Hartogss кеңейту теоремасы - Hartogss extension theorem - Wikipedia

Математикада дәл функциялар теориясында бірнеше күрделі айнымалылар, Хартогстың кеңею теоремасы туралы мәлімдеме болып табылады даралық туралы голоморфты функциялар бірнеше айнымалылар. Ресми емес, онда қолдау мұндай функциялардың ерекшеліктері бола алмайды ықшам, сондықтан бірнеше күрделі айнымалылар функциясының сингулярлық жиынтығы (еркін түрде) белгілі бір бағытта «шексіздікке кетуі» керек. Дәлірек, бұл ан оқшауланған даралық әрқашан алынбалы сингулярлық кез келген үшін аналитикалық функция туралы $n > 1$ күрделі айнымалылар. Бұл теореманың алғашқы нұсқасы дәлелденді Фридрих Хартогс,^[1] және бұл сияқты белгілі Хартогс леммасы және Хартогстың принципі: бұрын Кеңестік әдебиет,^[2] ол сондай-ақ аталады Осгуд-Браун теоремасы, кейінірек жасаған жұмысын мойындай отырып Артур Бартон Браун және Уильям Фогг Осгуд.^[3] Бірнеше айнымалы голоморфты функциялардың бұл қасиеті де аталады Хартогс феноменіАлайда, «Хартогс құбылысы» локациясы шешімдердің қасиетін анықтау үшін де қолданылады жүйелер туралы ішінара дифференциалды немесе конволюциялық теңдеулер Хартогтар типіндегі теоремалар.^[4]

Тарихи нота

Түпнұсқа дәлел келтірілген Фридрих Хартогс пайдаланып, 1906 ж Кошидің интегралдық формуласы функциялары үшін бірнеше күрделі айнымалылар.^[1] Бүгінгі күні әдеттегі дәлелдеу екіге де сенеді Бохнер – Мартинелли – Коппельман формуласы немесе біртекті емес шешім Коши-Риман теңдеулері ықшам қолдауымен. Соңғы тәсілге байланысты Леон Эренпрайс оны қағазда кім бастаған (Эренпрейс 1961 ж ). Бұл нәтиженің тағы бір қарапайым дәлелі келтірілген Гаэтано Фичера қағазда (Fichera 1957 ж ) шешімін қолдану арқылы Дирихле мәселесі үшін голоморфты функциялар бірнеше айнымалылардың және соған байланысты тұжырымдаманың CR-функциясы:^[5] кейінірек ол теореманы белгілі бір классқа дейін кеңейтті ішінара дифференциалдық операторлар қағазда (Fichera 1983 ж ), ал оның идеяларын кейін Джулиано Братти одан әрі зерттеді.^[6] Сонымен қатар Жапония теориясының мектебі ішінара дифференциалдық операторлар Акира Канеконың елеулі үлесімен осы тақырыпта көп жұмыс жасады.^[7] Олардың тәсілі пайдалану болып табылады Эренпрейстің негізгі принципі.

Хартогс феномені

Бірнеше айнымалыға ие, бірақ бір айнымалыға жатпайтын құбылыс деп аталады Хартогс феномені, бұл Хартогстың кеңею теоремасы және голоморфияның домені, демек бірнеше күрделі айнымалылар теориясы.

Мысалы, екі айнымалыда интерьер доменін қарастырыңыз

{ displaystyle H _ { varepsilon} = {z = (z_ {1}, z_ {2}) in Delta ^ {2}: | z_ {1} | < varepsilon { text {or} } 1- varepsilon <| z_ {2} | }}

екі өлшемді полидиске ${ displaystyle Delta ^ {2} = {z in mathbb {C} ^ {2}; | z_ {1} | <1, | z_ {2} | <1 }}$ қайда ${ displaystyle 0 < varepsilon <1}$ .

Теорема Хартогс (1906): кез-келген голоморфты функциялар ${ displaystyle f}$ қосулы ${ displaystyle H _ { varepsilon}}$ аналитикалық түрде жалғасуда ${ displaystyle Delta ^ {2}}$ . Атап айтқанда, голоморфты функция бар ${ displaystyle F}$ қосулы ${ displaystyle Delta ^ {2}}$ осындай ${ displaystyle F = f}$ қосулы ${ displaystyle H _ { varepsilon}}$ .

Шындығында Коши интегралдық формуласы біз кеңейтілген функцияны аламыз ${ displaystyle F}$ . Барлық голоморфтық функциялар полидискке дейін аналитикалық түрде жалғасады, бұл бастапқы холоморфтық функция анықталған аймақтан үлкенірек. Мұндай құбылыстар ешқашан бір айнымалы жағдайында болмайды.

Ресми мәлімдеме

Келіңіздер

f

болуы а голоморфтық функция үстінде орнатылды

G \ Қ

, қайда

G

ашық ішкі жиыны болып табылады

C n

(

n \geq 2

) және

Қ

ықшам ішкі жиыны болып табылады

G

. Егер толықтыру

G \ Қ

қосылады, содан кейін

f

бірегей голоморфты функцияға дейін кеңейтілуі мүмкін

G

.

Бір өлшемдегі қарсы мысалдар

Теорема қашан орындалмайды $n = 1$ . Мұны көру үшін функцияны қарастыру жеткілікті $f (з) = з -1$ , ол анық голоморфты $C \ {0},$ бірақ голоморфты функция ретінде жалғастыруға болмайды $C$ . Демек, Хартогс құбылысы - бұл бір және бірнеше күрделі айнымалылардың функциялар теориясының айырмашылығын көрсететін қарапайым құбылыс.

Ескертулер

^ ^а ^б Түпнұсқа қағазын қараңыз Хартогс (1906) және әр түрлі тарихи зерттеулерде оның сипаттамасы Осгуд (1963), 56-59 б.), Севери (1958), 111–115 бб.) және Струппа (1988), 132-134 б.). Атап айтқанда, б. Осы соңғы сілтемеде. 132, Автор анық жазады: - «Тақырыбында көрсетілгендей (Хартогс 1906 ж ), және оқырман көп ұзамай көретін болады, дәлелдеудің негізгі құралы бұл Коши интегралдық формуласы ".
^ Мысалға қараңыз Владимиров (1966, б. 153), бұл оқырманды кітапқа сілтеме жасайды Фукс (1963, б. 284) дәлелдеу үшін (дегенмен, бұрынғы сілтемеде дәлелдеу 324-бетте деп қате көрсетілген).
^ Қараңыз Қоңыр (1936) және Осгуд (1929).
^ Қараңыз Фичера (1983) және Братти (1986a) (Bratti 1986b ).
^ Фичераның проф. Сонымен қатар қағаз жасау дәуірі (Fichera 1957 ж ) көптеген мамандардың назарынан тыс қалған сияқты бірнеше күрделі айнымалылар функцияларының теориясы: қараңыз Диапазон (2002) осы саладағы көптеген маңызды теоремалардың дұрыс атрибуциясы үшін.
^ Қараңыз Братти (1986a) (Bratti 1986b ).
^ Оның қағазын қараңыз (Канеко 1973 ж ) және ондағы сілтемелер.

Пайдаланылған әдебиеттер

Тарихи сілтемелер

Фукс, Б. (1963), Бірнеше күрделі айнымалылардың аналитикалық функциялары теориясымен таныстыру, Математикалық монографиялардың аудармалары, 8, Providence, RI: Американдық математикалық қоғам, VI + 374 бет, ISBN 9780821886441, МЫРЗА 0168793, Zbl 0138.30902.
Осгуд, Уильям Фогг (1966) [1913], Бірнеше күрделі айнымалылар функциясының теориясындағы тақырыптар (қараусыз және түзетілген ред.), Нью-Йорк: Довер, IV + 120 бет, JFM 45.0661.02, МЫРЗА 0201668, Zbl 0138.30901.
Рэнж, Р.Майкл (2002), «Көпөлшемді кешенді талдаудағы экстенсивтік құбылыстар: тарихи жазбаны түзету», Математикалық интеллект, 24 (2): 4–12, дои:10.1007 / BF03024609, МЫРЗА 1907191. Теориясындағы кейбір нақты емес мәлімдемелерді түзететін тарихи құжат бірнеше айнымалылардың голоморфты функциялары, әсіресе жарналарға қатысты Гаэтано Фичера және Франческо Севери.
Севери, Франческо (1931), «Risoluzione del problema generale di Dirichlet per le funzioni biarmoniche», Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 6 серия (итальян тілінде), 13: 795–804, JFM 57.0393.01, Zbl 0002.34202. Бұл бірінші шешім, онда жалпы шешім Дирихле мәселесі үшін плурихармониялық функциялар жалпыға бірдей беріледі нақты аналитикалық мәліметтер нақты аналитикалық беткі қабат. Тақырыптың аудармасы келесідей оқылады: - «Бихармониялық функцияларға арналған жалпы Дирихле есебін шешу".
Севери, Франческо (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse - Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica in Alta Matematica in Roman (итальян тілінде), Падова: CEDAM - Casa Editrice Dott. Антонио Милани, Zbl 0094.28002. Тақырыптың аудармасы: - «Бірнеше күрделі айнымалылардың аналитикалық функциялары туралы дәрістер - 1956–57 жылдары Римдегі Istituto Nazionale di Alta Matematica-да дәріс оқыды«. Бұл кітап Франческо Севери өткізген курстан алынған дәріс жазбаларынан тұрады Istituto Nazionale di Alta Matematica (қазіргі уақытта оның атымен аталады), және қосымшаларын қамтиды Энцо Мартинелли, Джованни Баттиста Рицца және Марио Бенедикти.
Струппа, Даниэль С. (1988), «Хартогс теоремасының алғашқы сексен жылы», Seminari di Geometria 1987–1988 жж, Болонья: Болон университеті - Dipartimento di Matematica, 127–209 бет, МЫРЗА 0973699, Zbl 0657.35018.
Владимиров, В. (1966), Эренпрейс, Л. (ред.), Бірнеше күрделі айнымалы функциялар теориясының әдістері. Н.Н. алғы сөзімен Боголюбов, Кембридж -Лондон: М.И.Т. Түймесін басыңыз, XII бет + 353, МЫРЗА 0201669, Zbl 0125.31904 (Централблат түпнұсқаға шолу Орыс басылым). Теориясының алғашқы заманауи монографияларының бірі бірнеше күрделі айнымалылар, сол кезеңнің басқаларынан ерекшеленуі, кең қолданылуына байланысты жалпыланған функциялар.

Ғылыми сілтемелер

Бохнер, Саломон (1943 ж. Қазан), «Грин формуласының көмегімен аналитикалық және мероморфтық жалғасу», Математика жылнамалары, Екінші серия, 44 (4): 652–673, дои:10.2307/1969103, JSTOR 1969103, МЫРЗА 0009206, Zbl 0060.24206.
Бохнер, Саломон (1952 ж. 1 наурыз), «ішінара дифференциалдық теңдеулер және аналитикалық жалғасулар», PNAS, 38 (3): 227–230, Бибкод:1952PNAS ... 38..227B, дои:10.1073 / pnas.38.3.227, МЫРЗА 0050119, PMC 1063536, PMID 16589083, Zbl 0046.09902.
Братти, Джулиано (1986а), «Fichera relativo al fenomeno di Hartogs ұсынысы» [Хартогс құбылысына қатысты Фичераның мысалы туралы], Rendiconti della Accademia Nazionale delle Scienze Detta dei XL, 5 серия (итальян және ағылшын тілдерінде), X (1): 241–246, МЫРЗА 0879111, Zbl 0646.35007, мұрағатталған түпнұсқа 2011-07-26
Братти, Джулиано (1986б), «Fichera relativo al fenomeno di Hartogs per sistem differenziali a coefficenti costanti» [P.D.E. жүйелері үшін Fichera теоремасын кеңейту тұрақты коэффициенттермен, Хартогс құбылысына қатысты], Rendiconti della Accademia Nazionale delle Scienze Detta dei XL, 5 серия (итальян және ағылшын тілдерінде), X (1): 255–259, МЫРЗА 0879114, Zbl 0646.35008, мұрағатталған түпнұсқа 2011-07-26
Братти, Джулиано (1988), «Su di un teorema di Hartogs» [Хартогс теоремасы туралы], Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova (итальян тілінде), 79: 59–70, МЫРЗА 0964020, Zbl 0657.46033
Браун, Артур Б. (1936), «Белгілі бір аналитикалық жалғасулар мен аналитикалық гомеоморфизмдер туралы», Duke Mathematical Journal, 2: 20–28, дои:10.1215 / S0012-7094-36-00203-X, JFM 62.0396.02, МЫРЗА 1545903, Zbl 0013.40701
Эренпрейс, Леон (1961), «Хартог теоремасының жаңа дәлелі және кеңеюі», Американдық математикалық қоғамның хабаршысы, 67 (5): 507–509, дои:10.1090 / S0002-9904-1961-10661-7, МЫРЗА 0131663, Zbl 0099.07801. Хартогс құбылысы теориясындағы іргелі еңбек. Тақырыптағы типографиялық қате қағаздың түпнұсқасында көрсетілгендей қайта шығарылады.
Фичера, Гаетано (1957), «Caratterizzazione della traccia, sulla frontiera di un campo, di una funzione analitica di più variabili complesse», Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 8 серия (итальян тілінде), 22 (6): 706–715, МЫРЗА 0093597, Zbl 0106.05202. Теориядағы дәуірлік қағаз CR-функциялары, онда Дирихле проблемасы бірнеше күрделі айнымалылардың аналитикалық функциялары жалпы мәліметтер үшін шешіледі. Тақырыптың аудармасы келесідей оқылады: - «Бірнеше күрделі айнымалылардың аналитикалық функциясының, домен шекарасындағы іздің сипаттамасы".
Фичера, Гаетано (1983), «Sul fenomeno di Hartogs per gli operatori lineari alle derivate parziali», Rendiconti Dell 'Istituto Lombardo di Scienze e Lettere. Scienze Matemàtiche e Applications, А сериясы. (итальян тілінде), 117: 199–211, МЫРЗА 0848259, Zbl 0603.35013. Тақырыптың ағылшынша аудармасы келесідей оқылады: - «Сызықтық парциалды дифференциалдық операторларға арналған Хартогс құбылысы".
Фуэтер, Рудольф (1939–1940), «Über einen Hartogs'schen Satz» [Хартогс теоремасы туралы], Mathematici Helvetici түсініктемелері (неміс тілінде), 12 (1): 75–80, дои:10.1007 / bf01620640, JFM 65.0363.03, Zbl 0022.05802, мұрағатталған түпнұсқа 2011-10-02, алынды 2011-01-16. Сайтында қол жетімді Мөрлер порталы.
Фуэтер, Рудольф (1941–1942), «Hberogs's Satz in der Theorie der analytischen Funktionen von» $n$ кешенді Variablen « [Аналитикалық функциялар теориясындағы Хартогс теоремасы туралы $n$ күрделі айнымалылар], Mathematici Helvetici түсініктемелері (неміс тілінде), 14 (1): 394–400, дои:10.1007 / bf02565627, JFM 68.0175.02, МЫРЗА 0007445, Zbl 0027.05703, мұрағатталған түпнұсқа 2011-10-02, алынды 2011-01-16 (тағы қараңыз) Zbl 0060.24505, Э. Тросттың бірнеше құжаттарына жинақталған шолу). Сайтында қол жетімді Мөрлер порталы.
Хартогс, Фриц (1906), «Einige Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel bei Funktionen mehrerer Veränderlichen.», Sitzungsberichte der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München, Mathematisch-Physikalische Klasse (неміс тілінде), 36: 223–242, JFM 37.0443.01.
Хартогс, Фриц (1906a), «Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlichen, Darstellung derselber durch Reihen welche nach Potentzen einer Veränderlichen fortschreiten», Mathematische Annalen (неміс тілінде), 62: 1–88, дои:10.1007 / BF01448415, JFM 37.0444.01. Сайтында қол жетімді DigiZeitschriften.
Хормандер, Ларс (1990) [1966], Бірнеше айнымалылардағы кешенді талдауға кіріспе, Солтүстік-Голландия математикалық кітапханасы, 7 (3-ші редакцияланған), Амстердам – Лондон – Нью-Йорк – Токио: Солтүстік-Голландия, ISBN 0-444-88446-7, МЫРЗА 1045639, Zbl 0685.32001.
Канеко, Акира (1973 ж. 12 қаңтары), «тұрақты коэффициенттері бар дербес дифференциалдық теңдеулердің тұрақты шешімдерін жалғастыру туралы», Жапония академиясының материалдары, 49 (1): 17–19, дои:10.3792 / pja / 1195519488, МЫРЗА 0412578, Zbl 0265.35008, қол жетімді Евклид жобасы.
Мартинелли, Энцо (1942–1943), «Hartogs teorema di R. Fueter» [Хартогс теоремасын Р. Фуэтердің дәлелі бойынша], Mathematici Helvetici түсініктемелері (итальян тілінде), 15 (1): 340–349, дои:10.1007 / bf02565649, МЫРЗА 0010729, Zbl 0028.15201, мұрағатталған түпнұсқа 2011-10-02, алынды 2011-01-16. Сайтында қол жетімді Мөрлер порталы.
Осгуд, В.Ф. (1929), Lehrbuch der Funktionentheorie. II, Teubners Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiet der matemischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen (неміс тілінде), Bd. ХХ - 1 (екінші басылым), Лейпциг: B. G. Teubner, VIII + 307 бет, ISBN 9780828401821, JFM 55.0171.02.
Севери, Франческо (1932), «Una proprietà fondamentale dei campi di olomorfismo di una funzione analitica di una variabile reale e di una variabile complessa», Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 6 серия (итальян тілінде), 15: 487–490, JFM 58.0352.05, Zbl 0004.40702. Тақырыптың ағылшынша аудармасы келесідей оқылады: - «Бір нақты айнымалы мен бір күрделі айнымалы аналитикалық функцияның голоморфия аймағының негізгі қасиеті".
Севери, Франческо (1942–1943), «Hartogs ұсынған теоремасы» [Хартогс теоремасы туралы], Mathematici Helvetici түсініктемелері (итальян тілінде), 15 (1): 350–352, дои:10.1007 / bf02565650, МЫРЗА 0010730, Zbl 0028.15301, мұрағатталған түпнұсқа 2011-10-02, алынды 2011-06-25. Сайтында қол жетімді Мөрлер порталы.

Сыртқы сілтемелер

Chirka, E. M. (2001) [1994], «Хартогс теоремасы», Математика энциклопедиясы, EMS Press
«Хартогс теоремасының бір өлшемдегі сәтсіздігі (қарсы мысал)». PlanetMath.
Хартогс теоремасы кезінде PlanetMath.
«Хартогс теоремасының дәлелі». PlanetMath.

[hartogs-1] а ^б Түпнұсқа қағазын қараңыз Хартогс (1906) және әр түрлі тарихи зерттеулерде оның сипаттамасы Осгуд (1963), 56-59 б.), Севери (1958), 111–115 бб.) және Струппа (1988), 132-134 б.). Атап айтқанда, б. Осы соңғы сілтемеде. 132, Автор анық жазады: - «Тақырыбында көрсетілгендей (Хартогс 1906 ж ), және оқырман көп ұзамай көретін болады, дәлелдеудің негізгі құралы бұл Коши интегралдық формуласы ".

[2] Мысалға қараңыз Владимиров (1966, б. 153), бұл оқырманды кітапқа сілтеме жасайды Фукс (1963, б. 284) дәлелдеу үшін (дегенмен, бұрынғы сілтемеде дәлелдеу 324-бетте деп қате көрсетілген).

[3] Қараңыз Қоңыр (1936) және Осгуд (1929).

[4] Қараңыз Фичера (1983) және Братти (1986a) (Bratti 1986b ).

[5] Фичераның проф. Сонымен қатар қағаз жасау дәуірі (Fichera 1957 ж ) көптеген мамандардың назарынан тыс қалған сияқты бірнеше күрделі айнымалылар функцияларының теориясы: қараңыз Диапазон (2002) осы саладағы көптеген маңызды теоремалардың дұрыс атрибуциясы үшін.

[6] Қараңыз Братти (1986a) (Bratti 1986b ).

[7] Оның қағазын қараңыз (Канеко 1973 ж ) және ондағы сілтемелер.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]