Сфералық геометрия - Spherical geometry

Сферада үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180 ° -қа тең емес. Сфера - бұл эвклид кеңістігі емес, бірақ жергілікті жерде эвклид геометриясының заңдары жақсы жуықтаулар болып табылады. Жер бетіндегі кішкентай үшбұрышта бұрыштардың қосындысы 180 градустан сәл ғана асады. Сфераның бетін екі өлшемді карталар жиынтығымен ұсынуға болады. Сондықтан бұл екі өлшемді көпжақты.
Үшбұрышы бар шар.

Сфералық геометрия болып табылады геометрия екініңөлшемді а сфера. Бұл а Евклидтік емес геометрия. Сфералық геометрия принциптерінің екі практикалық қолданылуы болып табылады навигация және астрономия.

Шолу

Жылы жазықтық (эвклид) геометриясы, негізгі ұғымдар болып табылады ұпай және (тікелей) сызықтар. Сферада нүктелер әдеттегі мағынада анықталады. Түзулердің эквиваленттері евклидтік геометрияда әдеттегі «түзу сызық» мағынасында емес, «нүктелер арасындағы ең қысқа жолдар» мағынасында анықталады, оларды геодезия. Сферада геодезия болып табылады үлкен үйірмелер; басқа геометриялық ұғымдар жазық геометриядағыдай анықталады, бірақ үлкен шеңберлермен ауыстырылған түзу сызықтармен. Сонымен, сфералық геометрияда, бұрыштар үлкен шеңберлер арасында анықталады, нәтижесінде а сфералық тригонометрия бұл қарапайымдан ерекшеленеді тригонометрия көп жағынан; мысалы, а-ның ішкі бұрыштарының қосындысы үшбұрыш 180 градустан асады.

Сфералық геометрия - бұл емес эллиптикалық геометрия, бірақ бұл а ішкі жиын эллиптикалық геометрия. Мысалы, ол берілген геометриямен түзудің берілген нүкте арқылы параллель болмайтын қасиетін бөліседі. Мұны салыстырыңыз Евклидтік геометрия, онда түзудің берілген нүкте арқылы бір параллелі болады және гиперболалық геометрия, онда түзудің екі параллелі және берілген нүкте арқылы ультра параллельдердің шексіз саны болады.

Шар геометриясымен байланысты маңызды геометрия нақты проективті жазықтық; ол сәйкестендіру арқылы алынады антиподальды нүктелер (қарама-қарсы нүктелер жұбы) сферада. Жергілікті жерде проекциялық жазықтық сфералық геометрияның барлық қасиеттеріне ие, бірақ оның глобалды қасиеттері әртүрлі. Атап айтқанда, бұл бағдарлы емес немесе бір жақты.

Сфералық геометрия туралы түсініктерді де қолдануға болады созылған сфера дегенмен, кішігірім модификацияларды белгілі бір формулалар бойынша енгізу керек.

Жоғары өлшемді сфералық геометриялар бар; қараңыз эллиптикалық геометрия.

Тарих

Грек ежелгі дәуірі

Антикалық дәуірдің біздің заманымызға дейін жеткен алғашқы математикалық жұмысы Айналмалы сферада (Περὶ κινουμένης σφαίρας, Peri kinoumenes sphairas) арқылы Pitane автоликусы, біздің дәуірімізге дейінгі төртінші ғасырдың соңында өмір сүрген.[1]

Сфералық тригонометрия ерте зерттелген Грек математиктері сияқты Битинияның Теодосийі, жазған грек астрономы және математигі Сферика, сфераның геометриясы туралы кітап,[2] және Александрия Менелай, деп аталатын сфералық тригонометрия туралы кітап жазған Сферика және дамыған Менелай теоремасы.[3][4]

Ислам әлемі

Сфераның белгісіз доғалары туралы кітап ислам математигі жазған Әл-Джаяни сфералық тригонометрия туралы алғашқы трактат болып саналады. Кітапта оң жақ үшбұрыштардың формулалары, синустардың жалпы заңы және сфералық үшбұрыштың поляр үшбұрыш арқылы шешімі келтірілген.[5]

Кітап Үшбұрыштарда арқылы Региомонтанус, шамамен 1463 жылы жазылған, бұл Еуропадағы алғашқы таза тригонометриялық шығарма. Алайда, Героламо Кардано ғасырдан кейін оның сфералық тригонометрия туралы материалдарының көп бөлігі XII ғасырдағы жұмысынан алынғанын атап өтті. Андалуси ғалым Джабир ибн Афлах.[6]

Эйлер жұмысы

Леонхард Эйлер сфералық геометрия туралы маңызды естеліктер сериясын жариялады:

  • Л. Эйлер, Берлиннің МеМоирес де Л'Академия Дес Ғылымдар Берлин 9 (1753), 1755, с. 233–257; Омния операсы, 1 серия, т. XXVII, б. 277–308.
  • Л. Эйлер, Eléments de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1754), 1755, б. 258–293; Омния операсы, 1 серия, т. XXVII, б. 309–339.
  • L. Euler, De curva rectificabili in superficie sphaerica, Novi Commentarii akademiae Scientificiarum Petropolitanae 15, 1771, 195–216 бб .; Омния операсы, 1 серия, 28 том, 142–160 бб.
  • Л. Эйлер, De mensura angulorum solidorum, Acta academiae Scientificiarum imperialis Petropolitinae 2, 1781, б. 31-54; Омния операсы, 1 серия, т. XXVI, б. 204–223.
  • Л. Эйлер, Problematis cuiusdam Pappi Alexandrini constructio, Acta Academiae Scientificiarum imperialis Petropolitinae 4, 1783, б. 91–96; Омния операсы, 1 серия, т. XXVI, б. 237–242.
  • Л. Эйлер, Geometrica et sphaerica quaedam, Mémoires de l'Académie des Sciences de Saint-Pétesbourg 5, 1815, p. 96–114; Омния операсы, 1 серия, т. XXVI, б. 344–358.
  • Л. Эйлер, Trigonometria sphaerica universa, ex primis principiis breviter et dilucide derivata, Acta Academiae Scientificiarum imperialis Petropolitinae 3, 1782, б. 72–86; Омния операсы, 1 серия, т. XXVI, б. 224–236.
  • Л.Эйлер, Variae алыпсатарлықтар super area triangulorum sphaericorum, Nova Acta Academiae Scientificiarum imperialis Petropolitinae 10, 1797, б. 47-62; Омния операсы, 1 серия, т. XXIX, б. 253–266.

Қасиеттері

Сфераның нүктелері ретінде анықталған нүктелермен және сол шардың үлкен шеңберлері ретінде сфералық геометрия келесі қасиеттерге ие:[7]

  • Кез-келген екі түзу деп аталатын диаметрлі қарама-қарсы екі нүктеде қиылысады антиподальды нүктелер.
  • Антиподальды емес кез-келген екі нүкте ерекше сызықты анықтайды.
  • Бұрыш өлшеудің табиғи бірлігі (төңкеріске негізделген), ұзындықтың табиғи бірлігі (үлкен шеңбердің шеңберіне негізделген) және табиғи аудан бірлігі (сфераның ауданына негізделген) бар.
  • Әрбір жол антиподальды нүктелер жұбымен байланысты, деп аталады тіректер берілген түзуге перпендикуляр түзулер жиынтығының ортақ қиылыстары болып табылатын түзудің.
  • Әрбір нүкте ерекше деп аталатын сызықпен байланысты полярлық сызық шардың центрі арқылы өтетін және берілген нүкте арқылы шардың диаметріне перпендикуляр болатын жазықтықтағы түзу болып табылатын нүктенің.

Екі доға болғандықтан (сызық сегменттері) олар анықтайтын түзуде антиподальды емес жұп нүктелермен анықталады, үш сызықты емес нүктелер бірегей үшбұрышты анықтамайды. Алайда, егер қабырғалары үлкен шеңберлердің кіші доғалары болатын үшбұрыштарды ғана қарастыратын болсақ, онда бізде келесі қасиеттер бар:

  • Үшбұрыштың бұрыштық қосындысы 180 ° -тан үлкен және 540 ° -тан аз.
  • Үшбұрыштың ауданы оның бұрыштық қосындысының 180 ° -тан асуына пропорционалды.
  • Бұрыш қосындысы бірдей екі үшбұрыштың ауданы тең.
  • Үшбұрыштардың ауданы үшін жоғарғы шекара бар.
  • Екі (ортогоналды) сызықтық шағылыстың құрамы (көбейтіндісі) олардың осьтерінің қиылысу нүктелерінің кез-келгеніне айналу ретінде қарастырылуы мүмкін.
  • Екі үшбұрыш сызықты шағылыстың ақырлы көбейтіндісімен сәйкес келген жағдайда ғана сәйкес келеді.
  • Сәйкес бұрыштары тең екі үшбұрыш конгруентті болады (яғни барлық ұқсас үшбұрыштар координентті).

Евклидтің постулаттарымен байланысы

Сфералық геометрия екеуіне бағынады Евклидтің постулаттары: екінші постулат («түзу сызықта үздіксіз ақырлы түзу шығару [кеңейту)» және төртінші постулат («барлық тік бұрыштар бір-біріне тең»). Алайда, бұл қалған үшеуін бұзады: бірінші постулаттан айырмашылығы, кез-келген екі нүктенің арасында ең қысқа маршрут жоқ (антиподальды нүктелер мысалы, сфералық глобустағы солтүстік және оңтүстік полюстер қарсы мысалдар болып табылады); үшінші постулатқа қарағанда, сферада үлкен радиустың шеңберлері болмайды; және керісінше бесінші (параллель) постулат, берілген сызықты ешқашан қиып өтпейтін сызық жүргізуге болатын нүкте жоқ.[8]

Параллель постулатаға тең болатын тұжырым, бұрыштары 180 ° -қа дейін қосылатын үшбұрыш бар. Сфералық геометрия параллель постулатты бұзатын болғандықтан, шардың бетінде ондай үшбұрыш жоқ. Шардағы үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180°(1 + 4f), қайда f - бұл үшбұрышпен қоршалған шар бетінің бөлігі. Кез келген оң мәні үшін f, бұл 180 ° -дан асады.

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Розенфельд, Б.А. (1988). Евклидтік емес геометрияның тарихы: геометриялық кеңістік ұғымының эволюциясы. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. б. 2018-04-21 121 2. ISBN  0-387-96458-4.
  2. ^ «Теодозий Битиния - Битиния Теодозийінің сөздік анықтамасы». HighBeam зерттеуі. Алынған 25 наурыз 2015.
  3. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., «Менелай Александрия», MacTutor Математика тарихы мұрағаты, Сент-Эндрюс университеті.
  4. ^ «Менелай Александрия Деректер, ақпарат, суреттер». HighBeam зерттеуі. Алынған 25 наурыз 2015.
  5. ^ Математикалық және есептеу ғылымдары мектебі Сент-Эндрюс университеті
  6. ^ Виктор Дж. Катц-Принстон университетінің баспасы
  7. ^ Мерсерв, 281-282 бет
  8. ^ Говерс, Тимоти, Математика: өте қысқа кіріспе, Oxford University Press, 2002: 94 және 98 беттер.

Әдебиеттер тізімі

Сыртқы сілтемелер