Қиылысатын аккордтар теоремасы - Intersecting chords theorem

${displaystyle | AS | cdot | SC | = | BS | cdot | SD |}$

${displaystyle {egin {aligned} & | AS | cdot | SC | = | BS | cdot | SD | = & (r + d) cdot (rd) = r ^ {2} -d ^ {2} end {aligned }}}$

${displaystyle бұрышы ASDsim бұрышы BSC}$

The қиылысатын аккордтар теоремасы немесе жай Аккорд теоремасы - бұл екі қиылысқан төрт сызық сегментінің қатынасын сипаттайтын қарапайым геометриядағы тұжырым аккордтар шеңбер шеңберінде. Онда әр хордадағы сызық кесінділерінің ұзындығының көбейтіндісі тең болатыны айтылады. Бұл Евклидтің 3-кітабының 35-ші ұсынысы Элементтер.

Дәлірек айтқанда, екі аккорд үшін Айнымалы және BD нүктеде қиылысады S келесі теңдеу орындалады:

${displaystyle | AS | cdot | SC | = | BS | cdot | SD |}$

Керісінше, егер бұл екі сызық сегменттері үшін болса да дұрыс Айнымалы және BD S-мен қиылысатын жоғарыдағы теңдеу орындалады, содан кейін олардың төрт соңғы нүктелері A, B, C және Д. жалпы шеңберде жату. Немесе басқаша айтқанда, егер төртбұрыштың диагональдары болса А Б С Д қиылысады S және жоғарыдағы теңдеуді орындаңыз, сонда ол а болады циклдік төртбұрыш.

Аккорд теоремасындағы екі көбейтіндінің мәні тек қиылысу нүктесінің арақашықтығына байланысты S шеңбер центрінен және -ның абсолюттік мәні деп аталады қуаты S, дәлірек айтсақ:

${displaystyle | AS | cdot | SC | = | BS | cdot | SD | = r ^ {2} -d ^ {2}}$

қайда р - шеңбердің радиусы, және г. - шеңбердің центрі мен қиылысу нүктесі арасындағы қашықтық S. Бұл қасиет аккорд теоремасын үшінші хорданың қолданылуынан туындайды S және шеңбер орталығы М (суретті қараңыз).

Теореманы ұқсас үшбұрыштардың көмегімен дәлелдеуге болады (арқылы бұрыштық теорема ). Үшбұрыштардың бұрыштарын қарастырайық ASD және BSC:

${displaystyle {egin {aligned} бұрышы ADS & = BCS бұрышы, ({ext {ABV ішіндегі бұрыштар}}) бұрышы DAS & = бұрышы CBS, ({ext {CD ішіндегі бұрыштары}}) ASD бұрышы және = BSC бұрышы, ( {ext {қарама-қарсы бұрыштар}}) соңы {тураланған}}}$

Бұл үшбұрыштарды білдіреді ASD және BSC ұқсас және сондықтан

${displaystyle {frac {AS} {SD}} = {frac {BS} {SC}} Leftrightarrow | AS | cdot | SC | = | BS | cdot | SD |}$

Жанында тангенс-секанттық теорема және сексанттардың теоремасы қиылысатын хорда теоремасы қиылысатын екі түзу мен шеңбер туралы жалпы теореманың үш негізгі жағдайының бірін білдіреді - нүктелік теореманың күші.

Пайдаланылған әдебиеттер

• Пол Глайстер: Аккордтар қиылысуының теоремасы: 30 жыл. Математика мектепте, т. 36, No1 (қаңтар, 2007), б. 22 (JSTOR )
• Брюс Шойер: Геометриядағы зерттеулер. Әлемдік ғылыми, 2010, ISBN  9789813100947, б. 14
• Ханс Шупп: Элементаргеометрия. Шенинг, Падерборн 1977, ISBN  3-506-99189-2, б. 149 (неміс).
• Sch眉erduden - Математик I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN  978-3-411-04208-1, 415-417 бет (неміс)

Сыртқы сілтемелер

• Аккордтар қиылысы теоремасы cut-the-knot.org сайтында
• Аккордтар қиылысы теоремасы proofwiki.org сайтында
• Вайсштейн, Эрик В. «Аккорд». MathWorld.
• Екі интерактивті иллюстрация: [1] және [2]