Морлейс трисекторы теоремасы - Morleys trisector theorem - Wikipedia

Егер сыртқы үшбұрыштың әрбір төбе бұрышы қиылса, Морлидің трисекторы туралы теорема күлгін үшбұрыш тең ​​бүйірлі болады деп айтады.

Жылы жазықтық геометриясы, Морлидің трисекторлық теоремасы кез-келгенінде үшбұрыш, іргелес қиылыстың үш нүктесі бұрыштық трисекторлар қалыптастыру тең бүйірлі үшбұрыш, деп аталады бірінші Морли үшбұрышы немесе жай Морли үшбұрышы. Теорема 1899 жылы ашылды Ағылшын-американдық математик Фрэнк Морли. Оның әртүрлі жалпыламалары бар; атап айтқанда, егер барлық трисекторлар қиылысқан болса, біреуі басқа төрт жақты үшбұрыш алады.

Дәлелдер

Мұнда көптеген бар дәлелдер Морли теоремасының кейбіреулері өте техникалық.[1] Бірнеше алғашқы дәлелдер нәзікке негізделген тригонометриялық есептеулер. Соңғы дәлелдерге мыналар жатады алгебралық дәлел Ален Коннес  (1998, 2004 ) теореманы жалпыға дейін кеңейту өрістер сипаттамалық үштен басқа, және Джон Конвей элементар геометрияның дәлелі.[2][3] Соңғысы тең бүйірлі үшбұрыштан басталып, айналасында үшбұрыш тұрғызылуы мүмкін екенін көрсетеді ұқсас кез келген таңдалған үшбұрышқа. Морли теоремасы сақталмайды сфералық[4] және гиперболалық геометрия.

Сурет 1. Морлидің трисекторлық теоремасының элементарлы дәлелі

Бір дәлел тригонометриялық сәйкестікті қолданады

 

 

 

 

(1)

екі бұрыштың қосындысын қолдану арқылы тең болатындығын көрсетуге болады

Екі теңдіктің қосындысын сол жаққа екі рет қолданып, косинусты жою арқылы соңғы теңдеуді тексеруге болады.

Ұпайлар бойынша салынған көрсетілгендей. Бізде бар , кез-келген үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы, сондықтан Сондықтан үшбұрыштың бұрыштары болып табылады және

Суреттен

 

 

 

 

(2)

және

 

 

 

 

(3)

Сондай-ақ, суреттен

және

 

 

 

 

(4)

Үшбұрыштарға қолданылатын синустар заңы және өнімділік

 

 

 

 

(5)

және

 

 

 

 

(6)

Үшбұрыштың биіктігін көрсетіңіз екі жолмен

және

ауыстыру үшін (1) теңдеу қолданылған және осы екі теңдеуде. (2) және (5) теңдеулерін теңдеуі және (3) және (6) теңдеулері теңдеу береді

және

Нуматорлар тең болғандықтан

немесе

Бұрыштан бастап және бұрыш тең және осы бұрыштарды құрайтын қабырғалар бірдей қатынаста, үшбұрыштар және ұқсас.

Ұқсас бұрыштар және тең және ұқсас бұрыштар және тең Ұқсас аргументтер үшбұрыштардың базалық бұрыштарын береді және

Атап айтқанда бұрыш болып табылды және суреттен біз мұны көреміз

Кірісті ауыстыру

мұндағы (4) теңдеу бұрыш үшін қолданылған сондықтан

Үшбұрыштың басқа бұрыштары болып табылды

Бүйір және аймақ

Бірінші Морли үшбұрышының бүйірлік ұзындықтары бар[5]

қайда R болып табылады циррадиус бастапқы үшбұрыштың және A, B, және C бастапқы үшбұрыштың бұрыштары. Бастап аудан тең бүйірлі үшбұрыштың Морли үшбұрышының ауданын былай өрнектеуге болады

Морли үшбұрыштары

Морли теоремасы 18 тең бүйірлі үшбұрыштан тұрады. Жоғарыда аталған трисекторлық теоремада сипатталған үшбұрыш бірінші Морли үшбұрышы, берілген шыңдары бар үш сызықты координаттар үшбұрышқа қатысты ABC келесідей:

A-vertex = 1: 2 cos (C/ 3): 2 cos (B/3)
B-vertex = 2 cos (C/ 3): 1: 2 cos (A/3)
C-vertex = 2 cos (B/ 3): 2 cos (A/3) : 1

Морлидің тағы бір теңбүйірлі үшбұрыштары, ол сонымен қатар орталық үшбұрыш деп аталады екінші Морли үшбұрышы және осы шыңдармен берілген:

A-шың = 1: 2 cos (C/ 3 - 2π / 3): 2 cos (B/ 3 - 2π / 3)
B-шың = 2 cos (C/ 3 - 2π / 3): 1: 2 cos (A/ 3 - 2π / 3)
C-шың = 2 cos (B/ 3 - 2π / 3): 2 cos (A/ 3 - 2π / 3): 1

Морлидің 18 тең бүйірлі үшбұрыштарының үшіншісі, сонымен қатар орталық үшбұрыш деп аталады үшінші Морли үшбұрышы және осы шыңдармен берілген:

A-vertex = 1: 2 cos (C/ 3 - 4π / 3): 2 cos (B/ 3 - 4π / 3)
B-vertex = 2 cos (C/ 3 - 4π / 3): 1: 2 cos (A/ 3 - 4π / 3)
C-vertex = 2 cos (B/ 3 - 4π / 3): 2 cos (A/ 3 - 4π / 3): 1

Морли бірінші, екінші және үшінші үшбұрыштары жұптасқан гомотетикалық. Үш нүктеден тағы бір гомотетикалық үшбұрыш құрылады X үшбұрыштың шеңберінде ABC ол кезекте ХХ −1 шеңберге жанасады, қайда X −1 дегенді білдіреді изогональды конъюгат туралы X. Бұл деп аталатын теңбүйірлі үшбұрыш айналмалы үшбұрыш, келесі шыңдары бар:

A-шың = csc (C/3 − B/ 3): csc (B/3 + 2C/ 3): −csc (C/3 + 2B/3)
B-шыңы = −csc (A/3 + 2C/ 3): csc (A/ 3 - C / 3): csc (C/3 + 2A/3)
C-шың = csc (A/3 + 2B/ 3): −csc (B/3 + 2A/ 3): csc (B/3 − A/3)

Бесінші тең бүйірлі үшбұрыш, басқаларына гомотетикалық, айналмалы π / 6 үшбұрышын оның центріне айналдыру арқылы алынады. Деп аталады дөңгелек үшбұрыш, оның шыңдары келесідей:

A-шың = сек (C/3 − B/ 3): сек (B/3 + 2C/ 3): сек (C/3 + 2B/3)
B-шыңы = ecсек (A/3 + 2C/ 3): сек (A/3 − C/ 3): сек (C/3 + 2A/3)
C-шыңы = ecсек (A/3 + 2B/ 3): сек (B/3 + 2A/ 3): сек (B/3 − A/3)

Морли 18 үшбұрышының бірін екіншісінен алу үшін «экстраверсия» деп аталатын операцияны қолдануға болады. Әрбір үшбұрышты үш түрлі тәсілмен бұруға болады; 18 Морли үшбұрышы және 27 экстраверт жұп үшбұрыш 18 шыңдары мен 27 шеттерін құрайды Паппус графигі.[6]

Өзара байланысты үшбұрыш центрлері

The центроид бірінші Морли үшбұрышының ішінде берілген үш сызықты координаттар арқылы

Морли орталығы = X(356) = cos (A/ 3) + 2 cos (B/ 3) cos (C/ 3): cos (B/ 3) + 2 cos (C/ 3) cos (A/ 3): cos (C/ 3) + 2 cos (A/ 3) cos (B/3).

Бірінші Морли үшбұрышы перспектива үшбұрышқа ABC:[7] әрқайсысы бастапқы үшбұрыштың шыңын Морли үшбұрышының қарама-қарсы шыңымен байланыстыратын түзулер келісу нүктесінде

1-ші Морли-Тейлор-Марр орталығы = X(357) = сек (A/ 3): сек (B/ 3): сек (C/3).

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Богомольный, Александр, Морлидің кереметі, Түйін, алынды 2010-01-02
  2. ^ Дж.Конвейдің дәлелі, Богомольныйдан.
  3. ^ Конвей, Джон (2006), «Математиканың күші», Блэквелл, Алан; Маккей, Дэвид (ред.), Қуат (PDF), Кембридж университетінің баспасы, 36-50 бет, ISBN  978-0-521-82377-7, алынды 2010-10-08
  4. ^ Сфералық геометриядағы Морли теоремасы, Java апплеті.
  5. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Бірінші Морли үшбұрышы». MathWorld сайтынан - Wolfram веб-ресурсы. [1]
  6. ^ Жігіт (2007).
  7. ^ Фокс, М. Д .; және Гоггинс, Дж. Р. «Морли диаграммасы қорытылған», Математикалық газет 87, 2003 ж. Қараша, 453–467.

Әдебиеттер тізімі

Сыртқы сілтемелер