Квартикалық теңдеу - Quartic equation

Жылы математика, а кварталық теңдеу ретінде көрсетілуі мүмкін квартикалық функция нөлге тең. Кварттық теңдеудің жалпы түрі болып табылады

4 дәрежесіндегі көпмүшелік функциясының графигі, оның 4 тамырлар және 3 сыни нүктелер.

қайда а ≠ 0.

The квартикалық - шешуге болатын ең жоғары ретті полиномдық теңдеу радикалдар жалпы жағдайда (яғни коэффициенттер кез-келген мән қабылдай алатын).

Тарих

Лодовико Феррари 1540 жылы квартиканың шешімін табумен байланысты, бірақ бұл шешім квартиканың барлық алгебралық шешімдері сияқты а шешімін қажет етеді текше табу үшін оны бірден жариялау мүмкін болмады.[1] Квартиканың шешімі текшемен бірге Ферраридің тәлімгері жариялады Героламо Кардано кітапта Арс Магна (1545).

Мұндай шешімдерді табуға болатын ең жоғары ретті жалпы көпмүшелік екендігінің дәлелі алдымен Абель-Руффини теоремасы 1824 жылы жоғары ретті полиномдарды шешудің барлық әрекеттері нәтижесіз болатындығын дәлелдеді. Қалдырған жазбалар Эварист Галуа 1832 жылы дуэльде өлгенге дейін кейін талғампаздыққа әкелді толық теория Осы теорема бір нәтиже болған көпмүшеліктердің түбірлерінен. [1]

Қолданбалар

Жоғары дәрежелі полиномдар көбінесе проблемаларға байланысты туындайды оңтайландыру, кейде бұл көпмүшелер квартикаға айналады, бірақ бұл кездейсоқтық.

Квартикалар көбінесе компьютерлік графикада және кезінде пайда болады сәулелік бақылау сияқты беттерге қарсы квадрикалар немесе тори деңгейден тыс келесі деңгей болатын беттер сфера және дамитын беттер.[2]

Квартиканың тағы бір генераторы - екі эллиптің қиылысы.

Жылы компьютерлік өндіріс, торус байланысты жалпы формасы болып табылады соңғы диірмен кескіш. Оның үшбұрышталған бетке қатысты орналасуын есептеу үшін Z осіне көлденең торустың орнын оның бекітілген сызыққа жанасатын жерінен табу керек және бұл үшін жалпы кварталық теңдеуді есептеу керек. CAM жүйесіндегі есептеу уақытының 10% -дан астамын миллиондаған кварттық теңдеулердің шешімін есептеу үшін жұмсауға болады.

Квартиканың әр түрлі аналитикалық шешімдерін көрсететін бағдарлама ұсынылды Графикалық асыл тастар V кітап.[3] Алайда іске асырылған үш алгоритмнің ешқайсысы сөзсіз тұрақты емес, қағаздың жаңартылған нұсқасында[4], бастапқы алгоритмдердің 3-ін және тағы 2-ін салыстырған кезде, есептік тұрақты шешімдердің кварталық коэффициенттердің мүмкін болатын 16 таңбалық тіркесімнің 4-інде ғана болатындығы көрсетілген.

Кварттық теңдеуді шешу

Ерекше жағдайлар

Түрінде көрсетілген кварталық теңдеуді қарастырайық :

Азғындау жағдайы

Егер а4 (тұрақты мүше) = 0, онда түбірлердің бірі х = 0, ал қалған түбірлерді бөлу арқылы табуға болады хжәне нәтижені шешу текше теңдеу,

Айқын тамырлар: 1 және −1 және -к

Біздің квартикалық көпмүшені атаңыз Q(х). Кез келген қуатқа көтерілген 1-ге тең болғандықтан, . Осылайша, егер , Q(1) = 0 және т.б. х = 1 - түбірі Q(х). Оны дәл осылай көрсетуге болады, егер , х = −1 - бұл түбір.

Екі жағдайда да толық квартиканы факторға бөлуге болады (х - 1) немесе (х + 1) сәйкесінше жаңасын береді кубтық көпмүше, оны квартиканың басқа тамырларын табу үшін шешуге болады.

Егер , және , содан кейін х = −к теңдеудің түбірі болып табылады. Толық квартиканы келесі жолмен бөлуге болады:

Егер , және , х = 0 және х = −к екі белгілі тамыр. Q(х) бөлінген х(х + к) квадраттық көпмүше.

Биквадрат теңдеулер

Мұндағы кварттық теңдеу а3 және а1 0-ге тең форманы қабылдайды

және осылайша а биквадрат теңдеу, оны шешу оңай: рұқсат етіңіз , сондықтан біздің теңдеуіміз айналады

бұл қарапайым квадрат теңдеу, оның шешімдері квадраттық формула арқылы оңай табылады:

Біз оны шешкен кезде (яғни осы екеуін таптық) з ), біз бөліп ала аламыз х олардан

Егер екінің бірі болса з шешімдер теріс немесе күрделі сандар болды, содан кейін олардың кейбіреулері х шешімдер - бұл күрделі сандар.

Квазимметриялық теңдеулер

Қадамдар:

1) бөлу х 2.

2) Айнымалы өзгерісті қолданыңыз з = х + м/х.

Жалпы жағдай, Феррари сызығы бойынша

Бастау үшін алдымен квартиканы а-ға айналдыру керек депрессиялық квартика.

Депрессиялық квартикаға айналдыру

Келіңіздер

шешуді қажет ететін жалпы кварталық теңдеу болыңыз. Екі жағын да бөліңіз A,

Бірінші кезекте жою керек х3 мерзім. Ол үшін айнымалыларды өзгертіңіз х дейін сен, осылай

Содан кейін

Биномдардың күшін кеңейту өндіреді

Бірдей күштерді жинау сен өнімділік

Енді коэффициенттерін өзгертіңіз сен. Келіңіздер

Алынған теңдеу

бұл а депрессияланған кварталық теңдеу.

Егер онда бізде биквадрат теңдеу, ол (жоғарыда түсіндірілгендей) оңай шешіледі; кері ауыстыруды қолдана отырып, біз өз құндылықтарымызды таба аламыз .

Егер онда тамырлардың бірі және басқа түбірлерді бөлу арқылы табуға болады және нәтижені шешу депрессияланған куб теңдеуі,

Кері ауыстыруды қолдану арқылы біз өз мәндерімізді таба аламыз .

Ферраридің шешімі

Әйтпесе, депрессиялық квартиканы ашылған әдіс арқылы шешуге болады Лодовико Феррари. Депрессиялық квартиканы алғаннан кейін, келесі қадам жарамды сәйкестендіруді қосу болып табылады

(1) теңдеуге, нәтиже береді

Мұның әсері сен4 терминді а тамаша квадрат: (сен2 + α)2. Екінші мүше, αсен2 жоғалып кетпеді, бірақ оның белгісі өзгеріп, оң жаққа жылжытылды.

Келесі қадам - ​​айнымалыны кірістіру ж (2) теңдеудің сол жағындағы тамаша квадратқа және сәйкес 2-ге теңж коэффициентіне сен2 оң жақта. Осы қосымшаларды орындау үшін (2) теңдеуге келесі жарамды формулалар қосылады,

және

Біріктірілген осы екі формула шығарады

(2) теңдеуге қосылатын шығарады

Бұл барабар

Ендігі мақсат - мәнді таңдау ж (3) теңдеудің оң жағы керемет квадратқа айналатындай етіп. Мұны квадраттық функцияның дискриминантын нөлге айналдыру арқылы жасауға болады. Мұны түсіндіру үшін алдымен керемет квадратты квадраттық функцияға тең болатындай етіп кеңейтіңіз:

Оң жағындағы квадраттық функцияның үш коэффициенті бар. Екінші коэффициентті квадраттап, содан кейін бірінші және үшінші коэффициенттердің төрт еселенген мөлшерін алып тастағанда нөлге тең болатындығын тексеруге болады:

Сондықтан (3) теңдеудің оң жағын мінсіз квадратқа айналдыру үшін келесі теңдеуді шешу керек:

Биномды көпмүшеге көбейт,

Екі жағын −4-ке бөліп, -β2/ 4 оңға,

Бұл текше теңдеу үшін ж. Екі жағын да 2-ге бөліңіз,

Ұяланған кубтың депрессияланған кубқа айналуы

Теңдеу (4) - кварттық теңдеудің ішіне салынған текше теңдеу. Квартиканы шешу үшін оны шешу керек. Кубты шешу үшін алдымен оны ауыстыру арқылы депрессиялық кубқа айналдырыңыз

(4) теңдеуі болады

Биномдардың күшін кеңейтіңіз,

Тарату, сияқты күштерді жинау v, және жұбын алып тастаңыз v2 шарттар,

Бұл депрессияланған текше теңдеу.

Оның коэффициенттерін қалпына келтіріңіз,

Депрессияланған куб тек

Ұяланған депрессиялық текшені шешу

(5) теңдеудің шешімдері (кез-келген шешім орындалады, сондықтан үш күрделі түбірдің кез-келгенін таңдап алыңыз) келесідей есептеледі (қараңыз) Кубтық теңдеу )

қайда

және V екі анықтайтын теңдеу бойынша есептеледі және , сондықтан

Екінші керемет квадратты бүктеу

Үшін мәнімен ж (6) теңдеуімен берілген, енді (3) теңдеудің оң жағы форманың мінсіз квадраты екені белгілі болды

(Бұл квадрат түбірдің екі белгісіне де сәйкес келеді, егер екі квадрат түбірге де бірдей таңба қойылса. A ± артық, өйткені оны осы парақтан әрі қарайғы бірнеше теңдеулер сіңіреді).

оны бүктеуге болатындай етіп:

Ескерту: егер β ≠ 0 α + 2ж If 0. Егер β = 0 болса, бұл біз бұрын шешкен биквадрат теңдеу болар еді.

Сондықтан (3) теңдеу болады

(7) теңдеуде теңдеудің әр жағында бір-бірінен бүктелген тамаша квадраттар жұбы бар. Екі керемет квадрат бір-бірін теңестіреді.

Егер екі квадрат тең болса, онда екі квадраттың қабырғалары да тең болады, көрсетілгендей:

Сияқты күштерді жинау сен өндіреді

Ескерту: индекс с туралы және олардың тәуелді екенін ескеру болып табылады.

(8) теңдеуі - а квадрат теңдеу үшін сен. Оның шешімі мынада

Жеңілдету, біреу алады

Бұл депрессиялық квартиканың шешімі, сондықтан бастапқы кварттық теңдеудің шешімдері болып табылады

Есіңізде болсын: екеуі (7 ') теңдеуінде бір жерден шыққан, екеуінің де белгісі, ал таңбасы бірдей болуы керек тәуелсіз.
Феррари әдісінің қысқаша мазмұны

Кварттық теңдеу берілген

оны келесі есептеулер арқылы табуға болады:

Егер содан кейін

Әйтпесе, жалғастырыңыз

(квадрат түбірдің екі белгісі де болады)

(3 күрделі тамыр бар, олардың кез-келгені жасайды)

Екі ±с бірдей белгіге ие болуы керек, ±т тәуелсіз. Барлық түбірлерді алу үшін есептеңіз х ± үшінст = +, + және + үшін,, және үшін -, + және үшін -, -. Бұл формула қайталанатын тамырларды проблемасыз өңдейді.

Осылардың бірін бірінші болып Феррари ашты лабиринт шешімдер[дәйексөз қажет ]. Ол шешкен теңдеу болды

ол қазірдің өзінде депрессия түрінде болды. Оның жоғарыда көрсетілген формулалар жиынтығынан табуға болатын жұп шешімдері бар.

Ферраридің нақты коэффициенттер жағдайындағы шешімі

Егер кварталық теңдеудің коэффициенттері нақты болса, онда кірістірілген депрессияланған куб теңдеудің де (5) нақты коэффициенттері болады, сондықтан оның кем дегенде бір нақты түбірі болады.

Сонымен қатар кубтық функция

мұндағы P және Q (5) берілген қасиеттерге ие

және

мұндағы α және β (1) -мен берілген.

Бұл дегеніміз (5) -ден үлкен нақты түбір бар , демек, бұл (4) -ден үлкен нақты тамырға ие .

Терминнің осы түбірін қолдану in (8) әрқашан нақты, бұл екі квадрат теңдеудің (8) нақты коэффициенттерге ие болуын қамтамасыз етеді[2].

Баламалы шешімдерді қиын жолмен алу

Мүмкін, біреуі жоғарыдағы жеті формула арқылы бір шешімге қол жеткізуі мүмкін, өйткені төрт белгі үшін барлық төрт белгі үлгілері сыналмайды және алынған шешім күрделі. Сондай-ақ, біреу нақты шешім іздейтін жағдай болуы мүмкін. Келіңіздер х1 күрделі шешімді белгілеңіз. Егер барлық бастапқы коэффициенттер болса A, B, C, Д. және E нақты болып табылады - бұл тек нақты шешімдерді қалаған жағдайда болуы керек - онда тағы бір күрделі шешім бар х2 қайсысы күрделі конъюгат туралы х1. Егер қалған екі түбір ретінде белгіленсе х3 және х4 онда кварталық теңдеуді былай өрнектеуге болады

бірақ бұл кварталық теңдеу екі квадрат теңдеудің көбейтіндісіне тең:

және

Бастап

содан кейін

Келіңіздер

сондықтан (9) теңдеу болады

Сондай-ақ (белгісіз) айнымалылар болсын w және v (10) теңдеуі болатындай

(11) және (12) теңдеулерін көбейтеді

(13) теңдеуді бастапқы кварталық теңдеумен салыстыра отырып, мынаны көруге болады

және

Сондықтан

(12) теңдеуді шешуге болады х өнімді

Осы екі шешімнің бірі қалаған нақты шешім болуы керек.

Альтернативті әдістер

Бірінші қағидалардан тез және есте қаларлық шешім

Кварттық теңдеудің оқулықтағы шешімдерінің көпшілігі сиқырлы ауыстыруды қажет етеді, оны есте сақтау мүмкін емес. Мұнда оған түсінуді жеңілдететін тәсіл бар.

Егер квартикалық теңдеуді екіге көбейтіндісіне айналдырсақ, жұмыс орындалады квадратика. Келіңіздер

Коэффициенттерді теңестіру нәтижесінде келесі синхронды теңдеулер жиынтығы шығады:

Мұны шешу көрінгеннен гөрі қиын, бірақ егер біз а депрессиялық квартика қайда , ауыстыру арқылы алуға болады үшін , содан кейін , және:

Енді екеуін де жою оңай және келесі әрекеттерді орындау арқылы:

Егер біз орнатсақ , онда бұл теңдеу текше теңдеу:

басқа жерде шешіледі. Сізде болғаннан кейін , содан кейін:

Бұл шешімдегі симметрияларды көру оңай. Кубтың үш түбірі бар, ол квартиканы екі квадратқа бөлудің үш тәсіліне сәйкес келеді және оң немесе теріс мәндерін таңдайды квадрат түбірі үшін тек екі квадратты бір-бірімен алмастырады.

Галуа теориясы және факторизация

The симметриялық топ S4 төрт элементте Клейн төрт топтық сияқты қалыпты топша. Бұл тамырларды дискретті Фурье түрлендіруі немесе а деп әр түрлі сипаттауы мүмкін резолвантты қолдануды ұсынады Хадамард матрицасы тамырлардың өзгеруі рмен үшін мен 0-ден 3-ке дейінгі тамырлар

Егер біз қазір орнатсақ

онда түрлендіру ан инволюция, біз тамырларды төрт с арқылы білдіруіміз мүмкінмен дәл осылай. Біз s мәнін білетіндіктен0 = -b / 2, бізге s үшін мәндер ғана қажет1, s2 және s3. Оларды көпмүшені кеңейту арқылы табуға болады

егер бұл жеңілдетілген болжам жасасақ б = 0, тең

Бұл көпмүше алты дәрежеде, бірақ z-да тек үш дәреже2, және сәйкесінше теңдеу шешуге болады. Сынақ арқылы біз қандай үш тамырдың дұрыс екенін анықтай аламыз, сондықтан квартиканың шешімдерін табамыз.

Факторинг үшін бірдей резолютивтік көпмүшенің түбірін қолдану арқылы біз сынақтың кез-келген талабын алып тастай аламыз; егер w (3) -нің кез-келген түбірі болса, және егер

содан кейін

Біз квартиканы w, содан кейін екі фактордың түбірлерін квадраттық формула арқылы шешу арқылы шеше аламыз.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

Ескертулер

  1. ^ Стюарт, Ян, Галуа теориясы, үшінші басылым (Chapman & Hall / CRC Mathematics, 2004)
  2. ^ Карстенсен, Дженс, Толық нұсқа, Бірінші басылым, (1981 ж.), ISBN  87-87454-71-8. (дат тілінде)

Сыртқы сілтемелер