Флекагон - Flexagon - Wikipedia

Екі конфигурацияда бірдей бетпен көрсетілген алтыбұрыш
Екі конфигурацияда бірдей бетпен көрсетілген алтыбұрыш

Жылы геометрия, флекагондар болып табылады жалпақ болуы мүмкін модельдер, әдетте қағаздың жолақтарын бүктеу арқылы жасалуы мүмкін бүгілген немесе бастапқыда артқы және алдыңғы жағында орналасқан екеуінен басқа беттерді ашу үшін белгілі бір жолдармен бүктелген.

Флекагондар әдетте төртбұрышты немесе тікбұрышты болады (тетрафлексондар) немесе алты бұрышты (гексафлексалар). Үлгі көрсете алатын беттердің санын, соның ішінде иілуден бұрын көрінетін екі бетті (артқы және алдыңғы) көрсететін префиксті атқа қосуға болады. Мысалы, жалпы алты беті бар алты қырлы флексагонды а деп атайды гексахексафлексон.

Гексафлексагон теориясында (яғни алты қырлы флекагондарға қатысты), флекагондар, әдетте, патс.[1][2]

Екі флекагон эквивалентті болады, егер бірін екіншісіне шымшу және айналу арқылы айналдыруға болады. Флексанның эквиваленттілігі - бұл эквиваленттік қатынас.[1]

Тарих

Табу және енгізу

Алғашқы флекагонның, яғни тригексафлексонның ашылуы британдық математикке тиесілі Артур Х. Стоун, студент кезінде Принстон университеті 1939 жылы Америка Құрама Штаттарында. Оның жаңа американдық қағазы ағылшын тіліндегі байланыстырғышқа сыймады, сондықтан ол қағаздың ұштарын кесіп алып, оларды әртүрлі формаларда бүктей бастады.[3] Осылардың бірі трихексафлексон құрады. Стоунның әріптестері Брайант Такерман, Ричард Фейнман, және Джон Туки идеясына қызығушылық танытып, Принстон Флекагон комитетін құрды. Такерман жұмыс жасады топологиялық Факагонның барлық беттерін ашуға арналған Такерман траверсі деп аталатын әдіс.[4]

Флексагондарды көпшілікке таныстырды Мартин Гарднер 1956 жылғы желтоқсандағы санында Ғылыми американдық мақалада соншалықты жақсы қабылданды, ол Гарднердің жұмысын бастады «Математикалық ойындар» бағаны содан кейін журналда келесі жиырма бес жыл бойы жұмыс істеді.[3][5] 1974 жылы сиқыршы Даг Хеннинг Бродвейдегі шоудың түпнұсқа актерлік жазбасымен өзіңіздің жеке гексафлександы құрастырыңыз Сиқырлы шоу.

Коммерциялық дамуға тырысты

1955 жылы Рассел Роджерс пен Леонард Д'Андреа Homestead паркі, Пенсильвания патент алуға өтініш берді, ал 1959 жылы оларға «өзгермелі ойын-сауық құрылғылары және сол сияқтылар» деген атпен гексексексафлексонға АҚШ-тың 2,883,195 патенттік нөмірі берілді.

Олардың патенті құрылғыны «ойыншық ретінде, жарнамалық дисплей құрылғысы ретінде немесе білім беру геометриялық құрылғы ретінде» мүмкін қолдануды қолданды.[6] Осындай бірнеше жаңалықтар шығарылды Herbick & Held баспа компаниясы, полиграфиялық компания Питтсбург онда Роджерс жұмыс істеді, бірақ «Hexmo» ретінде сатылатын құрылғы оны ұстап алмады.

Сорттары

Тетрафлексондар

Тритетрафлексонды бүктеу сызбасы
Тритетрафлексонды көрсетілгендей қағаз жолағынан бүктеуге болады.

Тритрафлекагон - ең қарапайым тетрафлексон (флекагон шаршы жақтары). Атаудағы «три» оның үш беткейі бар екенін білдіреді, егер флекагон тегіс басылса, оның екеуі кез-келген уақытта көрінеді. Тритетрафлексонның құрылысы дәстүрлі түрде қолданылатын механизмге ұқсас Джейкобтың баспалдағы балалар ойыншықтары, ішіндегі Рубиктің сиқыры және сиқырлы әмиян қулық немесе Химбер әмиян.

Тритетрафлексонның жақтары
Бұл фигурада квадраттардан тұрғызылған екі бет көрінеді As және Bс. Беті Cs флекагонның ішінде жасырылған.

Неғұрлым күрделі циклді гексатетрафлексон желімдеуді қажет етпейді. Циклдік гексатетрафлексонның «тұйықтары» болмайды, бірақ оны жасаушы оны бастапқы күйіне жеткенше бүктей алады. Егер процесте бүйір жақтары боялған болса, күйлерді айқынырақ көруге болады.

Гексафлексагондар

Гексафлексагондар әртүрлі болып келеді, олар жиналған фигураны бүгу арқылы қол жеткізуге болатын беттердің санымен ерекшеленеді. (Бұл сөзге назар аударыңыз гексафлексалар (префиксі жоқ) кейде басқа сандардың орнына алты жағы бар кәдімгі гексексафлексагонға сілтеме жасай алады.)

Трихексафлексон

Бұл тригексафлексанның шаблоны бір жағында басылып, екі жағында боялған етіп бүктелген 9 үшбұрыштың 3 түсін көрсетеді. Ұштарындағы екі сары үшбұрыш скотчпен жабыстырылады. Қызыл және көк доғалар бүктелген кезде бір жағының немесе екінші жағының толық шеңберлері ретінде көрінеді.

Үш қырлы алтыбұрыш - жасау және басқару үшін қарапайым гексафлексондардың ішіндегі ең қарапайымы және ол тоғыз тең бүйірлі үшбұрышқа бөлінген бір жолақ қағаздан жасалған. (Кейбір өрнектерде он үшбұрыш бар, олардың екеуі соңғы жиында бір-біріне жабыстырылады.)

Жинау үшін жолақ әрбір үшінші үшбұрышқа бүктеліп, халықаралық тәсілмен үш инверсиядан кейін өзіне оралады. қайта өңдеу белгісі. Бұл а жасайды Мобиус жолағы оның бір шеті а трефоль түйіні.

Гексахексафлексон

Бұл гексафлексанның алты беті бар. Ол қағаз жолағынан бүктелген он тоғыз үшбұрыштан тұрады.

Алтыфлексагонға бүктелетін үшбұрыштарға бөлінген қағаз жолағы.

Төмендегі 1-6 фотосуреттер мата жолағынан жасалған тіреуішке картоннан жасалған үшбұрыштардан жасалған гексафлексанның құрылысын көрсетеді. Ол алты түсті безендірілген; 1-суреттегі сарғыш, көк және қызыл түс жоғарыдағы диаграммадағы 1, 2 және 3-ке сәйкес келеді. Қарама-қарсы жағы, 2-сурет, күлгін, сұр және сары түстермен безендірілген. Екі жағындағы түстерге арналған әртүрлі үлгілерді ескеріңіз. 3-суретте бірінші бүктеме, ал 4-суретте спираль түзетін алғашқы тоғыз қатпардың нәтижесі көрсетілген. 5-6 суреттерде алтыбұрыш жасау үшін спиральдың соңғы бүктелуі көрсетілген; 5-те екі қызыл бетті алқап бүктеуі жасырған, ал 6-да төменгі жақта екі қызыл бетті таудың бүктеуі жасырған. 6-суреттен кейін соңғы борпылдақ үшбұрыш бүктеліп, бастапқы жолақтың екінші ұшына бекітіледі, сонда бір жағы көк, ал екінші жағы сарғыш болады.

Алтыфлексагонның құрылысы мен «бүгілуін» егжей-тегжейлі сипаттайтын фотосуреттер топтамасы

7 және 8 фотосуреттер бұрын жасырылған қызыл үшбұрыштарды көрсету үшін гексафлексаның пертеринг процесін көрсетеді. Әрі қарай манипуляциялар жасау арқылы барлық алты түстерді ашуға болады. 1, 2 және 3 беттерін табу оңайырақ, ал 4, 5 және 6 беттерін табу қиынырақ. Такерман траверсін қолдану арқылы барлық алты тұлғаны ашудың оңай әдісі. Гексафлексагондардың қасиеттерін алғашқылардың бірі болып зерттеген Брайант Такерманның есімімен аталады. Такерман траверсі бір бұрышты қысу арқылы қайталанатын иілуді және әр уақытта дәл сол бұрыштан иілуді қамтиды. Егер бұрыш ашудан бас тартса, іргелес бұрышқа өтіп, иілуді жалғастырыңыз. Бұл процедура сізді 12 бет циклына әкеледі. Алайда бұл процедура барысында 1, 2 және 3 4, 5 және 6-дан үш есе жиі көрінеді. Цикл келесідей жүреді:

1-3-6-1-3-2-4-3-2-1-5-2

Содан кейін қайтадан 1-ге оралыңыз.

Әрбір түс / бет бірнеше жолмен көрінуі мүмкін. Мысалы, 6-суретте әрбір көк үшбұрыштың ортасында сына безендірілген бұрышы бар, бірақ, мысалы, Y-мен безендірілгендерді ортаға шығаруға болады. Түрлі-түсті үшбұрыштар үшін осындай 18 ықтимал конфигурация бар және оларды гексахексафлексонды теория жүзінде барлық мүмкін тәсілдермен бүгу арқылы көруге болады, бірақ кәдімгі гексагексафлексонның көмегімен 15-ті ғана бүгуге болады. Артқы қақпақтағы 4, 5 және 6 тақтайшалардың орналасуына байланысты 3 қосымша конфигурация мүмкін емес. (4, 5 немесе 6 тақтайшалармен түзілген ромбидегі 60 градус бұрыштар тек бүйірлерде пайда болады және ешқашан орталықта пайда болмайды, өйткені топологияға тыйым салынған жолақты кесу керек.)

Гексахексафлексагондарды он сегіз тең бүйірлі үшбұрыштың әртүрлі пішінді торларынан құруға болады. Қағаздың бір қалыпты емес жолағынан салынған бір алтексексафлексаның өзі жоғарыда көрсетілгенмен бірдей, тек осы нұсқада барлық 18 конфигурацияны икемдеуге болады.

Басқа гексафлексондар

Жиі кездесетін гексафлексагондар үш немесе алты бетке ие болса, вариация кез-келген санға байланысты болады. Түзу жолақтарда үш санды беттерге көбейтілген алтыбұрыш шығарылады. Басқа сандар түзу емес жолақтардан алынады, олар тек кейбір буындары бүктелген түзу жолақтар, кейбір беттерін алып тастайды. Көптеген жолақтарды әр түрлі бүктеуге болады, әр түрлі алтыфлексагондар шығарады, әртүрлі бүктелген карталармен.

Жоғары ретті флекагондар

Оң октафлексан және оң додекафлексан

Жақында ашылған бұл флекагондарда әдеттегі флекагонның әр шаршы немесе теңбүйірлі үшбұрышты беті қосымша икемдеу режимдеріне мүмкіндік бере отырып, екі тікбұрышты үшбұрышқа бөлінеді.[7] Тетрафлексагондардың квадрат беттерін оң жақ бүйірлі үшбұрыштарға бөлгенде октафлексагондар шығады,[8] және алтыбұрышты үшбұрышты беттерді 30-60-90 тікбұрышты үшбұрышқа бөлу додекафлексагондарды береді.[9]

Пентафлексон және оң жақ декафлексон

Жазық күйінде бесфлексагон ұқсас келеді Chrysler логотип: тұрақты бесбұрыш орталықтан беске бөлінеді тең бүйірлі үшбұрыштар, 72-54-54 бұрыштарымен. Бес қабатты симметрия болғандықтан, бесфлексагонды екіге бүктеуге болмайды. Алайда, иілудің күрделі сериясы оны трансформациялауға әкеледі, оның алдыңғы және артқы жағындағы бір және екінші жақтарын көрсетуден, бұрын жасырылған жақтарын үш және төрт көрсетуге дейін.[10]

Пентафлексанның 72-54-54 үшбұрыштарын 36-54-90 тікбұрыштарына одан әрі бөлу арқылы 10 жақты декафлексонның бір өзгерісі шығады.[11]

Жалпыланған n-флекагон

Pentaflexagon - бұл регулярды бөлуге негізделген флекагондардың шексіз тізбегінің бірі n- кірді n тең бүйірлі үшбұрыштар. Басқа флекагондарға гептафлексан,[12] октафлексонның тең қабырғалары,[13] enneaflexagon,[14] және басқалар.

Планарлы емес бесфлексагон және жазық емес гептафлексон

Гарольд В.Макинтош сонымен қатар «жазық емес» флекагондарды сипаттайды (яғни, оларды тегіс жатқандықтан иілу мүмкін емес); бүктелгендер бесбұрыштар деп аталады бесфлексагондар,[15] және бастап алтыбұрыштар деп аталады гептафлексагондар.[16] Оларды жоғарыда сипатталған «қарапайым» пентафлексагондар мен гептафлексагондардан ажырату керек. тең бүйірлі үшбұрыштар және олар мүмкін жатуға мәжбүр болу.

Бұқаралық мәдениетте

Флексагондар сонымен қатар танымал кітап құрылымы болып табылады суретшінің кітабы сияқты жасаушылар Джули Чен (Өміршеңдік кезең) және Эдвард Х. Хатчинс (Альбом және Voces de Mexico). Тетра-тетра-флекагон және кросс-флекагон жасау бойынша нұсқаулар енгізілген Қолдан жасалған кітаптар жасау: 100+ байланыстыру, құрылымдар мен формалар Алиса Голден.[17]

Сюжет элементі ретінде жоғары ретті алтыфлексагон қолданылды Пирс Энтони роман 0X, онда икемділік баламалы ғаламдар арасындағы саяхатқа ұқсас болды.[18]

YouTube пайдаланушы Ви Харт гексафлексондар туралы бейнероликтер жасады және оларды танымал етті.[19]

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б Окли, С .; Wisner, R. J. (наурыз 1957). «Флекагондар». Американдық математикалық айлық. Американың математикалық қауымдастығы. 64 (3): 143–154. дои:10.2307/2310544. JSTOR  2310544.
  2. ^ Андерсон, Томас; Маклин, Т.Брюс; Паджохеш, Хомейра; Смит, Чейсен (қаңтар 2010). «Барлық тұрақты флекагондардың комбинаторикасы». Еуропалық Комбинаторика журналы. 31 (1): 72–80. дои:10.1016 / j.ejc.2009.01.005.
  3. ^ а б Гарднер, Мартин (желтоқсан 1956). «Флекагондар». Ғылыми американдық. Том. 195 жоқ. 6. 162–168 беттер. дои:10.1038 / Scientificamerican1256-162. OCLC  4657622161.
  4. ^ Гарднер, Мартин (1988). Гексафлексагондар және басқа математикалық ауытқулар: бірінші ғылыми американдық жұмбақтар мен ойындар кітабы. Чикаго Университеті. ISBN  0-226-28254-6.
  5. ^ Мульки, Колм (21 қазан, 2014). «Мартин Гарднердің американдық ең жақсы 10 мақаласы». Ғылыми американдық.
  6. ^ Роджерс, Рассел Е .; Андреа, Леонард Д.Л (21 сәуір, 1959). «Ойын-сауық құрылғылары және басқалары» (PDF). Freepatentsonline.com. АҚШ патенті 2883195. Алынған 13 қаңтар, 2011.
  7. ^ Шварц, Анн (2005). «Флекагонның ашылуы: пішінді ауыстыратын 12-гон». Eighthsquare.com. Алынған 26 қазан, 2012.
  8. ^ Шерман, Скотт (2007). «Октафлексон». Loki3.com. Алынған 26 қазан, 2012.
  9. ^ Шерман, Скотт (2007). «Dodecaflexagon». Loki3.com. Алынған 26 қазан, 2012.
  10. ^ Шерман, Скотт (2007). «Пентафлексон». Loki3.com. Алынған 26 қазан, 2012.
  11. ^ Шерман, Скотт (2007). «Декафлексон». Loki3.com. Алынған 26 қазан, 2012.
  12. ^ Шерман, Скотт (2007). «Гептафлексон». Loki3.com. Алынған 26 қазан, 2012.
  13. ^ Шерман, Скотт (2007). «Octaflexagon: октафлексонның тең бүйірлері». Loki3.com. Алынған 26 қазан, 2012.
  14. ^ Шерман, Скотт (2007). «Enneaflexagon: Isneceles Enneaflexagon». Loki3.com. Алынған 26 қазан, 2012.
  15. ^ Макинтош, Гарольд В. (24 тамыз 2000). «Бес бұрышты флекагондар». Cinvestav.mx. Universidad Autónoma de Puebla. Алынған 26 қазан, 2012.
  16. ^ Макинтош, Гарольд В. (11 наурыз, 2000). «Гептагональды флекагондар». Cinvestav.mx. Universidad Autónoma de Puebla. Алынған 26 қазан, 2012.
  17. ^ Алтын, Алиса Дж. (2011). Қолдан жасалған кітаптар жасау: 100+ байланыстыру, құрылымдар мен формалар. Ларк қолөнері. бет.130, 132–133. ISBN  978-1-60059-587-5.
  18. ^ Коллинз, Майкл Р. (1984). Пирс Энтони. Starmont Reader Guide # 20. Borgo Press. 47-48 бет. ISBN  0-89370-058-4.
  19. ^ Тоқты, Эвелин. «Флекагон, бірақ ұмытылмаған: Мартин Гарднердің туған күнін атап өту». Ғылыми американдық блогтар желісі. Алынған 12 мамыр, 2020.

Библиография

  • Митчелл, Дэвид (2000). Флекагондардың сиқыры - қиюға және жасауға арналған қағаздар. Таркин. ISBN  1-899618-28-7.
  • Pook, Les (2009). Флексагондармен сергек көңіл көтеру, жинақ және нұсқаулық. Спрингер. ISBN  978-90-481-2502-9.
  • Pook, Les (2006). Ішіндегі флекагондар. Кембридж университетінің баспасы. ISBN  0-521-81970-9.
  • Мартин Гарднер 1956 жылдың желтоқсанында гексафлексондарға керемет кіріспе жазды Математикалық ойындар баған Ғылыми американдық. Ол сондай-ақ келесіде пайда болады:

Сыртқы сілтемелер

Флекагондар:

Тетрафлексондар:

Гексафлексондар: