Пентаграмма картасы - Pentagram map

Жылы математика, pentagram картасы дискретті болып табылады динамикалық жүйе үстінде кеңістік туралы көпбұрыштар ішінде проективті жазықтық. The бесбұрыш карта берілген көпбұрышты алады, ең қысқаларының қиылыстарын табады диагональдар және осы қиылыстардан жаңа көпбұрыш салады. Ричард Шварц 1992 жылғы қағазға жалпы көпбұрыштың бес диаграммасын енгізді [1] дегенмен, карта анықталған ерекше жағдай сияқты бесбұрыштар тек 1871 жылғы қағазға оралады Альфред Клебш[2] және 1945 жылғы қағаз Теодор Моцкин.[3] Пентаграмма картасы рухани жағынан астындағы құрылыстарға ұқсас Дезарг теоремасы және Понцелеттің поризмі. Бұл болжамның негіздемесі мен құрылысын қайталайды Бранко Грюнбаум көпбұрыштың диагональдарына қатысты. [4]

Картаның анықтамасы

Негізгі құрылыс

Делік төбелер туралы көпбұрыш P арқылы беріледі Бейнесі P бесбұрыш картасы астында көпбұрыш орналасқан Q төбелерімен суретте көрсетілгендей. Мұнда - диагональдардың қиылысы және , және тағы басқа.

тест

Пентаграмма картасын негізгі деңгейде операция ретінде қарастыруға болады дөңес ішіндегі көпбұрыштар ұшақ. Неғұрлым күрделі көзқарас тұрғысынан, бесбұрыш картасы көпбұрыш үшін анықталған проективті жазықтық астам өріс деген шартпен төбелер жеткілікті жалпы позиция. Пентаграмма картасы маршруттар бірге проективті түрлендірулер және осылайша а картаға түсіру үстінде кеңістік проективті эквиваленттік сыныптар көпбұрыштардан тұрады.

Конвенцияларды жапсыру

Карта индекстері мағынасында аздап проблемалы болып табылады P- индекстер, әрине, тақ сандар, ал индекстері Q- бағандар табиғи түрде тіпті бүтін сандар болып табылады. Таңбалауға әдеттегі тәсіл P және Q шыңдарын бірдей паритеттің бүтін сандарымен белгілеу болар еді. Мұны. Индексінің әрқайсысына 1 қосу немесе азайту арқылы реттеуге болады Q-белгілер. Кез-келген таңдау бірдей канондық болып табылады. Шыңдарын белгілеу одан да әдеттегі таңдау болар еді P және Q қатарынан бүтін сандар бойынша, бірақ тағы да осы белгілерді туралау үшін екі табиғи таңдау бар: Не тек сағат тілімен немесе тек сағат тіліне қарсы. Осы тақырыптағы көптеген құжаттарда қандай-да бір таңдау жұмыстың басында біржола жасалады, содан кейін формулалар сол таңдауға бейімделеді.

Пентаграмма картасының екінші қайталану шыңдарын дәйекті бүтін сандармен белгілеудің табиғи әдісі бар. Осы себептен, бес диаграмма картасының екінші қайталануы табиғи түрде таңбаланған көпбұрыштарда анықталған қайталану ретінде қарастырылады. Суретті қараңыз.

Penta8.svg

Бұралған көпбұрыштар

Пентаграмма картасы бұралған көпбұрыштардың кеңістігінде де анықталған.[5]

Бұралған N-гон - бұл проективті жазықтықтағы нүктелердің екі шексіз реттілігі N-периодтық модуль а проективті түрлендіру Яғни, кейбір проективті трансформация М асырады дейін барлығына к. Карта М деп аталады монодромия бұралған N-болды. Қашан М бұл сәйкестік, бұралған N-гонды қарапайым деп түсіндіруге болады N- шыңдары бірнеше рет тізімделген. Осылайша, бұралған N-gon - қарапайымның жалпылануы N-болды.

Екі бұралған N-гондар эквивалентті болады, егер проективті түрлендіру бірін екіншісіне жеткізсе. Бұралған модульдер кеңістігі N-гондар - бұл бұралудың эквиваленттік кластарының жиынтығы N- гондар. Бұралған кеңістік N-гондар қарапайым кеңістікті қамтиды N-гондар тең өлшемділіктің кіші әртүрлілігі ретінде 8.[5][6]

Элементтік қасиеттер

Бесбұрыш пен алтыбұрышқа әрекет

Пентаграмма картасы - бұл модульдер кеңістігіндегі сәйкестік бесбұрыштар.[1][2][3] Бұл әрқашан бар проективті түрлендіру пентаграмма картасының астында бесбұрышты өз кескініне дейін алып жүру.

Карта бұл таңбаланған кеңістіктегі сәйкестік алты бұрышты.[1] Мұнда Т - жоғарыда сипатталғандай, белгіленген алтыбұрыштарда табиғи түрде жұмыс істейтін бесбұрыш картасының екінші қайталануы. Бұл алтыбұрыштар деген сөз және затбелгісі бар эквивалентті проективті түрлендіру. Дәлірек айтқанда, алтыбұрыштар және проективті эквивалентті, мұндағы алынған алтыбұрыш болып табылады жапсырмаларды 3-ке ауыстыру арқылы. [1] Суретті қараңыз. Бұл факт 19 ғасырда да белгілі болуы әбден мүмкін сияқты.

Penta hexagon.svg

Пентаграмма картасының бесбұрыштар мен алтыбұрыштарға әсер етуі рух жағынан проективті геометриядағы классикалық конфигурация теоремаларына ұқсас. Паскаль теоремасы, Дезарг теоремасы және басқалар. [7]

Экспоненциалды кішірею

Пентаграмма картасының қайталануы кез-келгенге кішірейеді дөңес көпбұрыш экспоненциалды түрде жылдам. [1] Дөңес көпбұрыштың n-ші қайталануының диаметрі -ден кіші болады тұрақтылар үшін және олар бастапқы көпбұрышқа тәуелді. Мұнда біз көпбұрыштардың проективті эквиваленттік кластарының модуль кеңістігіне емес, көпбұрыштардың өзіне геометриялық әсер етеміз.

Пікірталасқа түрткі болады

Бұл бөлім мақаланың қалған бөлігіне техникалық емес шолу жасауға арналған. Пентаграмма картасының мәтінмәні проективті геометрия. Проективті геометрия - бұл біздің көзқарасымыздың геометриясы. Біреуі әйнектің жоғарғы жағына қараған кезде, ол а шеңбер, әдетте анды көреді эллипс. Біреуі а тікбұрышты есік, әдетте төртбұрышты емес көрінеді төртбұрыш. Проективті түрлендірулер бір нысанды әр түрлі көзқараспен қарау кезінде әртүрлі фигуралар арасында түрлендіру. Сондықтан ол ескі тақырыптарда маңызды рөл атқарады перспективалық сурет және жаңа сияқты компьютерлік көру. Проективті геометрия түзудің негізінде салынған түзу кез-келген тұрғыдан түзу сызыққа ұқсайды. Түзу сызықтар тақырып үшін құрылыс материалы болып табылады. Пентаграмма картасы толығымен нүктелер мен түзулер бойынша анықталады. Бұл оны проективті геометрияға бейімдейді. Егер сіз Pentagram картасын басқа көзқараспен қарасаңыз (яғни, сіз ол салынған қағазды еңкейтесіз), онда сіз әлі бесбұрыш картасын қарайсыз. Бұл pentagram картасы проективті түрлендірулермен жүреді деген тұжырымды түсіндіреді.

Пентаграмма картасы жемісті болып саналады картаға түсіру модульдер кеңістігінде көпбұрыштар. A кеңістік - нүктелері басқа объектілерді индекстейтін көмекші кеңістік. Мысалы, in Евклидтік геометрия, а бұрыштарының қосындысы үшбұрыш әрқашан 180 градус. А-ны көрсетуге болады үшбұрыш (масштабқа дейін) 3 оң санды беру арқылы, осындай Сонымен, әр тармақ , жоғарыда аталған шектеулерді қанағаттандырып, үшбұрышты индекстейді (масштабқа дейін). Мұны біреу айтуы мүмкін үшбұрыштардың эквиваленттік кластарының массив кеңістігінің координаттары. Егер сіз барлық мүмкін төртбұрышты масштабқа дейін немесе индекстегіңіз келсе, сізге қосымша қажет болады параметрлері. Бұл а жоғары өлшемді кеңістік. Пентаграмма картасына сәйкес модульдер кеңістігі - бұл көпбұрыштардың проективті эквиваленттік кластарының модульдер кеңістігі. Осы кеңістіктегі әр нүкте көпбұрышқа сәйкес келеді, тек бір-біріне әр түрлі көзқараспен қарайтын екі көпбұрыш бірдей деп саналады. Пентаграмма картасы проективті геометрияға бейімделгендіктен, жоғарыда айтылғандай, а картаға түсіру нақты модульдер кеңістігінде. Яғни модульдер кеңістігінің кез-келген нүктесін ескере отырып, сіз pentagram картасын сәйкес көпбұрышқа қолданып, қандай жаңа нүкте алып жатқаныңызды көре аласыз.

Пентаграмма картасының модульдік кеңістікке не әсер ететінін қарастырудың себебі, ол картаның айқын белгілерін береді. Егер сіз тек көпбұрышпен не болатынын геометриялық тұрғыдан байқасаңыз, a дөңес көпбұрыш, содан кейін қайталама қолдану көпбұрышты нүктеге дейін кішірейтеді.[1] Заттарды нақтырақ көру үшін, сіз азайып бара жатқан көпбұрыштар тобын олардың барлығында, айталық, бірдей болатындай етіп кеңейтуге болады. аудан. Егер сіз мұны жасасаңыз, онда сіз әдетте көпбұрыштардың отбасы ұзарып, жіңішкеретінін көресіз.[1] Енді сіз арақатынасы осы көпбұрыштар туралы әлі де жақсы көрініс алуға тырысу үшін. Егер сіз бұл процесті мүмкіндігінше жүйелі түрде жасасаңыз, онда сіз модульдер кеңістігіндегі нүктелерге не болатынын қарап отырғандығыңызды байқайсыз. Суретті мейлінше сезінетін етіп үлкейту әрекеттері модуль кеңістігін енгізуге әкеледі.

Пентаграмма картасының модульдер кеңістігінде қалай әрекет ететіндігін түсіндіру үшін, туралы бірнеше сөз айту керек торус. Торды шамамен анықтаудың бір әдісі - бұл оның идеалданған беті деп айту бәліш. Тағы бір тәсілі - бұл ойын алаңы Астероидтар Видео ойын. Торусты сипаттаудың тағы бір әдісі - бұл солдан оңға да, жоғарыдан да төменге оралған компьютерлік экран деп айту. The торус математикада а ретінде белгілі классикалық мысал көпжақты. Бұл біршама қарапайымға ұқсайтын кеңістік Евклид кеңістігі әр сәтте, бірақ қалай болғанда да әр түрлі байланыстырылады. A сфера коллектордың тағы бір мысалы. Сондықтан адамдар оны анықтау үшін ұзақ уақыт қажет болды Жер тегіс емес; кішігірім масштабта шарды а-дан оңай ажыратуға болмайды ұшақ. Сонымен, торус тәрізді коллекторлармен. Жоғары өлшемді торилер де бар. Сіз өзіңіздің бөлмеңізде астероидтарды ойнайтыныңызды елестете аласыз, онда сіз қабырғалар мен төбелерден / едендерден еркін өтіп, қарсы бетке шығасыз.

Пентаграмма картасымен тәжірибе жасауға болады, мұнда бұл карта полигондардың модульдік кеңістігінде қалай әрекет ететінін қарастырады. Біреуі нүктеден басталып, карта қайта-қайта қолданылған кезде не болатынын қадағалайды. Біреу таңқаларлық нәрсені көреді: бұл тармақтар көп өлшемді ториге сәйкес келеді.[1] Бұл көрінбейтін торилер пияз қабаттарының пияздың өзін қалай толтыратыны немесе палубадағы жеке карталар палубаны қалай толтыратыны сияқты модуль кеңістігін толтырады. Техникалық мәлімдеме - торилер а жапырақтану модульдер кеңістігінің. Тори модулі кеңістігінің жарты өлшеміне ие. Мысалы, модульдер кеңістігі -болады бұл жағдайда өлшемді және тори болып табылады өлшемді.

Тори көрінбейді ішкі жиындар модульдер кеңістігінің. Олар пентаграмма картасын жасаған кезде және торінің бірін толтырып, нүктенің дөңгелене қозғалғанын көргенде ғана анықталады. Шамамен айтқанда, қашан динамикалық жүйелер осы инвариантты тори бар, олар деп аталады интегралданатын жүйелер. Осы мақаладағы нәтижелердің көпшілігі бес диаграмма картасының интегралданатын жүйе екенін, бұл торилердің бар екендігін анықтауға байланысты. Төменде қарастырылған монодромия инварианттары ториге арналған теңдеулер болып шығады. Төменде талқыланған Пуассон кронштейні - торияның жергілікті геометриясын кодтайтын өте күрделі математикалық гаджет. Қандай жақсы нәрсе - бұл әртүрлі объектілер бір-біріне дәл сәйкес келеді және осы тордың қозғалысы шынымен бар екеніне дәлел келтіреді.

Модульдер кеңістігінің координаттары

Қарама-қарсы қатынас

Барлық құрылыстың негізінде жатқан өріс болған кезде F, аффиндік сызық көшірмесі ғана F. Аффиндік сызық проекциялық сызық. Проективті сызықтағы нүктелердің кез-келген ақырғы тізімін аффиндік сызыққа лайықты жолмен жылжытуға болады проективті түрлендіру.

Төрт тармақты ескере отырып аффиндік жолда бір (кері) анықталады айқас қатынас

Авторлардың көпшілігі 1 /X болу өзара қатынас, және сондықтан X кері көлденең қатынас деп аталады. Кері айқасу коэффициенті проективті түрлендірулер кезінде инвариантты болады және осылайша проективті сызықтағы нүктелер үшін мағынасы бар. Алайда, жоғарыдағы формула аффиндік сызықтағы нүктелерді ғана білдіреді.

Төменде жалпы орнатуда айқасу коэффициенті кез келген төрт коллинеарлық нүктелер үшін мағыналы болады проективті кеңістік Тек нүктелерден тұратын сызықты проективті сызықпен сәйкес келеді проективті түрлендіру содан кейін жоғарыдағы формуланы қолданады. Нәтиже сәйкестендіру кез-келген таңдауына тәуелсіз. Кері көлденең коэффициент кәдімгі және бұралған көпбұрыштардың модульдер кеңістігіндегі координаттар жүйесін анықтау үшін қолданылады.

Бұрыштық координаттар

Бұрыштық инварианттар - бұралған көпбұрыштар кеңістігіндегі негізгі координаттар.[5][6][8] $ P $ - деп есептейік көпбұрыш. A жалау туралы P бұл жұп (б,L), қайда б шыңы болып табылады P және L сызығының іргелес сызығы болып табылады P. Әр шыңы P екі жалаушаға қатысады, сонымен қатар әр шеті P екі жалаушаға қатысады. Жалаулары P бағытына сәйкес тапсырыс берілген P, суретте көрсетілгендей. Бұл суретте жалауша қалың жебемен бейнеленген. Осылайша, 2 барN N-гонға байланысты жалаушалар.

Penta flag2.svg
Penta corner7.svg

Келіңіздер P болуы N-жеңіл, жалаушалармен Әрбір F жалаушасына біз нүктелердің кері айқасу қатынасын байланыстырамыз сол жақтағы суретте көрсетілген. Осылайша біреу сандарды байланыстырады n-гонға. Егер екі n-гон проективті түрлендірумен байланысты болса, онда олар бірдей координаталар алады. Кейде айнымалылар орнына қолданылады

Бұрыштық инварианттар бұралған көпбұрыштардың модулі кеңістігінде мағынасы бар. Бір бұралған көпбұрыштың бұрыштық инварианттарын анықтағанда, 2-ге тең боладыN- сандардың периодтық екі-шексіз тізбегі. Осы дәйектіліктің бір кезеңін алу бұралуды анықтайды N-нүктесімен өтті қайда F негізгі өріс болып табылады. Керісінше, кез келген дерлік берілген (мағынасында өлшем теориясы ) бұралған салуға болады N- бұрыштық инварианттардың осы тізімі бар. Мұндай тізім әрдайым қарапайым көпбұрышты тудырмайды; қосымша 8 теңдеу бар, олар тізімге сәйкес келуі керек, ол кәдімгіді тудыруы керек N-болды.

(ab) координаттар

Бұралған көпбұрыштардың модульдік кеңістігінің екінші координаттар жиынтығы бар, әзірлеген Сергей Табачников және Валентин Овсиенко. [6] Біреуі көпбұрышты сипаттайды проективті жазықтық векторлар тізбегі бойынша жылы векторлардың әр қатарынан үштік а-ға созылатындай етіп параллелепипед бірлік көлеміне ие. Бұл қатынасқа әкеледі

Координаттар бұралған модульдер кеңістігінің координаттары ретінде қызмет етеді N-болғанша N 3-ке бөлінбейді.

(Ab) координаталары бұралған көпбұрыштар мен 3-ші ретті сызықтық шешімдер арасындағы ұқсастықты шығарады қарапайым дифференциалдық теңдеулер, қондырғыға ие болу үшін қалыпқа келтірілген Вронскян.

Пентаграмма картасына арналған формула

Біртационды карта ретінде

Мұнда бұрыштық координаталармен өрнектелген бес диаграмма картасының формуласы келтірілген.[5] Жоғарыда айтылған канондық таңбалау сызбасының арқасында пентаграмма картасының екінші қайталануын қарастырған кезде теңдеулер өте жақсы жұмыс істейді. Пентаграмма картасының екінші қайталануы - бұл құрамы . Карталар және болып табылады біртационды кескіндер 2-ші бұйрық, және келесі әрекетті орындаңыз.

қайда

(Ескерту: индекс 2к + 0 тек 2к. Формулаларды туралау үшін 0 қосылады.) Бұл координаттарда бес диаграмма картасының екілік кескіні болып табылады.

Тордың үйлесімділік қатынастары ретінде

Penta relations2.svg

Пентаграмма картасының формуласы белгілер үшін белгілі бір үйлесімділік ережесі ретінде ыңғайлы түсіндіруге ие шеттері суретте көрсетілгендей үшбұрышты тордың.[5] Бұл интерпретацияда көпбұрыштың бұрыштық инварианттары бір қатардың көлденең емес жиектерін белгілейді, содан кейін келесі жолдардың көлденең емес жиектерін бұрыштық инварианттары белгілейді. , , және т.б. үйлесімділік ережелері

Бұл ережелер барлық конфигурацияларға арналған үйлесімді суретте көрсетілгендерге. Басқаша айтқанда, қатынастарға қатысатын фигуралар барлық мүмкін позициялар мен бағыттарда болуы мүмкін. Көлденең жиектердегі жапсырмалар формулаларды қарапайым ету үшін енгізілген көмекші айнымалылар болып табылады. Көлденең емес шеттердің бір қатары берілгеннен кейін, қалған жолдар сыйысымдылық ережелерімен ерекше түрде анықталады.

Инвариантты құрылымдар

Бұрыштық координаталық өнімдер

Бес бұрыштық координаталар тұрғысынан бес диаграмма картасының формуласынан екі шама шығады

бес диаграмма картасы бойынша өзгермейтін болып табылады. Бұл байқау Джозеф Закстың 1991 жылғы мақаласымен тығыз байланысты [4] көпбұрыштың диагональдарына қатысты.

Қашан N = 2к функциялары біркелкі

тікелей формуладан инвариантты функциялар ретінде көрінеді. Бұл өнімдердің барлығы бірдей болып шығады Casimir инварианттары төменде талқыланатын инвариантты Пуассон кронштейніне қатысты. Сонымен қатар, функциялары және төменде анықталған монодромия инварианттарының қарапайым мысалдары.

The деңгей жиынтығы функциясы болып табылады ықшам, f нақты модуль кеңістігімен шектелгенде дөңес көпбұрыштар. [1] Демек, осы кеңістікке әсер ететін бес диаграмма картасының әрбір орбитада а болады ықшам жабу.

Көлем формасы

Пентаграмма картасы, модульдік кеңістікке әсер еткенде X дөңес көпбұрыштардың инварианты бар көлем формасы. [9] Сонымен қатар, бұрын айтылғандай, функция бар ықшам деңгей жиынтығы қосулы X. Бұл екі қасиет Пуанкаренің қайталану теоремасы pentagram картасының әрекеті дегенді білдіреді X қайталанатын: дөңес көпбұрыштың кез-келген эквиваленттік сыныбының орбитасы P әр ауданға шексіз жиі оралады P.[9] Бұл модульдік проективті түрлендірулер, әдетте, бірдей пішінді бірнеше рет көреді, өйткені бес диаграмма картасын қайталайды. (Дөңес көпбұрыштардың проективті эквиваленттік кластарын қарастыратындығын есте ұстаған жөн. Пентаграмма картасының дөңес көпбұрышты кішірейтетіндігі маңызды емес.)

Қайталану нәтижесі төменде талқыланған интегралданудың толық нәтижелерімен аяқталатынын ескерген жөн.[6][10]

Монодромия инварианттары

Монодромия деп аталатын инварианттар жиынтығы болып табылады функциялары үстінде кеңістік бес диаграмма картасы бойынша өзгермейтін болып табылады. [5]

Монодромия инварианттарын анықтауға бағытталған блок, мысалы, бүтін немесе үштік қатардағы бүтін сандар, мысалы 1 және 567 деп айтыңыз. Егер блок тақ саннан басталса, тақ тақ деп айтыңыз. Екі блок, егер олардың арасында кемінде 3 бүтін сан болса, жақсы бөлінген деп айтыңыз. Мысалы, 123 пен 567 бір-бірінен жақсы ажыратылмаған, бірақ 123 пен 789 бір-бірінен жақсы ажыратылған. Тақ рұқсат етілген тізбек - бұл жақсы бөлінген тақ блоктарға ыдырайтын бүтін сандардың ақырлы тізбегі. Осы тізбекті 1, ..., 2 жиынтығынан алғандаN, ұңғыманы бөлу ұғымы циклдік мағынада қолданылады. Осылайша, 1 және 2N - 1 жақсы бөлінбеген.

Әр тақ рұқсат етілген дәйектілік а-ны тудырады мономиялық бұрыштағы инварианттарда. Бұл мысалмен жақсы көрінеді

  • 1567 пайда болады
  • 123789 пайда болады

Белгі анықталады паритет тізбектегі бір таңбалы блоктар санының. Монодромия инвариантты k блоктардан тұратын тақ рұқсат етілген тізбектерден шығатын барлық мономиялардың қосындысы ретінде анықталады. Монодромия инвариантты дәл солай анықталады, анықтамада тақ тақ ауыстырылады.

Қашан N тақ болса, рұқсат етілген мәндері к 1, 2, ..., (болып табыладыn - 1) / 2. Қашан N тең, k-нің рұқсат етілген мәндері 1, 2, ...,n/ 2. Қашан к = n/ 2, біреу жоғарыда талқыланған инварианттарды қалпына келтіреді. Екі жағдайда да, инварианттар және монодромия инварианттары болып саналады, дегенмен олар жоғарыда аталған құрылыспен жасалмаса да.

Монодромия инварианттары бұралған көпбұрыштар кеңістігінде анықталады, ал тұйық көпбұрыштар кеңістігінде инварианттар беру үшін шектеледі. Оларда келесі геометриялық интерпретация бар. Бұралған көпбұрыштың М монодромиясы - бұл анық рационалды функция бұрыштық координаттарда. Монодромия инварианттары мәні жағынан біртекті бөліктер болып табылады із туралыМ. Монодромия инварианттарының (ab) координаттары тұрғысынан сипаттамасы бар. Бұл координаттарда инварианттар белгілі бір түрде пайда болады детерминанттар 4-диагональды матрицалар. [6][8]

Қашан болса да P а-да барлық шыңдары бар конустық бөлім (шеңбер сияқты) біреуінде бар барлығынак. [8]

Пуассон кронштейні

A Пуассон кронштейні симметрияға қарсы сызықтық оператор қанағаттандыратын функциялар кеңістігінде Лейбниц сәйкестілігі және Якоби сәйкестігі. 2010 жылғы мақалада,[6] Валентин Овсиенко, Ричард Шварц және Сергей Табачников а Пуассон кронштейні бесбұрыш картасы бойынша өзгермейтін бұралған көпбұрыштар кеңістігінде. Сондай-ақ, олар монодромия инварианттарының осы жақшаға қатысты жүретіндігін көрсетті. Бұл дегеніміз

барлық индекстер үшін.

Мұнда айнымалылар бойынша инвариантты Пуассон кронштейнінің сипаттамасы берілген.

басқалары үшін

Сондай-ақ (ab) координаттары тұрғысынан сипаттама бар, бірақ ол күрделі.[6]

Инвариантты кронштейннің балама сипаттамасы берілген. Кез-келген функция берілген модуль кеңістігінде бізде бар Гамильтондық векторлық өріс

мұнда қайталанған индекстердің қорытындысы түсініледі. Содан кейін

Бірінші өрнек - бағытталған туынды туралы векторлық өріс бағытында . Практикалық тұрғыдан Пуассон-коммут монодромиясының инвариантты екендігі сәйкес гамильтондықты білдіреді векторлық өрістер маршруттық ағындарды анықтау.

Толық интегралдылық

Арнольд-Лиувиллдің интеграциясы

Монодромия инварианттары мен инвариантты кронштейн бұрандалар кеңістігінде бес диаграмма картасының Арнольд-Лиувилль интеграциялануын орнатады. N- гондар. [6] Жағдайды N тақ сипаттау оңайырақ. Бұл жағдайда екі өнім

болып табылады Casimir инварианттары жақша үшін, бұл (бұл жағдайда)

барлық функциялар үшін f. Касимир деңгей орнатылды - бұл екеуі үшін де көрсетілген мәні бар кеңістіктегі барлық нүктелердің жиынтығы және .

Әрбір Casimir деңгейінің жиынтығы изо-монодромияға ие жапырақтану, атап айтқанда, қалған монодромия функцияларының жалпы деңгей жиынтығына ыдырау. Қалған монодромды инварианттармен байланысты Гамильтондық векторлық өрістер изо-монодромды фоляцияға жанамалық таралуды жалпы түрде қамтиды. Пуассон-коммут монодромиясының инвариантты екендігі бұл векторлық өрістердің коммутация ағындарын анықтайтындығын білдіреді. Бұл ағындар өз кезегінде локалды анықтайды координаталық диаграммалар өтпелі карталар эвклидтік аудармалар болатындай әр изо-монодромия деңгейінде. Яғни, Гамильтондық векторлық өрістер изо-монодромия деңгейлерінде жалпақ эвклидтік құрылымды береді, оларды болған кезде оларды жазық тори болуға мәжбүр етеді. тегіс және ықшам коллекторлар. Бұл барлық дерлік деңгейлерде болады. Көзге көрінетіндердің барлығы пентаграмма-инвариантты болғандықтан, изо-монодромды жапырақпен шектелген пентаграмма картасы аударма болуы керек. Бұл қозғалыс түрі ретінде белгілі квазиериодты қозғалыс. Бұл Арнольд-Лиувилдің интеграциялануын түсіндіреді.

Тұрғысынан симплектикалық геометрия, Пуассон кронштейні а симплектикалық форма әрбір Casimir деңгейінде.

Алгебро-геометриялық интегралдылық

2011 жылғы басып шығаруда [10] Федор Соловьев пентаграмма картасында а бар екенін көрсетті Бос өкілдік спектрлік параметрмен және оның алгебралық-геометриялық интегралдылығын дәлелдеді. Бұл дегеніміз, көпбұрыштардың кеңістігі (бұралған немесе жай) спектрлік қисық тұрғысынан белгіленген нүктелермен және а бөлгіш. Спектрлік қисық монодромды инварианттармен анықталады, ал бөлгіш торустағы нүктеге - спектрлік қисықтың Якоби әртүрлілігіне сәйкес келеді. Алгебралық-геометриялық әдістер бес диаграмма картасын көрсететініне кепілдік береді квазиериодты қозғалыс Торуста (бұралған да, қарапайым жағдайда да), және олар Риманның көмегімен нақты шешімдер формулаларын құруға мүмкіндік береді тета функциялары (яғни, көпбұрышты уақыттың айқын функциялары ретінде анықтайтын айнымалылар). Соловьев сонымен қатар инвариантты Пуассон кронштейнін Кричевер-Фонг әмбебап формуласынан алады.

Басқа тақырыптармен байланыс

Октаэдрлік қайталану

Сегіз қырлы рецидив - кеңістіктің октаэдрлік плиткасының шыңдарында анықталған динамикалық жүйе. Әр октаэдрдің 6 шыңы бар және бұл шыңдар осылай белгіленеді

Мұнда және бұл антиподальды шыңдардың белгілері. Жалпыға ортақ шарт әрдайым орталық көлденең жазықтықта жатыңыз және a_1, b_1 жоғарғы және төменгі шыңдар. Октаэдрлік қайталану тығыз байланысты C. Dodgson's есептеу үшін конденсация әдісі детерминанттар.[5] Әдетте плитканың екі көлденең қабатын белгілейді, содан кейін жапсырмалардың динамикалық таралуы үшін негізгі ережені қолданады.

Макс Глик қолданды кластерлік алгебра тұрғысынан пентаграмма картасының қайталану формулаларын табу формализмі ауыспалы белгі матрицалары.[11] Бұл формулалар рухы жағынан табылған формулаларға ұқсас Дэвид П. Роббинс және околы қайталанудың қайталануы үшін Гарольд Рэмси.

Penta oct9.svg

Сонымен қатар, келесі конструкция октаэдрлік қайталануды тікелей пентаграмма картасымен байланыстырады. [5] Келіңіздер сегіз қырлы плитка болыңыз. Келіңіздер болуы сызықтық проекция ол әрбір октаэдрды карталарға түсіреді бірінші суретте көрсетілген 6 нүктенің конфигурациясына дейін. Деп бейімделген таңбалау деп айтыңыз барлық нүктелер (шексіз) болатындай етіп таңбалау болып табылады кері кескін кез келген нүктесінде бірдей сандық белгіні алыңыз. Бейімделген таңбалауға қолданылатын октаэдрлік қайталану қайталанумен бірдей онда сегіздік қайталану ережесі нүктелердің әр конфигурациясына қолданылады үйлесімді бірінші суреттегі конфигурацияға дейін. Мұны жоспарлы октаэдрлік қайталану деп атаңыз.

Penta oct10.svg

Таңбасы берілген жазық октаэдрлік қайталануға бағынатын шеттердің таңбалауын жасауға болады ережені қолдану арқылы

әр шетіне. Бұл ереже оң жақтағы фигураға сілтеме жасайды және барлық конфигурацияға қолданылады үйлесімді көрсетілген екіге. Бұл таңбалау аяқталғаннан кейін, G шегі таңбасы бес картаға қатысты қатынастарды қанағаттандырады.

Буссинк теңдеуі

Дөңес көпбұрыштың үздіксіз шегі - жазықтықтағы параметрленген дөңес қисық. Уақыт параметрі дұрыс таңдалған кезде, бес диаграмма картасының үздіксіз шегі классикалық болады Буссинск теңдеуі.[5][6] Бұл теңдеу an-тың классикалық мысалы болып табылады интегралды дербес дифференциалдық теңдеу.

Міне, Бюссейн теңдеуінің геометриялық әрекетін сипаттау. Берілген жергілікті дөңес қисық , және х және t нақты сандары, деп санаймыз аккорд байланыстырушы дейін . Осы аккордтардың барлық қабығы жаңа қисық болып табылады . T өте аз болған кезде қисық болады уақыттың бастапқы қисығының эволюциясы үшін жақсы модель Буссинк теңдеуі бойынша Бұл геометриялық сипаттама B теңдеуінің бес диаграмма картасының үздіксіз шегі екенін айқын көрсетеді. Сонымен қатар, бесбұрышты инвариантты кронштейн - бұл белгілі инвариантты Пуассон кронштейнін Буссинец теңдеуімен байланысты дискретизациялау. [6]

Жақында пентаграмма картасының жоғары өлшемді жалпыламалары мен оның Буссингс түріндегі дербес дифференциалдық теңдеулермен байланысы бойынша біраз жұмыстар жүргізілуде [12]

Табиғи эволюция

Пентаграмма картасы және Буссинец теңдеуі проективті табиғи геометриялық эволюция теңдеулерінің мысалдары болып табылады. Мұндай теңдеулер математиканың әртүрлі салаларында туындайды, мысалы проективті геометрия және компьютерлік көру. [13] [14]

Кластерлік алгебралар

2010 жылғы мақалада [11] Макс Глик pentagram картасын а-ның ерекше жағдайы ретінде анықтады кластерлік алгебра.

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ а б c г. e f ж сағ мен Шварц, Ричард Эван (1992). «Пентаграмма картасы». Тәжірибелік математика. 1: 90–95.
  2. ^ а б А.Клебш (1871). «Ueber das ebene Funfeck». Mathematische Annalen. 4 (3): 476–489. дои:10.1007 / bf01455078. S2CID  122093180.
  3. ^ а б Th. Моцкин (1945). «Напье ережесіне түсініктеме бере отырып, проективті жазықтықтағы бесбұрыш». Американдық математикалық қоғамның хабаршысы. 51 (12): 985–989. дои:10.1090 / S0002-9904-1945-08488-2.
  4. ^ а б Закс, Джозеф (1996). «Көпбұрыштардың диагональдарындағы айқас коэффициенттердің туындылары туралы». Geometriae Dedicata. 60 (2): 145–151. дои:10.1007 / BF00160619. S2CID  123626706.
  5. ^ а б c г. e f ж сағ мен Шварц, Ричард Эван (2008). «Дискретті монодромия, пентаграмма және конденсация әдісі». Тіркелген нүктелік теория және қолданбалы журнал (2008). 3 (2): 379–409. arXiv:0709.1264. дои:10.1007 / s11784-008-0079-0. S2CID  17099073.
  6. ^ а б c г. e f ж сағ мен j Овсиенко, Валентин; Шварц, Ричард Эван; Табачников, Серж (2010). «Пентаграмма картасы, дискретті интегралды жүйе» (PDF). Комм. Математика. Физ. 299 (2): 409–446. arXiv:0810.5605. Бибкод:2010CMaPh.299..409O. дои:10.1007 / s00220-010-1075-ж. S2CID  2616239. Алынған 26 маусым, 2011.
  7. ^ Шварц, Ричард Эван; Табачников, Серж (Қазан 2009). «Проективті геометриядағы қарапайым тосынсыйлар». arXiv:0910.1952 [math.DG ].
  8. ^ а б c Шварц, Ричард Эван; Табачников, Сергей (қазан 2009). «Жазылған көпбұрыштарға арналған бесбөлшек интегралдар». Комбинаториканың электронды журналы. arXiv:1004.4311. Бибкод:2010arXiv1004.4311S.
  9. ^ а б Шварц, Ричард Эван (2001). «Пентаграмма картасының қайталануы» (PDF). Тәжірибелік математика. 10 (4): 519–528. дои:10.1080/10586458.2001.10504671. S2CID  4454793. Архивтелген түпнұсқа (PDF) 2011 жылдың 27 қыркүйегінде. Алынған 30 маусым, 2011.
  10. ^ а б Соловьев, Федор (2011). «Пентаграмма картасының тұтастығы». Duke Mathematical Journal. 162 (15): 2815–2853. arXiv:1106.3950. дои:10.1215/00127094-2382228. S2CID  119586878.
  11. ^ а б *Glick, Max (2010). «Пентаграмма картасы және Y-үлгілері». arXiv:1005.0598v2 [математика ].
  12. ^ Беффа, Глория Маро. «Пентаграмма картасын жалпылау туралы: AGD ағындарын дискретизациялау» (PDF). Мэдисон, Висконсин: Висконсин университеті. Журналға сілтеме жасау қажет | журнал = (Көмектесіңдер)
  13. ^ Брукштейн, Альфред М .; Shaked, Doron (1997). «Жазық қисықтар мен көпбұрыштардың проективті инвариантты тегістеуі және эволюциясы туралы». Математикалық бейнелеу және пайымдау журналы. 7 (3): 225–240. дои:10.1023 / A: 1008226427785. S2CID  2262433.
  14. ^ Питер Дж. Олвер; Гильермо Сапиро; Аллен Танненбаум; MINNESOTA UNIV MINNEAPOLIS МАТЕМАТИКА БӨЛІМІ. «Дифференциалды инвариантты қолтаңбалар мен компьютерлік көзқарастағы ағындар: симметрия тобының тәсілі». Алынған 2010-02-12. Журналға сілтеме жасау қажет | журнал = (Көмектесіңдер)CS1 maint: бірнеше есімдер: авторлар тізімі (сілтеме)

Әдебиеттер тізімі