Туынды функция - Derived functor

Жылы математика, белгілі функционалдар мүмкін алынған түпнұсқаларымен тығыз байланысты басқа функцияларды алу. Бұл амал жеткілікті абстрактілі болғанымен, бүкіл математика бойынша бірқатар құрылыстарды біріктіреді.

Мотивация

Әр түрлі әртүрлі жағдайларда а қысқа нақты дәйектілік көбінесе «ұзақ нақты дәйектіліктің» пайда болуына әкеледі. Туынды функционерлер ұғымы осы бақылаулардың көпшілігін түсіндіреді және нақтылайды.

Бізге ковариант берілді делік сол жақ нақты функция F : AB екеуінің арасында абель категориялары A және B. Егер 0 → болса ABC → 0 - қысқа дәл дәйектілік A, содан кейін өтініш F дәл 0 → дәйектілігін береді F(A) → F(B) → F(C) және ұзын дәл тізбекті қалыптастыру үшін осы реттілікті оңға қалай жалғастыруға болатынын сұрауға болады. Қысқаша айтқанда, бұл сұрақ дұрыс қойылған жоқ, өйткені берілген дәйектілікті оңға қарай жалғастырудың әр түрлі тәсілдері әрдайым бар. Бірақ бұл (егер A жеткілікті «жақсы») біреуі бар канондық функциясының дұрыс алынған функциясы берілген F. Әрқайсысы үшін мен≥1, функция бар RменF: AB, және жоғарыдағы реттілік келесідей жалғасады: 0 → F(A) → F(B) → F(C) → R1F(A) → R1F(B) → R1F(C) → R2F(A) → R2F(B) → .... Бұдан біз мұны көреміз F егер ол болса, дәл функция болып табылады R1F = 0; Демек, белгілі бір мағынада F «қаншаға дейін» өлшеу F нақты болып табылады.

Егер объект A жоғарыдағы дәл дәл тізбекте инъекциялық, содан кейін реттілік бөлінеді. Бөлінген реттілікке кез-келген аддитивті функцияны қолдану сплит тізбегін тудырады, атап айтқанда R1F(A) = 0. Оң жақтан алынған функционерлер (үшін i> 0) инъекцияларда нөлге тең: бұл құрылыстың төменде келтірілген мотиві.

Құрылысы және алғашқы қасиеттері

Біздің абель санатына қатысты маңызды болжам жасауымыз керек A ол бар инъекциялар жеткілікті, бұл әрбір объект үшін A жылы A бар а мономорфизм AМен қайда Мен болып табылады инъекциялық объект жылы A.

Ковариантты солға дәл функцияның оңнан алынған функциялары F : AB содан кейін келесідей анықталады. Нысаннан бастаңыз X туралы A. Инъекциялар жеткілікті болғандықтан, біз форманың ұзақ дәл дәйектілігін құра аламыз

қайда Мен мен барлығы инъекциялық болып табылады (бұл ан деп аталады инъекциялық рұқсат туралы X). Функцияны қолдану F осы дәйектілікке және бірінші мүшені бөліп алсақ, біз аламыз тізбекті кешен

Ескерту: бұл жалпы емес енді нақты дәйектілік. Бірақ біз оны есептей аламыз когомология кезінде мен- орын (картаның ядросы F(Менмен) картаның кескінін модульге келтіріңіз F(Менмен)); біз нәтиже деп атаймыз RменF(X). Әрине, әр түрлі заттарды тексеру керек: түпкілікті нәтиже берілген инъекциялық ажыратымдылыққа байланысты емес Xжәне кез-келген морфизм XY табиғи түрде морфизм береді RменF(X) → RменF(Y), сондықтан біз функцияны аламыз. Сол жақ дәлдігі 0 → дегенді білдіретініне назар аударыңызF(X) → F(Мен0) → F(Мен1) дәл, сондықтан R0F(X) = F(X), сондықтан біз тек қызықты нәрсе аламыз мен>0.

(Техникалық тұрғыдан, анықталған туындыларын шығару үшін F, біз әрбір объект үшін инъекциялық ажыратымдылықты түзетуіміз керек еді A. Бұл инъекциялық ажыратымдылықты таңдау функционерлерді береді RменF. Резолюциялардың әртүрлі нұсқалары нәтиже береді табиғи түрде изоморфты функциялар, сондықтан сайып келгенде таңдау маңызды емес.)

Қысқа дәл тізбектерді ұзақ дәл тізбектерге айналдырудың жоғарыда аталған қасиеті - салдары болып табылады жылан лемма. Бұл бізге туынды функционерлердің жиынтығы а δ-функция.

Егер X өзі инъекциялық, содан кейін біз 0 → инъекциялық ажыратымдылығын таңдай аламыз XX → 0, және біз оны аламыз RменF(X) = 0 барлығы үшін мен ≥ 1. Іс жүзінде бұл факт ұзақ жүйелілік қасиетімен бірге көбінесе дұрыс алынған функционалдардың мәндерін есептеу үшін қолданылады.

Есептеудің баламалы тәсілі RменF(X) келесі: инъекциялық қарар қабылдайды X жоғарыдағыдай және рұқсат етіңіз Қмен картаның кескіні болу Менмен-1Менмен (үшін мен= 0, анықтаңыз Менмен-1= 0), бұл -ның ядросымен бірдей МенменМенмен+1. Let рұқсат етіңізмен : Менмен-1Қмен сәйкес сурьективті карта болуы керек. Содан кейін RменF(X) Fмен).

Вариациялар

Егер біреу коварианттан басталса дұрыс-дәл функция G, және санат A проективтері жеткілікті (яғни әрбір объект үшін) A туралы A эпиморфизм бар PA қайда P Бұл проективті объект ), содан кейін аналогты түрде сол жақтан шыққан функционалды анықтауға болады LменG. Нысан үшін X туралы A біз алдымен форманың проективті ажыратымдылығын құрамыз

қайда Pмен проективті болып табылады. Біз өтініш береміз G осы дәйектілікке, соңғы терминді кесіп тастаңыз және алу үшін гомологияны есептеңіз LменG(X). Алдындағыдай, L0G(X) = G(X).

Бұл жағдайда ұзақ нақты дәйектілік оңға емес, «солға» өседі:

айналдырылды

.

Барлық проективті объектілерде солдан алынған функционалдар нөлге тең.

Сондай-ақ, қарама-қайшы солға бағытталған функция F; нәтижесінде алынған оңнан шыққан функционерлер сонымен қатар қайшы келеді. Қысқа нақты дәйектілік

ұзақ нақты дәйектілікке айналдырылған

Бұл дұрыс алынған функционерлер проективтерде нөлге тең, сондықтан проективті ажыратымдылықтар арқылы есептеледі.

Мысалдар

  • Егер - абель категориясы, содан кейін оның морфизм категориясы сонымен қатар абель. Функция әрбір морфизмді ядроға түсіретін дәл қалдырылған. Оның дұрыс алынған функционалдары
Екі функционалды дәл дәл, ал оның сол жақтан алынған функционалдары
Бұл көрінісі жылан лемма.

Гомология және когомология

Қаптың когомологиясы

Егер Бұл топологиялық кеңістік, содан кейін санат бәрінен де шоқтар туралы абель топтары қосулы - инъекциялық инъекциясы жеткілікті абелиялық категория. Функция әрбір осындай пучка тағайындайды топ глобальды бөлімдер дәл қалдырылған, ал дұрыс алынған функционерлер - шоқ когомологиясы функциялар, әдетте ретінде жазылады . Біршама жалпылама: егер Бұл шыңдалған кеңістік, содан кейін барлық қабаттардың санаты -модульдер - бұл жеткілікті инъекцияға ие абелиялық категория, және біз қайтадан шиыршықтар когомологиясын глобальдық бөлімнің дұрыс алынған функционалдары ретінде құра аламыз.

Мұның ерекше жағдайы болып табылатын когомологияның әртүрлі түсініктері бар:

  • Étale когомологиясы схемаға арналған басқа когомологиялық теория. Бұл абелия қабығының жаһандық бөлімдерінің дұрыс алынған функциясы étale сайты.

Қосымша функциялар

Егер Бұл сақина, содан кейін барлық категория -модульдер - инъекциялық инъекциясы жеткілікті абелиялық категория. Егер бекітілген сол -модуль, содан кейін функция дәл қалдырылған, ал оның оңнан алынған функционалдары - Қосымша функциялар . Сонымен қатар оң дәл дәл функцияның солдан шыққан функциясы ретінде де алуға болады .

Когомологияның әр түрлі ұғымдары Ext функциясының ерекше жағдайлары болып табылады, сондықтан да алынған функционалдар.

  • Топтық когомология инварианттар функциясының дұрыс алынған функциясы бұл бірдей (қайда маңызды емес -модуль) және сондықтан .
  • Алгебра когомологиясы а Алгебра коммутативті сақина үстінде инварианттар функциясының дұрыс алынған функциясы бұл бірдей (қайда қайтадан болмашы -модуль және болып табылады әмбебап қаптайтын алгебра туралы ). Сондықтан .
  • Хохшильд когомологиясы кейбірінің -алгебра инварианттардың дұрыс алынған функциясы картаға түсіру а екі модуль оған орталығы, оның инварианттар жиынтығы деп те аталады бұл бірдей (қайда болып табылады және болып саналады -бимодуль кәдімгі солға және оңға көбейту арқылы). Сондықтан :

Tor функционалдары

Сол жақ санаты -модульдерде де проективтер жеткілікті. Егер бекітілген құқық -модуль, содан кейін тензор өнімі бірге дәл дәл ковариантты функцияны береді ; Модульдер санатында проективтер жеткілікті, сол себепті алынған функционалдар әрдайым болады. Тензор функциясының солдан шыққан функционалдары болып табылады Tor функционалдары . Эквивалентті симметриялы түрде солдан шыққан функциялар ретінде анықтауға болады . Іс жүзінде анықтаманың екеуін де біріктіруге болады сол жақтан алынған .

Бұған ерекше жағдайлар ретінде гомологияның бірнеше ұғымдары кіреді. Бұл көбінесе Ext функциялары мен когомологияға қатысты жағдайды көрсетеді.

  • Топтық гомология монетарияларды алудан алынған сол жақ бұл бірдей .
  • Алгебраның гомологиясы коинваранттарды қабылдаудың солдан шыққан функциясы бұл бірдей .
  • Хохшильдтердің гомологиясы коинваранттарды қабылдаудың солдан шыққан функциясы бұл бірдей .

Жеке сол жақ туынды функцияларды алудың орнына тензор функциясының жалпы алынған функциясын да алуға болады. Бұл алынған тензор өнімі қайда болып табылады туынды категория.

Табиғи

Алынған функционалдар және ұзақ дәл тізбектер бірнеше техникалық мағынада «табиғи» болып табылады.

Біріншіден, а коммутациялық диаграмма форманың

(мұнда жолдар дәл), екі ұзын дәл тізбектер ауысу квадраттарымен байланысты:

Екі нақты дәйектілік.png

Екіншіден, η делік: FG Бұл табиғи трансформация сол жақ дәл функционалдан F солға дәл функцияға G. Содан кейін табиғи трансформациялар Rменη: RменFRменG индукцияланған және шынымен де Rмен функциясынан тұрады функциялар санаты барлық нақты функциялардан A дейін B бастап барлық функциялардың толық функционалды санатына A дейін B. Сонымен қатар, бұл функция келесі дәл мағынасында ұзақ тізбектермен үйлеседі: егер

бұл қысқа нақты дәйектілік, содан кейін коммутативті схема

Екі нақты дәл тізбектер2.png

индукцияланған.

Бұл екі табиғи жағдай да берілген жүйеліліктің табиғиынан туындайды жылан лемма.

Керісінше, туынды функционерлердің келесі сипаттамасы орындалады: функциялардың отбасы берілген Rмен: AB, жоғарыда айтылғандарды қанағаттандырады, яғни әрбір инъекциялық объект үшін қысқа дәл дәйектіліктерді ұзақ дәл тізбектерге бейнелеу Мен туралы A, Rмен(Мен) Әрбір оң үшін = 0 мен, онда бұл функциялар -ның дұрыс алынған функционалдары болып табылады R0.

Жалпылау

Туынды функционалдарға деген қазіргі заманғы (және жалпы) көзқарас алынған категориялар.

1968 жылы Квиллен теориясын дамытты модельдік құрылымдар фибрациялардың, кофибрациялардың және әлсіз эквиваленттердің дерексіз категория-теориялық жүйесін беретін категория бойынша. Әдетте біреу мұның астарына қызығушылық танытады гомотопия санаты әлсіз эквиваленттерге қарсы оқшаулау арқылы алынған. A Квиллен қосылысы - бұл гомотопиялық санаттар арасындағы тәуелділікке түсетін модельдік категориялар арасындағы байланыс. Мысалы, топологиялық кеңістіктер категориясы және қарапайым жиынтықтар санаты да Quillen модельдік құрылымдарын қабылдайды, олардың жүйке және іске асыру ассоциация Квилленнің ассоциациясын береді, бұл шын мәнінде гомотопиялық категориялардың эквиваленттілігі. Модельдік құрылымдағы ерекше нысандар «жағымды қасиеттерге» (белгілі бір морфизмдерге қарсы көтергіштердің болуына қатысты), «талшық» және «кофибранта» нысандарына ие, және кез-келген объектілер талшықты-кофибрантты «ажыратымдылыққа» әлсіз эквивалентті.

Топологиялық кеңістіктер санатына арналған Quillen моделінің құрылымдары бастапқыда дамығанымен, математикада көптеген жерлерде пайда болады; атап айтқанда кез-келген абелдік санаттағы тізбекті кешендер санаты (модульдер, топологиялық кеңістіктегі модульдер шоғыры немесе схема[ажырату қажет ]және т.с.с.) әлсіз эквиваленттері гомологияны сақтайтын тізбекті кешендер арасындағы морфизмдер болатын модель құрылымын мойындайды. Көбінесе бізде осындай екі модельдік санат арасында функциялар болады (мысалы, абельдік топтардың айқын жиынтығына абелиялық шоқтар кешенін жіберетін ғаламдық секциялар функциясы), «жақсы» (талшықты немесе кофибранды) объектілердің ішкі санатындағы әлсіз эквиваленттерді сақтайды *. Алдымен заттың талшықты немесе кофибрантты ажыратымдылығын алып, содан кейін сол функцияны қолдану арқылы біз оны әлсіз эквиваленттер әрдайым сақталатындай етіп (және демек, ол гомотопиялық категориядан функцияға түсетін) бүкіл санатқа кеңейттік. Бұл «алынған функция». Мысалы, қабық когомологиясының «алынған функционалдары» осы алынған функционалдың гомологиясы болып табылады. Гомологияда шоғырланған кешен ретінде айқын түсіндірілген Абелия топтарының шоғырына қолданып, олар функционалды ғаламдық секциялардың әлсіз эквиваленттерін сақтай алмауын, оның «дәлдігі» сәтсіздігін өлшейді. Модельдік құрылымдардың жалпы теориясы бұл құрылыстың бірегейлігін көрсетеді (бұл талшықты немесе кофибрантты ажыратымдылықты таңдауға тәуелді емес және т.б.).

Пайдаланылған әдебиеттер

  • Манин, Юрий Иванович; Гельфанд, Сергей И. (2003), Гомологиялық алгебра әдістері, Берлин, Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг, ISBN  978-3-540-43583-9
  • Вейбель, Чарльз А. (1994). Гомологиялық алгебраға кіріспе. Жетілдірілген математикадан Кембридждік зерттеулер. 38. Кембридж университетінің баспасы. ISBN  978-0-521-55987-4. МЫРЗА  1269324. OCLC  36131259.