Дифференциалдық жүйелер үшін бүтіндік шарттары - Integrability conditions for differential systems - Wikipedia

Жылы математика, белгілі бір жүйелер дербес дифференциалдық теңдеулер жүйесі негізінде олардың геометриялық және алгебралық құрылымы тұрғысынан пайдалы тұжырымдалған дифференциалды формалар. Идея - дифференциалды форманы пайдалану шектейді а субманифольд, және бұл шектеудің үйлесімділігі сыртқы туынды. Бұл белгілі бір мүмкін тәсіл шамадан тыс анықталған жүйелер, мысалы, қоса Лакс жұптары туралы интегралданатын жүйелер. A Pfaffian жүйесі арқылы көрсетілген 1-формалар жалғыз, бірақ теория мысалдың басқа түрлерін қамтиды дифференциалдық жүйе. Пфаффия жүйесі - бұл тегіс коллектордағы 1-формалар жиынтығы (оны табу үшін 0-ге тең болады) шешімдер жүйеге).

Дифференциалдық 1-формалардың жиынтығы берілген ${ displaystyle textstyle alpha _ {i}, i = 1,2, dots, k}$ бойынша ${ displaystyle textstyle n}$-өлшемді коллектор ${ displaystyle M}$, an интегралды коллектор импульстелген (міндетті түрде ендірілмеген) субманифольд, оның жанама кеңістігі әр нүктесінде орналасқан ${ displaystyle textstyle p in}$ әрқайсысы арқылы жойылады ${ displaystyle textstyle alpha _ {i}}$.

A максималды интегралды коллектор батырылған (міндетті түрде ендірілмеген) субманифольд болып табылады

${ displaystyle i: N ішкі жиын M}$

формалардағы шектеу картасының ядросы сияқты

${ displaystyle i ^ {*}: Omega _ {p} ^ {1} (M) rightarrow Omega _ {p} ^ {1} (N)}$

арқылы созылған ${ displaystyle textstyle alpha _ {i}}$ әр сәтте ${ displaystyle p}$ туралы ${ displaystyle N}$. Егер қосымша ${ displaystyle textstyle alpha _ {i}}$ сызықтық тәуелсіз, содан кейін ${ displaystyle N}$ бұл (${ displaystyle n-k}$) өлшемді.

Pfaffian жүйесі дейді толығымен интеграцияланған егер ${ displaystyle M}$ мойындайды а жапырақтану максималды интегралды коллекторлар бойынша. (Жапырақтың болмауы керек екенін ескеріңіз тұрақты; яғни жапырақ жапырақтары субманифольдтерді ендірмеуі мүмкін.)

Ан интегралдау шарты туралы шарт болып табылады ${ displaystyle alpha _ {i}}$ жеткілікті жоғары өлшемді интегралды субманифольдтер болатынына кепілдік беру.

Қажетті және жеткілікті жағдайлар

Үшін қажетті және жеткілікті жағдайлар толық интегралдылық Pfaffian жүйесінің Фробениус теоремасы. Бір нұсқада егер идеал болса деп айтылған ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ α жинауымен алгебралық жолмен түзіледі_мен сақинаның ішінде Ω (М) дифференциалды түрде жабық, басқаша айтқанда

${ displaystyle d { mathcal {I}} subset { mathcal {I}},}$

содан кейін жүйе а жапырақтану максималды интегралды коллекторлар бойынша. (Керісінше анықтамалардан айқын көрінеді).

Интеграцияланбайтын жүйенің мысалы

Әрбір Пфаффия жүйесі Фробениустың мағынасында толығымен интеграцияланбайды. Мысалы, келесі бір форманы қарастырайық қосулы R³ − (0,0,0):

${ displaystyle theta = z , dx + x , dy + y , dz.}$

Егер г.θ сына бұйымының қисаюымен θ біз шығарған идеалда болды

${ displaystyle theta wedge d theta = 0.}$

Бірақ тікелей есептеу береді

${ displaystyle theta wedge d theta = (x + y + z) , dx wedge dy wedge dz}$

бұл стандартты көлем пішінінің нөлдік еселігі R³. Сондықтан екі өлшемді жапырақ болмайды, және жүйе толығымен интеграцияланбайды.

Екінші жағынан, анықталған қисық үшін

${ displaystyle x = t, quad y = c, qquad z = e ^ {- t / c}, quad t> 0}$

сонда θ жоғарыда анықталғандай 0, демек қисық шешім ретінде оңай тексеріледі (яғни интегралды қисық ) кез-келген нөлдік тұрақтыға арналған жоғарыдағы Пфаффия жүйесі үшін в.

Қолданбалардың мысалдары

Жылы Риман геометриясы, біз ортогоналды табу мәселесін қарастыра аламыз кофе θ^меняғни, әр нүктеде котангенс кеңістігінің негізін құрайтын 1-формалар жиынтығы ${ displaystyle langle theta ^ {i}, theta ^ {j} rangle = delta ^ {ij}}$ жабық (dθ^мен = 0, мен = 1, 2, ..., n). Бойынша Пуанкаре леммасы, θ^мен жергілікті жерде d формасы боладых^мен кейбір функциялар үшін х^мен коллекторда, осылайша ашық жиынтықтың изометриясын қамтамасыз етіңіз М ашық ішкі жиынымен Rⁿ. Мұндай коллектор деп аталады жергілікті тегіс.

Бұл мәселе төмендегі сұраққа дейін азаяды кофе рамасы туралы М. Бізде осындай жабық кофрамма болды делік

${ displaystyle Theta = ( theta ^ {1}, dots, theta ^ {n}).}$

Егер бізде тағы бір кофраметр болса ${ displaystyle Phi = ( phi ^ {1}, нүктелер, phi ^ {n})}$, онда екі кофрамма ортогональды түрлендірумен байланысты болады

${ displaystyle Phi = M Theta}$

Егер байланыс 1-форма болса ω, онда бізде бар

${ displaystyle d Phi = omega wedge Phi}$

Басқа жақтан,

${ displaystyle { begin {aligned} d Phi & = (dM) wedge Theta + M wedge d Theta & = (dM) wedge Theta & = (dM) M ^ {- 1} wedge Phi. End {aligned}}}$

Бірақ ${ displaystyle omega = (dM) M ^ {- 1}}$ болып табылады Маурер-картандық форма үшін ортогональды топ. Сондықтан ол құрылымдық теңдеуге бағынады${ displaystyle d omega + omega wedge omega = 0,}$ және бұл тек қисықтық M: ${ displaystyle Omega = d omega + omega wedge omega = 0.}$Фробениус теоремасын қолданғаннан кейін, М коллекторы жергілікті жерде тегіс болады, егер оның қисықтығы жоғалып кетсе ғана.

Жалпылау

Көптеген жалпылау дифференциалдық жүйелердегі интегралдылық шарттарында бар, олар міндетті түрде бір формалармен жасалмайды. Олардың ішіндегі ең танымал болып табылады Картан-Келер теоремасы үшін жұмыс істейді нақты аналитикалық дифференциалдық жүйелер және Картан-Кураниши ұзарту теоремасы. Қараңыз Әрі қарай оқу толық ақпарат алу үшін. The Ньюландер-Ниренберг теоремасы күрделі құрылымға интегралдылық шарттарын береді.

Әрі қарай оқу

• Брайант, Черн, Гарднер, Голдшмидт, Гриффитс, Сыртқы дифференциалдық жүйелер, Математика ғылымдары ғылыми-зерттеу институтының басылымдары, Springer-Verlag, ISBN  0-387-97411-3
• Олвер, П., Эквиваленттілік, инварианттар және симметрия, Кембридж, ISBN  0-521-47811-1
• Иви, Т., Ландсберг, Дж.М., Жаңадан бастаушыларға арналған картан: жылжымалы рамалар мен сыртқы дифференциалдық жүйелер арқылы дифференциалдық геометрия, Американдық математикалық қоғам, ISBN  0-8218-3375-8
• Дунайский, М., Solitons, Instantons және Twistors, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-857063-9