Жылан леммасы - Snake lemma

The жылан лемма - қолданылатын құрал математика, атап айтқанда гомологиялық алгебра, салу ұзақ дәл тізбектер. Жылан леммасы әрқайсысында жарамды абель санаты және, мысалы, гомологиялық алгебрада және оның қосымшаларында шешуші құрал алгебралық топология. Оның көмегімен салынған гомоморфизмдер жалпы деп аталады байланыстырушы гомоморфизмдер.

Мәлімдеме

Жылы абель санаты (санаты сияқты абель топтары немесе санаты векторлық кеңістіктер берілгеннен артық өріс ), қарастырыңыз коммутациялық диаграмма:

жолдар қайда нақты дәйектілік және 0 - нөлдік нысан.

Онда қатысты бірізділік бар ядролар және кокернелдер туралы а, б, және в:

${ displaystyle ker a ~ { color {Gray} longrightarrow} ~ ker b ~ { color {Gray} longrightarrow} ~ ker c ~ ​​{ overset {d} { longrightarrow}} ~ operatorname { coker} a ~ { color {Gray} longrightarrow} ~ operatorname {coker} b ~ { color {Gray} longrightarrow} ~ operatorname {coker} c}$

қайда г. деп аталатын гомоморфизм болып табылады байланыстырушы гомоморфизм.

Сонымен қатар, егер морфизм болса f Бұл мономорфизм, демек, морфизм де солай ${ displaystyle operatorname {ker} a ~ { color {Gray} longrightarrow} ~ operatorname {ker} b}$және егер g ' болып табылады эпиморфизм, олай болса ${ displaystyle operatorname {coker} b ~ { color {Gray} longrightarrow} ~ operatorname {coker} c}$.

Мұндағы кокернелдер: ${ displaystyle operatorname {coker} a = A '/ operatorname {im} a, operatorname {coker} b = B' / operatorname {im} b, operatorname {coker} c = C '/ operatorname { им} с.}$

Атын түсіндіру

Жылан леммасы қай жерден атау алғанын көру үшін жоғарыдағы схеманы келесідей кеңейтіңіз:

содан кейін лемманың қорытындысы болып табылатын дәл бірізділікті осы кеңейтілген диаграмма бойынша сырғудың кері «S» формасында салуға болатындығын ескеріңіз. жылан.

Карталардың құрылысы

Ядро арасындағы карталар мен кокрельдер арасындағы карталар табиғи түрде берілген (көлденең) карталармен сызбаның коммутативтілігіне байланысты келтірілген. Индукцияланған екі тізбектің дәлдігі бастапқы диаграмма жолдарының дәлдігінен тікелей жолмен жүреді. Лемманың маңызды тұжырымы мынада: а байланыстырушы гомоморфизм г. нақты дәйектілікті аяқтайтын бар.

Абел топтары жағдайында немесе модульдер кейбіреулеріне қарағанда сақина, карта г. келесідей құрылуы мүмкін:

Элемент таңдаңыз х кердев және оны элементі ретінде қарастыру C; бері ж болып табылады сурьективті, бар ж жылы B бірге ж(ж) = х. Диаграмманың коммутативтілігі арқасында бізде бар g '(б(ж)) = в(ж(ж)) = в(х) = 0 (бастап х ядросында орналасқан в), демек б(ж) ядросында орналасқан g ' . Төменгі жол дәл болғандықтан, біз элементті табамыз з жылы A ' бірге f '(з) = б(ж). з инъекция бойынша бірегей болып табылады f '. Содан кейін біз анықтаймыз г.(х) = з + им(а). Енді оны тексеру керек г. жақсы анықталған (яғни, г.(х) тек байланысты х және таңдау бойынша емес ж), бұл гомоморфизм және нәтижесінде пайда болған ұзақ тізбек шынымен дәл. Дәлдігін үнемі тексеріп отыруға болады диаграмма қуу (Lemma 9.1 дəлелін қараңыз) ^[1]).

Мұны жасағаннан кейін, теорема абель топтары немесе сақина үстіндегі модульдер үшін дәлелденген. Жалпы жағдай үшін аргумент элементтердің орнына көрсеткілердің және жоюдың қасиеттері тұрғысынан өзгертілуі мүмкін. Сонымен қатар, біреу шақыра алады Митчеллдің ендіру теоремасы.

Табиғи

Қосымшаларда көбінесе ұзын дәл дәйектіліктің «табиғи» екенін көрсету керек (мағынасында) табиғи трансформациялар ). Бұл жылан леммасы шығаратын дәйектіліктің табиғилығынан туындайды.

Егер

- бұл нақты қатарлары бар коммутативті диаграмма, содан кейін жылан леммасын екі ұзын дәл тізбекті бере отырып, «алдыңғы» және «артқа» қолдануға болады; бұлар форманың коммутативті диаграммасымен байланысты

Бұқаралық мәдениетте

Жылан леммасының дәлелі үйретеді Джил Клэйбург 1980 жылдың басында фильмнің кейіпкері Бұл менің кезегім.^[2]

Сондай-ақ қараңыз

• Зиг-заг леммасы

Әдебиеттер тізімі

• Серж Ланг: Алгебра. 3-ші басылым, Springer 2002, ISBN  978-0-387-95385-4, 157–159 бет (Интернет-көшірме, б. 157, сағ Google Books )
• M. F. Atiyah; Макдональд: Коммутативті алгебраға кіріспе. Оксфорд 1969 ж., Аддисон – Уэсли Publishing Company, Inc. ISBN  0-201-00361-9.
• П. Хилтон; У.Штаммбах: Гомологиялық алгебра курсы. 2. Аффаж, Springer Verlag, Математика бойынша магистратура мәтіндері, 1997, ISBN  0-387-94823-6, б. 99 (Интернет-көшірме, б. 99, сағ Google Books )

Сыртқы сілтемелер

• Вайсштейн, Эрик В. «Жылан Леммасы». MathWorld.
• Жылан леммасы кезінде PlanetMath
• Жылан леммасының дәлелі фильмде Бұл менің кезегім