5em] & leq max _ {| za | = varepsilon} | f (z) -f (a) | { xrightarrow [{ varepsilon to 0}] {}} 0. end {aligned}}}$

Мысал

Функцияның нақты бөлігінің беткі қабаты ж(з) = з²/з² + 2з + 2 және мәтінде сипатталған контурымен оның ерекшеліктері.

Келіңіздер

${ displaystyle g (z) = { frac {z ^ {2}} {z ^ {2} + 2z + 2}},}$

және рұқсат етіңіз C сипатталған контур болуы керек |з| = 2 (радиустың шеңбері 2).

Интегралын табу ж(з) контурдың айналасында C, -ның ерекшелігін білуіміз керек ж(з). Біз қайта жаза аламыз ж келесідей:

${ displaystyle g (z) = { frac {z ^ {2}} {(z-z_ {1}) (z-z_ {2})}}}$

қайда з₁ = −1 + мен және з₂ = −1 − мен.

Осылайша, ж полюстері бар з₁ және з₂. The модульдер осы нүктелердің 2-ден азы және контурдың ішінде орналасады. Бұл интегралды екі кіші интегралға бөлуге болады Коши-Гурсат теоремасы; яғни контур айналасындағы интегралды айналадағы интегралдың қосындысы ретінде көрсете аламыз з₁ және з₂ мұндағы контур - әр полюстің айналасындағы шағын шеңбер. Осы контурларға қоңырау шалыңыз C₁ айналасында з₁ және C₂ айналасында з₂.

Енді осы кіші интегралдардың әрқайсысын Коши интегралының формуласымен шешуге болады, бірақ теореманы қолдану үшін алдымен оларды қайта жазу керек. Айналадағы интеграл үшін C₁, анықтаңыз f₁ сияқты f₁(з) = (з − з₁)ж(з). Бұл аналитикалық (өйткені контурда басқа сингулярлық жоқ). Біз жеңілдете аламыз f₁ болу:

${ displaystyle f_ {1} (z) = { frac {z ^ {2}} {z-z_ {2}}}}$

және қазір

${ displaystyle g (z) = { frac {f_ {1} (z)} {z-z_ {1}}}.}$

Коши интегралдық теоремасы былай дейді:

${ displaystyle oint _ {C} { frac {f_ {1} (z)} {z-a}} , dz = 2 pi i cdot f_ {1} (a),}$

біз интегралды келесідей бағалай аламыз:

${ displaystyle oint _ {C_ {1}} g (z) , dz = oint _ {C_ {1}} { frac {f_ {1} (z)} {z-z_ {1}}} , dz = 2 pi i { frac {z_ {1} ^ {2}} {z_ {1} -z_ {2}}}.}$

Басқа контур үшін де осылай жасау:

${ displaystyle f_ {2} (z) = { frac {z ^ {2}} {z-z_ {1}}},}$

біз бағалаймыз

${ displaystyle oint _ {C_ {2}} g (z) , dz = oint _ {C_ {2}} { frac {f_ {2} (z)} {z-z_ {2}}} , dz = 2 pi i { frac {z_ {2} ^ {2}} {z_ {2} -z_ {1}}}.}$

Бастапқы контур айналасындағы интеграл C онда бұл екі интегралдың қосындысы:

${ displaystyle { begin {aligned} oint _ {C} g (z) , dz & {} = oint _ {C_ {1}} g (z) , dz + oint _ {C_ {2}} g (z) , dz [. 5em] & {} = 2 pi i left ({ frac {z_ {1} ^ {2}} {z_ {1} -z_ {2}}} + { frac {z_ {2} ^ {2}} {z_ {2} -z_ {1}}} right) [. 5em] & {} = 2 pi i (-2) [. 3em] & {} = - 4 pi i. End {aligned}}}$

Бастапқы трюк бөлшек бөлшектің ыдырауы:

${ displaystyle oint _ {C} g (z) , dz = oint _ {C} left (1 - { frac {1} {z-z_ {1}}} - { frac {1} {z-z_ {2}}} оң) , dz = 0-2 pi i-2 pi i = -4 pi i}$

Салдары

Интегралдық формула кең қолданыста болады. Біріншіден, бұл жиынтықта гомоморфты болатын функция шын мәнінде болатындығын білдіреді шексіз дифференциалданатын Ана жерде. Сонымен қатар, бұл аналитикалық функция, оны а түрінде ұсынуға болатындығын білдіреді қуат сериясы. Мұның дәлелі ретінде конвергенция теоремасы және геометриялық қатарлар қатысты

${ displaystyle f ( zeta) = { frac {1} {2 pi i}} int _ {C} { frac {f (z)} {z- zeta}} , dz.}$

Формуласы дәлелдеу үшін де қолданылады қалдық теоремасы, бұл нәтиже мероморфты функциялар және соған байланысты нәтиже аргумент принципі. Бұл белгілі Морера теоремасы холоморфты функциялардың біркелкі шегі холоморфты болатындығы. Мұны Кошидің интегралдық формуласынан шығаруға болады: шынымен де формула шегінде және интегралында болады, демек, интегралды дәрежелік қатарға кеңейтуге болады. Сонымен қатар, жоғары ретті туындыларға арналған Коши формулалары барлық осы туындылардың біркелкі жинақталатындығын көрсетеді.

Нақты анализдегі Коши интегралды формуласының аналогы болып табылады Пуассонның интегралдық формуласы үшін гармоникалық функциялар; голоморфты функциялардың көптеген нәтижелері осы параметрге ауысады. Алайда мұндай нәтижелер дифференциалданатын немесе нақты аналитикалық функциялардың жалпы кластары үшін жарамсыз. Мысалы, нақты функцияның бірінші туындысының болуы жоғары ретті туындылардың болуын, сонымен қатар функцияның аналитикалығын қажет етпейді. Сол сияқты, (нақты) дифференциалданатын функциялар тізбегінің бірыңғай шегі дифференциалданбайды, немесе дифференциалдануы мүмкін, бірақ реттік мүшелерінің туындыларының шегі емес туындымен.

Тағы бір нәтиже - егер f (з) = ∑ а_n зⁿ голоморфты |з| < R және 0 < р < R содан кейін коэффициенттер а_n қанағаттандыру Кошидің теңсіздігі^[1]

${ displaystyle | a_ {n} | leq r ^ {- n} sup _ {| z | = r} | f (z) |.}$

Коши теңсіздігінен, барлық шектелген бүкіл функция тұрақты болуы керек деген тұжырым оңай шығады (яғни Лиувилл теоремасы ).

Жалпылау

Тегіс функциялар

Кошидің интегралдық формуласының нұсқасы - Коши–Помпеу формула,^[2] үшін ұстайды тегіс функциялар сонымен қатар, оған негізделген Стокс теоремасы. Келіңіздер Д. диск болу C және солай делік f күрделі болып табылады C¹ функциясы жабу туралы Д.. Содан кейін^[3] (Хормандер 1966, Теорема 1.2.1)

${ displaystyle f ( zeta) = { frac {1} {2 pi i}} int _ { ішінара D} { frac {f (z) , dz} {z- zeta}} - { frac {1} { pi}} iint _ {D} { frac { ішінара f} { жартылай { бар {z}}}} (z) { frac {dx сына dy} { z- zeta}}.}$

Біртекті емес мәселені шешу үшін осы ұсыну формуласын қолдануға болады Коши-Риман теңдеулері жылы Д.. Шынында да, егер φ функциясы Д., содан кейін белгілі бір шешім f теңдеуі - қолдауынан тыс голоморфты функция μ. Сонымен қатар, егер ашық жиынтықта болса Д.,

${ displaystyle d mu = { frac {1} {2 pi i}} varphi , dz wedge d { bar {z}}}$

кейбіреулер үшін φ ∈ C^к(Д.) (қайда к ≥ 1), содан кейін f (ζ, ζ) сонымен қатар C^к(Д.) және теңдеуді қанағаттандырады

${ displaystyle { frac { жарым-жартылай f} { жартылай { бар {z}}}} = varphi (z, { bar {z}}).$

Бірінші қорытынды, қысқаша, конволюция μ ∗ к(з) бар ықшам қолдау көрсетілетін шараның Коши ядросы

${ displaystyle k (z) = operatorname {p.v.} { frac {1} {z}}}$

қолдауынан тыс голоморфты функция болып табылады μ. Мұнда p.v. дегенді білдіреді негізгі құндылық. Екінші тұжырым Коши ядросы а іргелі шешім Коши-Риман теңдеулерінің Біркелкі күрделі функциялар үшін екенін ескеріңіз f ықшам қолдау C жалпыланған Коши интегралды формуласы жеңілдетеді

${ displaystyle f ( zeta) = { frac {1} {2 pi i}} iint { frac { ішінара f} { жартылай { бар {z}}}} { frac {dz сына d { бар {z}}} {z- zeta}},}$

және ретінде қарастырылған фактіні қайта қарау болып табылады тарату, (πз)⁻¹ Бұл іргелі шешім туралы Коши-Риман операторы ∂/∂z̄.^[4] Жалпыланған Коши интегралды формуласын кез келген шектелген ашық аймақ үшін шығаруға болады X бірге C¹ шекара ∂X осы нәтижеден және формуласынан үлестірмелі туынды туралы сипаттамалық функция χ_X туралы X:

${ displaystyle { frac { жарым-жартылай chi _ {X}} { жартылай { бар {z}}}} = { frac {i} {2}} oint _ { жартылай X} , dz ,}$

мұндағы оң жақтағы үлестіруді білдіреді контурлық интеграция бойымен ∂X.^[5]

Бірнеше айнымалылар

Жылы бірнеше күрделі айнымалылар, Коши интегралды формуласын жалпылауға болады полидискілер (Хормандер 1966, Теорема 2.2.1). Келіңіздер Д. ретінде берілген полидиск болыңыз Декарттық өнім туралы n ашық дискілер Д.₁, ..., Д._n:

${ displaystyle D = prod _ {i = 1} ^ {n} D_ {i}.}$

Айталық f ішіндегі голоморфтық функция болып табылады Д. жабылуында үздіксіз Д.. Содан кейін

${ displaystyle f ( zeta) = { frac {1} { left (2 pi i right) ^ {n}}} int cdots iint _ { ішінара D_ {1} times cdots times ішінара D_ {n}} { frac {f (z_ {1}, ldots, z_ {n})} {(z_ {1} - zeta _ {1}) cdots (z_ {n} - zeta _ {n})}} , dz_ {1} cdots dz_ {n}}$

қайда ζ = (ζ₁,...,ζ_n) ∈ Д..

Нақты алгебраларда

Коши интегралды формуласы екі немесе одан да көп өлшемді нақты векторлық кеңістіктер үшін жалпылама болып табылады. Бұл қасиет туралы түсінік пайда болады геометриялық алгебра, мұнда скаляр мен вектордан тыс объектілер (мысалы, жазықтық) бисвекторлар және көлемдік тривекторлар ) қарастырылады және дұрыс қорыту Стокс теоремасы.

Геометриялық есептеу туынды операторды анықтайды ∇ = ê_мен ∂_мен оның геометриялық көбейтіндісі астында - яғни к-векторлық өріс ψ(р→), туынды ∇ψ негізінен баға шарттарын қамтиды к + 1 және к − 1. Мысалы, векторлық өріс (к = 1) көбінесе оның туындысында скаляр бөлігі бар алшақтық (к = 0), және бисвекторлық бөлігі, бұйралау (к = 2). Бұл нақты туынды операторында a бар Жасыл функция:

${ displaystyle G сол жақ ({ vec {r}}, { vec {r}} ' оң) = { frac {1} {S_ {n}}} { frac {{ vec {r} } - { vec {r}} '} { сол | { vec {r}} - { vec {r}}' оң | ^ {n}}}}$

қайда S_n - бұл қондырғының беткі ауданы n-доп кеңістікте (яғни, S₂ = 2π, радиусы 1, және шеңбердің шеңбері S₃ = 4π, радиусы 1) шардың бетінің ауданы. Жасыл функцияның анықтамасы бойынша,

${ displaystyle nabla G сол жақ ({ vec {r}}, { vec {r}} ' оң) = delta сол ({ vec {r}} - { vec {r}} « оң).}$

Дәл осы пайдалы қасиетті жалпыланған Стокс теоремасымен бірге қолдануға болады:

${ displaystyle oint _ { ішінара V} d { vec {S}} ; f ({ vec {r}}) = int _ {V} d { vec {V}} ; nabla f ({ vec {r}})}$

қайда, үшін n- өлшемді векторлық кеңістік, d S→ болып табылады (n − 1)-вектор және d V→ болып табылады n-вектор. Функция f (р→) негізінен кез-келген мультивекторлардың тіркесімінен тұруы мүмкін. Кошидің үлкен өлшемді кеңістіктерге арналған интегралдық теоремасының дәлелі мөлшерге қатысты жалпыланған Стокс теоремасын қолдануға негізделген G(р→, р→′) f (р→′) және өнім ережесін пайдалану:

${ displaystyle oint _ { ішінара V '} G сол жақ ({ vec {r}}, { vec {r}}' оң) ; d { vec {S}} '; f солға ({ vec {r}} ' оңға) = int _ {V} солға ( сол жақта [ nabla' G солға ({ vec {r}}, { vec {r}} ' оң) оң] f сол ({ vec {r}} ' оң) + G сол ({ vec {r}}, { vec {r}}' оң) nabla 'f сол ({ vec {r}} ' right) right) ; d { vec {V}}}$

Қашан ∇ f→ = 0, f (р→) а деп аталады моногендік функция, голоморфты функцияларды жоғары өлшемді кеңістіктерге жалпылау - шынымен де, Коши-Риман шарты тек моногендік шарттың екі өлшемді өрнегі екенін көрсетуге болады. Бұл шарт орындалған кезде оң жақтағы интегралдағы екінші мүше жоғалады, тек қалады

${ displaystyle oint _ { ішінара V '} G сол жақ ({ vec {r}}, { vec {r}}' оң) ; d { vec {S}} '; f солға ({ vec {r}} ' оңға) = int _ {V} солға [ nabla' G солға ({ vec {r}}, { vec {r}} ' оңға) оң жақ] f сол ({ vec {r}} ' оң) = - int _ {V} delta сол ({ vec {r}} - { vec {r}}' оң) f солға ({ vec {r}} ' оңға) ; d { vec {V}} = - i_ {n} f ({ vec {r}})}$

қайда мен_n бұл алгебраның бірлігі n- вектор, псевдоскалар. Нәтиже

${ displaystyle f ({ vec {r}}) = - { frac {1} {i_ {n}}} oint _ { ішінара V} G сол ({ vec {r}}, { vec {r}} ' right) ; d { vec {S}} ; f left ({ vec {r}}' right) = - { frac {1} {i_ {n}} } oint _ { ішінара V} { frac {{ vec {r}} - { vec {r}} '} {S_ {n} left | { vec {r}} - { vec { r}} ' оң | ^ {n}}} ; d { vec {S}} ; f сол ({ vec {r}}' оң) ,}$

Сонымен, екі өлшемді (күрделі талдау) жағдайдағыдай, аналитикалық (моногендік) функцияның нүктедегі мәнін нүктені қоршап тұрған беттің үстіндегі интеграл арқылы табуға болады және бұл тек скаляр функциялар үшін ғана емес, вектор үшін де жарамды. және жалпы көпвекторлы функциялар.

Сондай-ақ қараңыз

• Коши-Риман теңдеулері
• Контурды интеграциялау әдістері
• Начбин теоремасы
• Морера теоремасы
• Миттаг-Леффлер теоремасы
• Жасыл функция бұл идеяны сызықтық емес орнатуға дейін жалпылайды
• Шварцтың интегралдық формуласы
• Парсеваль-Гуцмер формуласы
• Бохнер - Мартинелли формуласы

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Ахлфорс, Ларс (1979). Кешенді талдау (3-ші басылым). McGraw Hill. ISBN  978-0-07-000657-7..
• Помпеу, Д. (1905). «Sur la continuité des fonctions de айнымалы кешендер» (PDF). Тулузадағы ғылымдар факультеті, сериялар 2. 7 (3): 265–315.
• Titchmarsh, E. C. (1939). Функциялар теориясы (2-ші басылым). Оксфорд университетінің баспасы.
• Хормандер, Ларс (1966). Бірнеше айнымалылардағы кешенді талдауға кіріспе. Ван Ностран.
• Хормандер, Ларс (1983). Сызықтық ішінара дифференциалдық операторларды талдау I. Спрингер. ISBN  3-540-12104-8.
• Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2003). Физиктерге арналған геометриялық алгебра. Кембридж университетінің баспасы. ISBN  978-0-521-71595-9.

Сыртқы сілтемелер

• «Коши интеграл», Математика энциклопедиясы, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Коши интегралды формуласы». MathWorld.