Миттаг-Леффлерс теоремасы - Mittag-Lefflers theorem - Wikipedia

Жылы кешенді талдау, Миттаг-Леффлер теоремасы болуына қатысты мероморфты функциялар тағайындалған тіректер. Керісінше, оны кез-келген мероморфты функцияны қосынды түрінде өрнектеу үшін пайдалануға болады ішінара бөлшектер. Бұл қарындас Вейерштрасс факторизациясы теоремасы, бар екенін дәлелдейді голоморфты функциялар тағайындалған нөлдер. Оған байланысты Gösta Mittag-Leffler.

Теорема

Келіңіздер ${ displaystyle D}$ болуы ашық жиынтық жылы ${ displaystyle mathbb {C}}$ және ${ displaystyle E ішкі жиын D}$ а жабық дискретті ішкі жиын. Әрқайсысы үшін ${ displaystyle a}$ жылы ${ displaystyle E}$, рұқсат етіңіз ${ displaystyle p_ {a} (z)}$ in көпмүшесі бол ${ displaystyle 1 / (z-a)}$. Мероморфты функция бар ${ displaystyle f}$ қосулы ${ displaystyle D}$ әрқайсысы үшін ${ displaystyle a in E}$, функциясы ${ displaystyle f (z) -p_ {a} (z)}$ тек а алынбалы сингулярлық кезінде ${ displaystyle a}$. Атап айтқанда, негізгі бөлім туралы ${ displaystyle f}$ кезінде ${ displaystyle a}$ болып табылады ${ displaystyle p_ {a} (z)}$.

Дәлелдеудің бір ықтималды схемасы келесідей. Егер ${ displaystyle E}$ шектеулі, қабылдау жеткілікті ${ displaystyle f (z) = sum _ {a in E} p_ {a} (z)}$. Егер ${ displaystyle E}$ ақырлы емес, ақырғы қосындысын қарастырыңыз ${ displaystyle S_ {F} (z) = sum _ {a in F} p_ {a} (z)}$ қайда ${ displaystyle F}$ шекті жиынтығы болып табылады ${ displaystyle E}$. Әзірге ${ displaystyle S_ {F} (z)}$ ретінде жақындамауы мүмкін F тәсілдер E, сыртында полюстері бар дұрыс таңдалған рационалды функцияларды азайтуға болады Д. (ұсынған Рунге теоремасы ) -ның негізгі бөліктерін өзгертпестен ${ displaystyle S_ {F} (z)}$ және конвергенцияға кепілдік беретін тәсілмен.

Мысал

Біз қарапайым полюстері бар мероморфты функцияны қалаймыз дейік қалдық Натурал сандар 1-де. Жоғарыдағыдай белгімен, рұқсат

${ displaystyle p_ {k} = { frac {1} {z-k}}}$

және ${ displaystyle E = mathbb {Z} ^ {+}}$, Миттаг-Леффлер теоремасы (конструктивті емес) мероморфты функцияның бар екендігін дәлелдейді ${ displaystyle f}$ негізгі бөлігімен ${ displaystyle p_ {k} (z)}$ кезінде ${ displaystyle z = k}$ әрбір оң сан үшін ${ displaystyle k}$. Бұл ${ displaystyle f}$ қажетті қасиеттерге ие. Біз неғұрлым конструктивті түрде жол бере аламыз

${ displaystyle f (z) = z sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k (z-k)}}}$.

Бұл серия қалыпты түрде жақындайды қосулы ${ displaystyle mathbb {C}}$ (көмегімен көрсетілгендей M-тесті ) қажетті қасиеттері бар мероморфты функцияға.

Мероморфты функциялардың полюстегі кеңеюі

Міне, мероморфты функциялардың полюстерді кеңейту мысалдары:

${ displaystyle tan (z) = sum limit _ {n = 0} ^ { infty} { dfrac {8z} {(2n + 1) ^ {2} pi ^ {2} -4z ^ { 2}}}}$

${ displaystyle csc (z) = sum _ {n in mathbb {Z}} { frac {(-1) ^ {n}} {zn pi}} = { frac {1} {z }} + 2z sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {1} {z ^ {2} - (n , pi) ^ {2}} }}$

${ displaystyle sec (z) equiv - csc left (z - { frac { pi} {2}} right) = sum _ {n in mathbb {Z}} { frac { (-1) ^ {n-1}} {z- сол жақ (n + { frac {1} {2}} оң) pi}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} (2n + 1) pi} {(n + { frac {1} {2}}) ^ {2} pi ^ {2} -z ^ {2}} }}$

${ displaystyle cot (z) equiv { frac { cos (z)} { sin (z)}} = sum _ {n in mathbb {Z}} { frac {1} {zn pi}} = { frac {1} {z}} + 2z sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {z ^ {2} - (k , pi) ^ {2}}}}$

${ displaystyle csc ^ {2} (z) = sum _ {n in mathbb {Z}} { frac {1} {(z-n , pi) ^ {2}}}}$

${ displaystyle sec ^ {2} (z) = { dfrac {d} {dz}} tan (z) = sum limit _ {n = 0} ^ { infty} { dfrac {8 ( (2n + 1) ^ {2} pi ^ {2} + 4z ^ {2})}} ((2n + 1) ^ {2} pi ^ {2} -4z ^ {2}) ^ {2 }}}}$

${ displaystyle { frac {1} {z sin (z)}} = { frac {1} {z ^ {2}}} + sum _ {n neq 0} { frac {(-1 ) ^ {n}} { pi n (z- pi n)}} = { frac {1} {z ^ {2}}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} {( -1) ^ {n}} { frac {2} {z ^ {2} - (n , pi) ^ {2}}}}$

Сондай-ақ қараңыз

• Риман-Рох теоремасы
• Лиувилл теоремасы
• Миттаг-Леффлер жағдайы кері шекті
• Миттаг-Леффлер қорытындысы
• Mittag-Leffler функциясы

Әдебиеттер тізімі

Бұл мақалада а қолданылған әдебиеттер тізімі, байланысты оқу немесе сыртқы сілтемелер, бірақ оның көздері түсініксіз болып қалады, өйткені ол жетіспейді кірістірілген дәйексөздер. Көмектесіңізші жақсарту осы мақала таныстыру дәлірек дәйексөздер. (Қыркүйек 2015) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

• Ахлфорс, Ларс (1953), Кешенді талдау (3-ші басылым), McGraw Hill (1979 жылы жарияланған), ISBN  0-07-000657-1.
• Конвей, Джон Б. (1978), Бір кешенді айнымалы функциялары I (2-ші басылым), Springer-Verlag, ISBN  0-387-90328-3.

Сыртқы сілтемелер

• «Миттаг-Леффлер теоремасы», Математика энциклопедиясы, EMS Press, 2001 [1994]
• «Миттаг-Леффлер теоремасы». PlanetMath.