Грушко теоремасы - Grushko theorem

Ішінде математикалық тақырыбы топтық теория, Грушко теоремасы немесе Грушко - Нейман теоремасы деген теорема болып табылады дәреже (яғни ең кішкентай) түпкілікті а генератор жиынтығы ) а тегін өнім екі топтың екі бос фактордың дәрежесінің қосындысына тең. Теорема алғаш рет 1940 жылы Грушконың мақаласында алынған[1] 1943 жылғы мақалада, содан кейін Нейман.[2]

Теореманың тұжырымы

Келіңіздер A және B болуы ақырғы құрылған топтар және рұқсат етіңіз AB болуы тегін өнім туралы A және B. Содан кейін

дәреже (AB) = дәреже (A) + дәреже (B).

Бұл дәреже (AB≤ дәреже (A) + дәреже (B) егер X ақырлы болса генератор жиынтығы туралы A және Y шекті генератор жиынтығы B содан кейін XY - бұл генератор жиынтығы AB және бұл |XY|≤|X| + |Y|. Қарама-қарсы теңсіздік, дәреже (AB≥ дәреже (A) + дәреже (B), дәлелдеуді қажет етеді.

Грушко теоремасының дәлірек нұсқасын Нейман емес, дәлелдеді Нильсен эквиваленттілігі. Онда егер М = (ж1, ж2, ..., жn) болып табылады nэлементтерінің байланысы G = AB осындай М генерациялайды G, <ж1, ж2, ..., жn> = G, содан кейін М Нильсен эквиваленті болып табылады G дейін n-пішін

M ' = (а1, ..., ак, б1, ..., бnк) қайда {а1, ..., ак}⊆A - бұл генератор жиынтығы A және қайда {б1, ..., бnк}⊆B - бұл генератор жиынтығы B. Атап айтқанда, дәреже (A) ≤ к, дәреже (B) ≤ n − к және дәреже (A) + дәреже (B) ≤ к + (n − к) = n. Егер біреу алады М үшін минималды генератор кортежі болу керек G, яғни n = дәреже (G), бұл сол дәрежені білдіреді (A) + дәреже (B≤ дәреже (G). Қарама-қарсы теңсіздік болғандықтан, дәреже (G≤ дәреже (A) + дәреже (B), анық, сол дәрежеден шығады (G) = дәреже (A) + дәреже (B), талап етілгендей.

Тарих және жалпылау

Грушконың түпнұсқа дәлелдерінен кейін (1940) және Нейман (1943), одан кейінгі Грушко теоремасының көптеген балама дәлелдемелері, оңайлатулары және жалпыламалары болды. Грушконың түпнұсқа дәлелінің жақын нұсқасы 1955 ж. Кітабында келтірілген Курош.[3]

Бастапқы дәлелдер сияқты, Линдонның дәлелі (1965)[4] ұзындық функцияларына негізделген, бірақ айтарлықтай жеңілдетілген. 1965 жылғы қағаз Арқалықтар[5] Грушко теоремасының айтарлықтай оңайлатылған топологиялық дәлелін келтірді.

Зисчанның 1970 жылғы мақаласы[6] берді Нильсен эквиваленттілігі Грушко теоремасының нұсқасы (жоғарыда айтылған) және Грушко теоремасының кейбір жалпыламаларын ұсынды біріктірілген тегін өнімдер. Әдістерімен шабыттанған Скотт (1974) Грушко теоремасының тағы бір топологиялық дәлелін келтірді 3-коллекторлы топология[7] Имрих (1984)[8] Грушко теоремасының шексіз көп факторлары бар ақысыз өнімдерге нұсқасын берді.

1976 жылғы Чисвеллдің мақаласы[9] техникасын қолданған Сталлингстің 1965 жылғы дәлелі бойынша жасалған Грушконың теоремасының салыстырмалы түрде тікелей дәлелі келтірілді. Басс-Серре теориясы. Дәлел тікелей машинаны шабыттандырды бүктемелер ағаштардағы топтық әрекеттер үшін және топтардың графиктері және Дикстің Грушко теоремасын дәлірек дәлелдеуі (мысалы, қараңыз)[10][11][12]).

Грушконың теоремасы, белгілі бір мағынада, Данвуди теориясының бастапқы нүктесі болып табылады қол жетімділік үшін түпкілікті құрылды және түпкілікті ұсынылған топтар. Еркін факторлардың қатары еркін өнімнің дәрежесінен кіші болғандықтан, Грушконың теоремасы шекті түрде құрылған топтың қайталанған бөліну процесін білдіреді. G ақысыз өнім ретінде шектеулі қадамдармен аяқталуы керек (дәлірек айтсақ, ең жоғары дәрежеде (G) қадамдар). Қайталауға арналған табиғи сұрақ бар бөлшектер ақырғы топшаларға қарағанда ақырғы құрылған топтар. Данвуди егер топ болса, мұндай процесс әрдайым тоқтатылуы керек екенін дәлелдеді G түпкілікті ұсынылған[13] бірақ егер мәңгі жалғасуы мүмкін G түпкілікті түрде жасалады, бірақ шектеулі түрде ұсынылмайды.[14]

Машиналарын қолданумен Грушко теоремасын айтарлықтай жалпылаудың алгебралық дәлелі топоидтар Хиггинс (1966) берген.[15] Хиггинс теоремасы топтардан басталады G және B еркін ыдырауымен G = ∗мен Gмен, B = ∗мен Bмен және f : GB морфизм f(Gмен) = Bмен барлығына мен. Келіңіздер H кіші тобы болуы керек G осындай f(H) = B. Содан кейін H ыдырауы бар H = ∗мен Hмен осындай f(Hмен) = Bмен барлығына мен. Дәлелдемелер мен өтінімдердің толық мәліметтерін мына жерден табуға болады.[10][16]

Грушко ыдырау теоремасы

Бастапқы Грушко теоремасының пайдалы нәтижесі деп аталады Грушко ыдырау теоремасы. Бұл кез-келген нейтривиалды емес екенін айтады түпкілікті құрылған топ G ретінде ыдырауға болады тегін өнім

G = A1A2∗...∗AрFс, қайда с ≥ 0, р ≥ 0,

мұнда топтардың әрқайсысы Aмен нивривиальды, еркін ажыратылмайтын (яғни оны еркін өнім ретінде ажырату мүмкін емес) және шексіз циклді емес, және Fс Бұл тегін топ дәреже сСонымен қатар, берілген үшін G, топтар A1, ..., Aр олардың орнына бірегей болып табылады конъюгация сабақтары жылы G (және, атап айтқанда, изоморфизм бұл топтардың типтері ауыстыруға дейін ерекше) және сандар с және р бірегей болып табылады.

Дәлірек айтқанда, егер G = B1∗...∗BкFт тағы бір осындай ыдырау к = р, с = тжәне бар a ауыстыру σ∈Sр әрқайсысы үшін мен=1,...,р кіші топтар Aмен және Bσ (мен) болып табылады конъюгат жылы G.

Деп аталатын жоғарыда аталған ыдыраудың болуы Грушконың ыдырауы туралы G, бұл Грушко теоремасының дереу нәтижесі, ал бірегейлік үшін қосымша аргументтер қажет (мысалы, қараңыз)[17]).

Топтардың нақты сыныптары үшін Грушко декомпозициясын алгоритмдік жолмен есептеу қиын мәселе болып табылады, ол бірінші кезекте берілген топтың еркін ыдырайтындығын анықтауға мүмкіндік береді. Топтардың кейбір сыныптары үшін оң нәтижелер, мысалы, бұралусыз сөз-гиперболалық топтар, белгілі сыныптар салыстырмалы түрде гиперболалық топтар,[18] ақырлы құрылған еркін топтардың ақырлы графиктерінің іргелі топтары[19] және басқалар.

Грушконың ыдырау теоремасы - топтың теоретикалық аналогы Кнезердің негізгі ыдырау теоремасы үшін 3-коллекторлы жабық 3-коллекторды а түрінде ерекше түрде ыдыратуға болады дейді қосылған сома төмендетілмейтін 3-коллекторлы.[20]

Бас-Серре теориясын қолдана отырып дәлелдеу сызбасы

Төменде ағаштарға әсер ететін топтар үшін бүктеу техникасын қолдануға негізделген Грушко теоремасының дәлелдемесінің нобайы келтірілген (қараңыз) [10][11][12] осы дәлелді қолданатын толық дәлелдер үшін).

Келіңіздер S={ж1,....,жn} үшін ақырғы генератор жиынтығы болуы керек G=AB мөлшері |S|=n= дәреже (G). Түсіну G ретінде топтар графигінің негізгі тобы Y бұл шың топтары бар циклсыз бір шеті A және B және тривиальды жиек тобымен. Келіңіздер болуы Бас-серр жабатын ағаш үшін Y. Келіңіздер F=F(х1,....,хn) болуы тегін топ ақысыз негізде х1,....,хn және let рұқсат етіңіз0:FG болуы гомоморфизм осылай φ0(хмен)=жмен үшін мен=1,...,n. Түсіну F ретінде іргелі топ график З0 бұл сына n элементтеріне сәйкес келетін шеңберлер х1,....,хn. Біз сондай-ақ ойланамыз З0 сияқты топтардың графигі негізгі графикпен З0 және тривиальды шыңдар мен шеткі топтар. Содан кейін әмбебап қақпақ туралы З0 бас-серр жабын ағашы З0 сәйкес келеді. Φ қарастырайық0- эквиваленттік карта осылайша ол шыңдарды шыңдарға, шеттерін шеткі жолдарға жібереді. Бұл карта инъекциялық емес, өйткені картаның көзі де, мақсаты да ағаштар болғандықтан, бұл карта «бүктемелер» қайнар көзіндегі кейбір жұптар. The топтардың графигі З0 үшін бастапқы жуықтау ретінде қызмет етеді Y.

Енді біз «жиналмалы қозғалыстар» дәйектілігін орындай бастаймыз З0 (және оның Bass-Serre жабын ағашында) топтардың графиктері З0, З1, З2, ...., жақсырақ жақсырақтарды құрайды Y. Топтардың графиктерінің әрқайсысы Зj тривиальды жиек топтары бар және келесі қосымша құрылыммен бірге жүреді: оның әр нивривиалды емес шыңдар тобы үшін сол шың тобының ақырлы генератор жиынтығы тағайындалған. The күрделілік c(Зj) of Зj бұл оның шың топтарының генератор жиынтықтары мен еркін топтың дәрежелерінің қосындысы π1(Зj). Бастапқы жуықтау графигі үшін бізде бар c(З0)=n.

Қозғалмалы қозғалыстар Зj дейін Зj+1 екі түрдің бірі болуы мүмкін:

  • жалпы бастапқы шыңмен негізгі графиктің екі шетін анықтайтын бүктемелер, бірақ түпкі шыңдары бір шетке дейін; мұндай бүктеме орындалған кезде, шың топтарының генератор жиынтығы мен терминал жиектері жаңа шың тобының генератор жиынтығына «біріктіріледі»; мұндай қозғалыс кезінде негізгі графиктің іргелі тобының дәрежесі өзгермейді.
  • жалпы шыңдары және ортақ шыңдары бар екі жиекті бір жиекке анықтайтын бүктемелер; мұндай қозғалыс негізгі графиктің іргелі тобының дәрежесін 1-ге төмендетеді және құлап жатқан графиктің циклына сәйкес келетін элемент шың топтарының біреуінің генератор жиынтығына «қосылады».

Бүктелген қозғалыстардың күрделілігін арттырмайтынын, бірақ олардың жиектерінің санын азайтатынын көреді Зj. Сондықтан бүктеу процесі топтардың графигі бар ақырлы қадамдарда аяқталуы керек Зк оны енді бүктеу мүмкін емес. Бұл негізгіден туындайды Басс-Серре теориясы деген ойлар Зк іс жүзінде топтардың шетіне тең болуы керек Y және сол Зк шың топтары үшін ақырғы генератор жиынтығымен жабдықталған A және B. Осы генерациялайтын жиындардың өлшемдерінің қосындысы -ның күрделілігі болып табылады Зк сондықтан ол аз немесе тең c(З0)=n. Бұл шың топтары қатарларының қосындысын білдіреді A және B ең көп дегенде n, бұл дәреже (A) + дәреже (B≤ранк (G), талап етілгендей.

Сталингтің дәлелі

Арқалықтар Грушко теоремасының дәлелі келесі леммадан туындайды.

Лемма

Келіңіздер F ақырғы түрде жасалуы мүмкін тегін топ, бірге n генераторлар. Келіңіздер G1 және G2 шектеулі түрде ұсынылған екі топ болыңыз. Сурьективті гомоморфизм бар делік , содан кейін екі кіші топ бар F1 және F2 туралы F бірге және осындай .

Дәлел: Біз дәл осылай деп дәлел келтіреміз F сәйкестендірілген генератор жоқ , егер мұндай генераторлар болса, оларды кез-келгеніне қосуға болады немесе .

Дәлелдеу кезінде келесі жалпы нәтижелер қолданылады.

1. Бір немесе екі өлшемді өлшем бар CW кешені, З бірге іргелі топ F. Авторы Ван Кампен теоремасы, сына n үйірмелер осындай кеңістіктің бірі болып табылады.

2. Екі кешен бар қайда - бұл ұяшықтағы нүкте X осындай X1 және X2 іргелі топтары бар екі кешен болып табылады G1 және G2 сәйкесінше. Ван Кампен теоремасы бойынша бұл негізгі топтың екенін білдіреді X болып табылады .

3. Карта бар сондықтан индукцияланған карта іргелі топтармен бірдей

Ыңғайлы болу үшін белгілейік және . Генераторы болмағандықтан F карталарға сәйкестендіру, жиынтық ешқандай ілмектер жоқ, өйткені егер олар болса, олар шеңберлерге сәйкес келеді З қай картаға , бұл өз кезегінде генераторларға сәйкес келеді F жеке куәлікке баратын. Сонымен, компоненттері келісім шарт бір ғана компоненті бар, Ван Кампен теоремасы бойынша, біз келесі жағдайда жасаймыз:.

Жалпы дәлелдеу қысқартумен жүреді З оған гомотоптық эквивалентті, бірақ құрамдас бөліктері аз кеңістікке , осылайша компоненттеріне индукция арқылы .

Мұндай қысқарту З байланыстырушы байланыстар бойымен дискілерді бекіту арқылы жасалады.

Біз карта деп атаймыз а міндетті галстук егер ол келесі қасиеттерді қанағаттандырса

1. Бұл монохроматикалық яғни немесе

2. Бұл галстук яғни және түрлі компоненттерінде жатыр .

3. Бұл нөл яғни нөлдік гомотопиялық болып табылады X.

Осындай міндетті галстук бар деп есептейік. Келіңіздер міндетті галстук болу.

Картаны қарастырыңыз берілген . Бұл карта гомеоморфизм оның кескініне. Кеңістікті анықтаңыз сияқты

қайда:

Бос орын екенін ескеріңіз Z ' деформация З Біз алдымен кеңейтеміз f функцияға сияқты

Бастап нөлдік гомотоптық, одан әрі дискінің ішкі бөлігіне дейін созылады, сондықтан .Келіңіздер i = 1,2.Қалай және әр түрлі компоненттерде орналасады , қарағанда бір кем компоненті бар .

Тұтқыр галстуктың құрылысы

Байланыстырушы галстук екі сатыдан тұрады.

1-қадам: А салу нөлдік галстук:

Картаны қарастырыңыз бірге және түрлі компоненттерінде . Бастап сурьективті, циклдан шығады γ '(1) -ге негізделеді және гомотоптық жағынан баламалы болып табылады X.Егер қисықты анықтайтын болсақ сияқты барлығына , содан кейін нөлдік галстук.

2-қадам: Нольдік галстук жасау монохроматикалық:

Галстук ретінде жазылуы мүмкін қайда - қисық немесе егер солай болса ішінде , содан кейін ішінде және керісінше. Бұл сонымен бірге оны білдіреді - негізделген цикл б жылы X. Сонымен,

Демек, кейбіреулер үшін j. Егер бұл галстук, онда бізде монохроматтық, нөлдік галстук бар. Егер тең емес, содан соң нүктелері сол компонентте орналасқан . Бұл жағдайда біз ауыстырамыз жолымен , айт . Бұл жолға қосымша қосылуы мүмкін және біз жаңа нөлдік галстук аламыз

, қайда .

Осылайша, индукция бойынша м, біз міндетті галстуктың бар екендігін дәлелдейміз.

Грушко теоремасының дәлелі

Айталық арқылы жасалады . Келіңіздер еркін топ болыңыз - генераторлар, яғни. . Гомоморфизмді қарастырайық берілген , қайда .

Лемма бойынша еркін топтар бар және бірге осындай және . Сондықтан, және .Сондықтан,

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ I. A. Грушко, Топтардың еркін көбейтіндісі негізінде, Математический Сборник, 8 том (1940), 169–182 бб.
  2. ^ Б. Х. Нейман. Тегін өнімнің генераторларының саны туралы. Лондон математикалық қоғамының журналы, 18 том, (1943), 12–20 б.
  3. ^ Курош, Топтар теориясы. Том. I. Аударылған және өңделген К.А.Гирш. Chelsea Publishing Co., Нью-Йорк, Нью-Йорк, 1955
  4. ^ Роджер С. Линдон, «Грушконың теоремасы». Американдық математикалық қоғамның еңбектері, т. 16 (1965), 822–826 бб.
  5. ^ Джон Р. Сталлингс. «Грушконың тегін өнімдер туралы теоремасының топологиялық дәлелі». Mathematische Zeitschrift, т. 90 (1965), 1-8 бет.
  6. ^ Heiner Zieschang. «Über die Nielsensche Kürzungsmethode in Freien Produkten mit Amalgam.» Mathematicae өнертабыстары, т. 10 (1970), 4-37 бб
  7. ^ Скотт, Питер. 3-коллекторлы кіріспе. Математика кафедрасы, Мэриленд университеті, Дәріс хат, № 11. Математика кафедрасы, Мэриленд университеті, Колледж паркі, Мэриленд, 1974 ж.
  8. ^ Вильфрид Имрих «Грушконың теоремасы». Archiv der Mathematik (Базель), т. 43 (1984), жоқ. 5, 385-387 беттер
  9. ^ I. M. Chiswell, Грушко-Нейман теоремасы. Proc. Лондон математикасы. Soc. (3) 33 (1976), жоқ. 3, 385-400.
  10. ^ а б c Уоррен Дикс. Топтар, ағаштар және проективті модульдер. Математикадағы дәріс жазбалары 790, Springer, 1980 ж
  11. ^ а б Джон Р. Сталлингс. «G ағаштарының бүктемелері». Арборлық топтар теориясы (Беркли, Калифорния, 1988), 355–368 б., Математика ғылымдары ғылыми-зерттеу институтының басылымдары, 19. Спрингер, Нью-Йорк, 1991; ISBN  0-387-97518-7
  12. ^ а б Илья Капович, Ричард Вайдманн және Алексей Миасников. Бүктемелер, топтардың графиктері және мүшелік проблемасы. Халықаралық алгебра және есептеу журналы, т. 15 (2005), жоқ. 1, 95–128 б
  13. ^ Мартин Дж. Данвуди. «Шектеулі ұсынылған топтардың қол жетімділігі». Mathematicae өнертабыстары, т. 81 (1985), жоқ. 3, 449-457 б
  14. ^ Мартин Дж. Данвуди. «Қол жетпейтін топ». Геометриялық топтар теориясы, Т. 1 (Сассекс, 1991), 75-78 б., Лондон Математикалық Қоғамы Дәрістерінің сериялары, 181, Кембридж Университеті Баспасы, Кембридж, 1993 ж. ISBN  0-521-43529-3
  15. ^ Х. Хиггинс. «Грушконың теоремасы». Алгебра журналы, т. 4 (1966), 365-372 бб
  16. ^ Хиггинс, Филипп Дж., Санаттар мен топоидтар туралы ескертпелер. Van Nostrand Rienhold Mathematical Studies, № 32. Van Nostrand Reinhold Co., London-New York-Melbourne, 1971. Қайта басылып шықты Санаттардың теориясы мен қолданылуы Қайта басу, № 7, 2005 ж.
  17. ^ Джон Сталлингс. 3 көпфункционалды топтардың келісімділігі. Мұрағатталды 2011-06-05 сағ Wayback Machine Séminaire Bourbaki, 18 (1975-1976), № 481 экспозиция.
  18. ^ Франсуа Дахмани мен Даниэль Гроувз. «Салыстырмалы гиперболалық топтардағы бос бөлшектерді анықтау». Американдық математикалық қоғамның операциялары. Онлайн режимінде 2008 жылғы 21 шілдеде орналастырылды.
  19. ^ Гуо-Ан Диао және Марк Фейн. «Грушконың ақырғы дәрежелі ақысыз топтарының ақырлы графигінің ыдырауы: алгоритм». Геометрия және топология. т. 9 (2005), 1835–1880 бб
  20. ^ Х.Кнесер, Geschlossene Flächen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten. Джахресбер. Deutsch. Математика. Верейн., Т. 38 (1929), 248–260 бб