Шекаралық қабат - Boundary layer

Бұл мақала үшін қосымша дәйексөздер қажет тексеру. Өтінемін көмектесіңіз осы мақаланы жақсарту арқылы дәйексөздерді сенімді дерек көздеріне қосу. Ресурссыз материалға шағым жасалуы және алынып тасталуы мүмкін. Дереккөздерді табу: «Шекаралық қабат»  – жаңалықтар  · газеттер  · кітаптар  · ғалым  · JSTOR (Наурыз 2020) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Жылы физика және сұйықтық механикасы, а шекаралық қабат қабаты болып табылады сұйықтық а-ның тікелей маңында шекара беті мұнда тұтқырлықтың әсері айтарлықтай.

Ішінде Жер атмосферасы, атмосфералық шекаралық қабат әсер ететін жерге жақын ауа қабаты тәуліктік жылу, ылғалдың немесе импульстің бетке немесе одан ауысуына. Ан ұшақ қанат шекаралық қабат - ағынның қанатқа жақын бөлігі, мұндағы тұтқыр күштер қоршаған тұтқыр емес ағынды бұрмалаңыз.

Шекаралық қабат типтері

Ламинарлықтан турбуленттік жағдайға ауысуды көрсететін шекаралық қабатты визуализация

Ламинарлық шекаралық қабаттарды олардың құрылымына және жасалынатын жағдайларға байланысты еркін түрде жіктеуге болады. Тербелмелі денеде дамитын жұқа ығысу қабаты а мысалы болып табылады Стоктардың шекаралық қабаты, ал Блазиустың шекаралық қабаты белгілі адамдарға қатысты ұқсастық жақындатылған бір бағытты ағынға бекітілген бекітілген жалпақ табақтың жанындағы ерітінді Фалькнер-Скан шекаралық қабаты, Блазиус профилін жалпылау. Сұйықтық айналғанда және тұтқыр күштер теңдестірілгенде Кориолис әсері (конвективті инерцияға қарағанда), ан Экман қабаты нысандары. Жылу беру теориясында жылу шекаралық қабаты пайда болады. Бір уақытта шекара қабатының бірнеше типтері болуы мүмкін.

Ауа ағынының тұтқырлығы жер бетіндегі жылдамдықты азайтады және терінің үйкелуіне жауап береді. Тұтқырлықпен баяулаған немесе тоқтаған қанат бетіндегі ауа қабаты - бұл шекаралық қабат. Шекаралық қабат ағынының екі түрлі типі бар: ламинарлы және турбулентті.^[1]

Ламинарлы шекаралық қабат ағыны

Ламинарлық шекара өте тегіс ағын болып табылады, ал турбулентті шекара қабатында бұрылыстар немесе «құйындар» болады. Ламинарлы ағын тербулентті ағынға қарағанда терінің үйкелу күшін аз тудырады, бірақ тұрақты емес. Қанат бетіндегі шекаралық қабат ағыны тегіс ламинарлы ағыннан басталады. Ағын жетекші шетінен артқа қарай жалғасқан кезде ламинарлы шекара қабаты қалыңдығына ұлғаяды.

Турбулентті шекаралық қабат ағыны

Жетекші шетінен біраз қашықтықта тегіс ламинарлы ағын бұзылып, турбулентті ағынға ауысады. Сүйреу тұрғысынан ламинарлықтан турбуленттік ағынға қанатқа мүмкіндігінше артқа ауысқан жөн немесе шекара қабатының ламинарлы бөлігі шегінде қанат бетінің көп мөлшері болған жөн. Қуаты аз ламинарлы ағын, алайда, турбулентті қабатқа қарағанда кенеттен бұзылуға бейім.

Аэродинамика

Людвиг Прандтл

Ламинарлық шекара қабатының жылдамдығы профилі

The аэродинамикалық шекара қабаты алдымен анықталды Людвиг Прандтл 1904 жылы 12 тамызда ұсынылған қағазда Халықаралық математиктердің конгресі жылы Гейдельберг, Германия. Ол ағын өрісін екі аймаққа бөлу арқылы сұйықтық ағынының теңдеулерін жеңілдетеді: біреуі шекаралық қабат ішінде басым болады тұтқырлық және көпшілігін құру сүйреу шекаралық дененің тәжірибесімен; және ерітіндіге айтарлықтай әсер етпестен тұтқырлықты ескермеуге болатын шекаралық қабаттан тыс. Бұл мүмкіндік береді жабық түрдегі шешім екі бағыттағы ағын үшін толығымен айтарлықтай жеңілдету Навье - Стокс теңдеулері. Көпшілігі жылу беру денеге және денеден шекаралық қабатта да орын алады, бұл қайтадан теңдеулерді шекаралық қабаттан тыс ағын өрісінде жеңілдетуге мүмкіндік береді. Шекаралық қабат бойынша қысымның бетке қалыпты бағытта таралуы (мысалы, аэрофоль ) бүкіл шекара қабатында тұрақты болып қалады және беткі қабаттағыдай болады.

The қалыңдық жылдамдықтың шекара қабаты әдетте қатты денеден тұтқыр ағынның жылдамдығы еркін ағынның 99% -ына тең болатын нүктеге дейінгі қашықтық ретінде анықталады (инкисцидті ағынның беткі жылдамдығы).^{[дәйексөз қажет ]} Ауыстыру қалыңдығы - бұл шекаралық қабат қабырғадағы сырғанаумен болатын инвисцидті ағынмен салыстырғанда масса ағынының тапшылығын білдіреді деген балама анықтама. Бұл тұтқыр корпуспен бірдей жалпы ағын беру үшін қабырғаны инвисцидті жағдайда ығыстыруға тура келетін қашықтық. The сырғанау жағдайы қатты заттың бетіндегі ағынның жылдамдығы нөлге тең, ал сұйықтық температурасы бетінің температурасына тең болуын талап етеді. Содан кейін ағынның жылдамдығы төменде, шекаралық қабат теңдеулерімен басқарылатын шекаралық қабат ішінде тез өседі.

The жылулық шекара қабатының қалыңдығы денеге дейінгі қашықтық, температура еркін ағынның 99% құрайды. Екі қалыңдықтың қатынасы. Арқылы басқарылады Prandtl нөмірі. Егер Prandtl саны 1-ге тең болса, онда екі шекара қабаты бірдей қалыңдықта болады. Егер Prandtl саны 1-ден үлкен болса, жылулық шекара қабаты жылдамдықтың шекара қабатынан гөрі жұқа болады. Егер Prandtl саны 1-ден аз болса, бұл стандартты жағдайда ауаға қатысты болса, жылулық шекара қабаты жылдамдықтың шекара қабатына қарағанда қалың.

Сияқты жоғары өнімді дизайндарда планерлер және коммерциялық әуе кемелерінде, қарсыласуды азайту үшін шекара қабатының әрекетін басқаруға көп көңіл бөлінеді. Екі эффект қарастырылуы керек. Біріншіден, шекара қабаты дененің тиімді қалыңдығына жылжу қалыңдығы, демек, қысым күшін жоғарылатады. Екіншіден қайшы қанаттың бетіндегі күштер жасайды терінің үйкеліс күші.

Жоғарыда Рейнольдс сандары, толық өлшемді әуе кемелеріне тән, болуы керек ламинарлы шекаралық қабат. Бұл ламинарлы ағынның жылдамдық сипаттамасына байланысты терінің төменгі үйкелісіне әкеледі. Алайда шекара қабаты сөзсіз қалыңдап, ағза бойымен дамыған сайын тұрақсыз болып, ақыр соңында айналады турбулентті, ретінде белгілі процесс шекаралық қабаттың ауысуы. Бұл проблеманы шешудің бір әдісі - шекаралық қабатты а арқылы сорып алу кеуекті беті (қараңыз Шекаралық қабатты сору ). Бұл кедергі күшін азайтуы мүмкін, бірақ оның механикалық күрделілігіне және ауаны жылжытуға және жоюға қажет қуатқа байланысты әдетте практикалық емес. Табиғи ламинарлы ағын (NLF) әдістері шекара қабатын ауытқу қабатын қайта құру арқылы артқа қарай итереді фюзеляж сондықтан оның ең қалың жері артқа, ал қалыңдығы аз болады. Бұл жетекші бөліктегі жылдамдықтарды азайтады және бірдей Рейнольдс санына үлкен ұзындыққа жетеді.

Төменде Рейнольдс сандары мысалы, модельдік ұшақтарда көргендер сияқты, ламинарлы ағынды сақтау оңай. Бұл терінің төмен үйкелісін береді, бұл қажет. Сонымен, ламинарлық шекара қабатын терінің аз үйкелуіне әкелетін жылдамдықтың профилі де оған қатты әсер етеді қысымның жағымсыз градиенттері. Қанат хордасының артқы жағынан қысым қалпына келе бастағанда, ламинарлы шекара қабаты бетінен бөлінуге бейім болады. Мұндай ағынды бөлу ұлғаюына әкеледі қысым күші, өйткені бұл қанат секциясының тиімді мөлшерін едәуір арттырады. Бұл жағдайларда шекара қабатын ламинарлы бөліну орнына дейінгі нүктеде турбуленттілікке әдейі айналдыру тиімді болуы мүмкін. турбулатор. Турбулентті шекара қабатының жылдамдық профилі оның жағымсыз қысым градиентін бөлмей-ақ ұстап тұруына мүмкіндік береді. Осылайша, терінің үйкелісі күшейгенімен, жалпы кедергі төмендейді. Бұл гольф доптарындағы димпингтің негізі құйынды генераторлар әуе кемесінде. Сондай-ақ, қысымды қалпына келтіруге бейімделген арнайы қанат секциялары жасалды, сондықтан ламинарлы бөліну азаяды немесе тіпті жойылады. Бұл ағынның бөлінуінен қысым күші мен индукцияланған турбуленттіктен терінің үйкелісі арасындағы оңтайлы ымыраны білдіреді.

Желді туннельдерде жартылай модельдерді пайдалану кезінде, а пениче кейде шекара қабатының әсерін азайту немесе жою үшін қолданылады.

Шекаралық деңгей теңдеулері

Шегерімі шекаралық теңдеулер сұйықтық динамикасындағы маңызды жетістіктердің бірі болды. Пайдалану магнитудасын талдау тәртібі, танымал басқару Навье - Стокс теңдеулері туралы тұтқыр сұйықтық ағынды шекаралық қабатта едәуір жеңілдетуге болады. Атап айтқанда, сипаттамалық туралы дербес дифференциалдық теңдеулер (PDE) толық Навье - Стокс теңдеулерінің эллиптикалық түріне емес, параболалыққа айналады. Бұл теңдеулерді шешуді едәуір жеңілдетеді. Шекаралық қабатты жуықтау арқылы ағынды инвискальды бөлікке (оны бірнеше әдістермен шешу оңай) және шешуді жеңілдететін шекаралық қабатқа бөледі. PDE. Екі өлшемді тұрақты үшін сабақтастық және Навье-Стокс теңдеулері қысылмайтын ағын жылы Декарттық координаттар арқылы беріледі

${ Displaystyle { ішіндегі u артық ішінара x} + { ішінара upsilon артық ішіндегі y} = 0}$

${ displaystyle u { ішінара u артық жартылай x} + upsilon { жартылай u артық ішінара y} = - {1 үстінде rho} { жартылай p үстінде жартылай x} + { nu } солға ({ жартылай ^ {2} u артық жартылай x ^ {2}} + { жартылай ^ {2} u артық жартылай у ^ {2}} оң)}$

${ displaystyle u { ішінара upsilon артық ішінара x} + upsilon { ішінара upsilon артық ішінара y} = - {1 үстінде rho} { ішінара p үстінде ішінара y} + { nu} солға ({ ішіндегі ^ {2} upsilon артық жартылай x ^ {2}} + { жартылай ^ {2} upsilon асып жартылай у ^ {2}} оңға)}$

қайда ${ displaystyle u}$ және ${ displaystyle upsilon}$ жылдамдық компоненттері болып табылады, ${ displaystyle rho}$ тығыздығы, ${ displaystyle p}$ қысым болып табылады және ${ displaystyle nu}$ болып табылады кинематикалық тұтқырлық сұйықтықтың бір нүктесінде.

Жуықта айтылғандай, жеткілікті жоғары деңгейде Рейнольдс нөмірі беттің үстіндегі ағынды тұтқырлыққа әсер етпейтін инвисцидті ағынның сыртқы аймағына (ағынның көп бөлігі) және тұтқырлық маңызды болатын бетке жақын аймақ (шекаралық қабат) деп бөлуге болады. Келіңіздер ${ displaystyle u}$ және ${ displaystyle upsilon}$ шекаралық қабаттың ішінде сәйкесінше көлденең және көлденең (қабырға қалыпты) жылдамдықтары болуы керек. Қолдану масштабты талдау, жоғарыда келтірілген қозғалыс теңдеулерінің айналу үшін шекаралық қабат ішінде азаятындығын көрсетуге болады

${ displaystyle u { ішінара u артық жартылай x} + upsilon { жартылай u артық ішінара y} = - {1 үстінде rho} { жартылай p үстінде жартылай x} + { nu } { ішіндегі ^ {2} u үстінен ішіндегі y ^ {2}}}$

${ displaystyle {1 over rho} { жарым-жартылай р үсті ішіндегі y} = 0}$

және егер сұйықтық сығылмайтын болса (сұйықтық стандартты жағдайда болғандықтан):

${ Displaystyle { ішіндегі u артық ішінара x} + { ішінара upsilon артық ішіндегі y} = 0}$

Шаманың анализінің тәртібі ағынды ұзындық шкаласын шекаралық қабат ішіндегі көлденең ұзындық шкаласынан едәуір үлкен деп санайды. Демек, ағындық бағытта қасиеттердің өзгеруі, әдетте, қабырғадағы қалыпты бағытқа қарағанда әлдеқайда төмен болады. Мұны үздіксіздік теңдеуіне қолданғаннан көрінеді ${ displaystyle upsilon}$, қабырғаның қалыпты жылдамдығы, салыстырғанда аз ${ displaystyle u}$ ағынды жылдамдық.

Статикалық қысымнан бастап ${ displaystyle p}$ тәуелді емес ${ displaystyle y}$, онда шекаралық қабаттың шетіндегі қысым дегеніміз - бұл берілген ағынды позициядағы шекаралық қабаттағы қысым. Сыртқы қысымды қолдану арқылы алуға болады Бернулли теңдеуі. Келіңіздер ${ displaystyle U}$ шекаралық қабаттан тыс сұйықтық жылдамдығы, мұндағы ${ displaystyle u}$ және ${ displaystyle U}$ екеуі де параллель. Бұл алмастыруға мүмкіндік береді ${ displaystyle p}$ келесі нәтиже

${ Displaystyle u { ішінара u артық жартылай x} + upsilon { жартылай u артық жартылай y} = U { frac {dU} {dx}} + { nu} { ішінара ^ {2 } u over ішінен y ^ {2}}}$

Статикалық қысым болатын ағын үшін ${ displaystyle p}$ ағын бағытында да өзгермейді

${ displaystyle { frac {dp} {dx}} = 0}$

сондықтан ${ displaystyle U}$ тұрақты болып қалады.

Сондықтан қозғалыс теңдеуі болуды жеңілдетеді

${ displaystyle u { ішінара u артық жартылай x} + upsilon { жартылай u үстінен жартылай y} = { nu} { жартылай ^ {2} u артық жартылай y ^ {2}} }$

Бұл жуықтамалар ғылыми және инженерлік қызығушылықтың әртүрлі практикалық ағындық мәселелерінде қолданылады. Жоғарыдағы талдау кез-келген сәтте болады ламинарлы немесе турбулентті шекара қабаты, бірақ негізінен ламинарлы ағындарды зерттеуде қолданылады білдіреді ағын - бұл лездік ағын, өйткені жылдамдықтың ауытқуы жоқ. Бұл оңайлатылған теңдеу параболалық PDE болып табылады және оны көбінесе деп аталатын ұқсастық шешімінің көмегімен шешуге болады Блазиустың шекаралық қабаты.

Прандтлдің транспозиция теоремасы

Prandtl^[2] кез келген шешімнен байқалады ${ displaystyle u (x, y, t), v (x, y, t)}$ шекаралық қабат теңдеулерін қанағаттандыратын, әрі қарайғы шешім ${ displaystyle u ^ {*} (x, y, t), v ^ {*} (x, y, t)}$, сонымен қатар шекаралық деңгей теңдеулерін қанағаттандырады, оны жазу арқылы құруға болады

${ displaystyle u ^ {*} (x, y, t) = u (x, y + f (x), t), quad v ^ {*} (x, y, t) = v (x, y) + f (x), t) -f '(x) u (x, y + f (x), t)})$

қайда ${ displaystyle f (x)}$ ерікті. Шешім математикалық тұрғыдан ерекше емес болғандықтан,^[3] ерітіндіге көрсетілгендей өзіндік функциялардың шексіз жиынтығының кез-келгенін қосуға болады Стюартсон^[4] және Пол А. Либби.^[5][6]

Фон Карман импульс моменті

фон Карман^[7] 1921 жылы шекаралық қабат теңдеуін шекара қабаты бойынша интегралдау арқылы интегралдық теңдеуді шығарды. теңдеуі болып табылады

${ displaystyle { frac { tau _ {w}} { rho U ^ {2}}} = { frac {1} {U ^ {2}}} { frac { жарымжан} { жартылай t }} (U delta _ {1}) + { frac { жарым-жартылай дельта _ {2}} { жартылай x}} + { frac {2 delta _ {2} + delta _ {1} } {U}} { frac { ішінара U} { жартылай x}} + { frac {v_ {w}} {U}}}$

қайда

${ displaystyle tau _ {w} = mu сол жақ ({ frac { жартылай u} { жартылай}} оң) _ {y = 0}, quad v_ {w} = v (x, 0, t), quad delta _ {1} = int _ {0} ^ { infty} left (1 - { frac {u} {U}} right) , dy, quad delta _ {2} = int _ {0} ^ { infty} { frac {u} {U}} left (1 - { frac {u} {U}} right) , dy}$

${ displaystyle tau _ {w}}$ қабырғадағы ығысу стрессі, ${ displaystyle v_ {w}}$ - қабырғадағы сору / инъекция жылдамдығы, ${ displaystyle delta _ {1}}$ жылжу қалыңдығы және ${ displaystyle delta _ {2}}$ импульстің қалыңдығы. Карман-Фольгаузен осы теңдеуден алынған.

Энергетикалық интеграл

Энергетикалық интеграл шығарылды Вигардт.^[8][9]

${ displaystyle { frac {2 varepsilon} { rho U ^ {3}}} = { frac {1} {U}} { frac { жарым-жартылай} { жартылай t}} ( delta _ { 1} + delta _ {2}) + { frac {2 delta _ {2}} {U ^ {2}}} { frac { ішінара U} { жартылай t}} + { frac { 1} {U ^ {3}}} { frac { жарым-жартылай} { жартылай x}} (U ^ {3} delta _ {3}) + { frac {v_ {w}} {U}} }$

қайда

${ displaystyle varepsilon = int _ {0} ^ { infty} mu сол ({ frac { жартылай u} { ішінара y}} оң) ^ {2} dy, quad delta _ {3} = int _ {0} ^ { infty} { frac {u} {U}} сол (1 - { frac {u ^ {2}} {U ^ {2}}} оң ), dy}$

${ displaystyle varepsilon}$ - бұл шекаралық қабаттағы тұтқырлыққа байланысты энергияның бөліну жылдамдығы және ${ displaystyle delta _ {3}}$ бұл энергияның қалыңдығы.^[10]

Фон Мизес түрленуі

Тұрақты екі өлшемді шекаралық қабаттар үшін, фон Мизес^[11] қабылдайтын өзгерісті енгізді ${ displaystyle x}$ және ${ displaystyle psi}$(ағын функциясы ) орнына тәуелсіз айнымалылар ретінде ${ displaystyle x}$ және ${ displaystyle y}$ және тәуелді айнымалыны қолданады ${ displaystyle chi = U ^ {2} -u ^ {2}}$ орнына ${ displaystyle u}$. Содан кейін шекаралық қабат теңдеуі болады

${ displaystyle { frac { жарым-жартылай chi} { жартылай x}} = nu { sqrt {U ^ {2} - chi}} , { frac { жартылай ^ {2} chi} { жарым-жартылай psi ^ {2}}}}$

Бастапқы айнымалылар қалпына келтірілді

${ displaystyle y = int { sqrt {U ^ {2} - chi}} , d psi, quad u = { sqrt {U ^ {2} - chi}}, quad v = u int { frac { qismli} { ішінара x}} сол ({ frac {1} {u}} оң) , d psi.}$

Бұл трансформация кейіннен қысылатын шекаралық қабатқа дейін кеңейтіледі фон Карман және HS Циан.^[12]

Крокконың өзгеруі

Тұрақты екі өлшемді қысылатын шекаралық қабат үшін, Луиджи Крокко^[13] қабылдайтын өзгерісті енгізді ${ displaystyle x}$ және ${ displaystyle u}$ орнына тәуелсіз айнымалылар ретінде ${ displaystyle x}$ және ${ displaystyle y}$ және тәуелді айнымалыны қолданады ${ displaystyle tau = mu ішінара u / ішінара у}$(ығысу стрессі) орнына ${ displaystyle u}$. Содан кейін шекаралық қабат теңдеуі болады

${ displaystyle { begin {aligned} & mu rho u { frac { жарымжан} { ішінара x}} сол ({ frac {1} { tau}} оң) + { frac { ішінара ^ {2} tau} { жартылай u ^ {2}}} - mu { frac {dp} {dx}} { frac { жарым-жартылай} { жартылай u}} солға ({ frac {1} { tau}} right) = 0, [5pt] & { text {if}} { frac {dp} {dx}} = 0, { text {then}} { frac { mu rho} { tau ^ {2}}} { frac { жарым-жартылай tau} { жартылай x}} = { frac {1} {u}} { frac { жартылай ^ { 2} tau} { ішіндегі u ^ {2}}}. Соңы {тураланған}}}$

Бастапқы координат қалпына келтірілді

${ displaystyle y = mu int { frac {du} { tau}}.}$

Турбулентті шекаралық қабаттар

Турбулентті шекара қабаттарын өңдеу ағын қасиеттерінің уақытқа байланысты өзгеруіне байланысты әлдеқайда қиын. Турбулентті ағындармен күресетін ең кең қолданылатын әдістердің бірі қолдану болып табылады Рейнольдстың ыдырауы. Мұндағы лездік ағынның қасиеттері орташа және құбылмалы компонентке ыдырайды. Бұл техниканы шекаралық деңгей теңдеулеріне қолдану әдебиетте жиі кездеспейтін турбулентті шекара деңгейінің толық теңдеулерін береді:

${ displaystyle { жарым-жартылай { үстіңгі сызық {u}} артық жартылай x} + { жартылай { үстіңгі сызық {v}} артық жартылай =}}$

${ displaystyle { overline {u}} { partional { overline {u}} over ішінара x} + { overline {v}} { partional { overline {u}} over ішінара y} = - {1 over rho} { ішінара { сызық {p}} үстінен ішінара x} + nu сол ({ ішінара ^ {2} { сызықша {u}} үсті ішінара x ^ {2}} + { ішінара ^ {2} { үстіңгі сызық {u}} үстінен ішінара у ^ {2}} оң) - { frac { жарым-жартылай} { жартылай}} ({ үстіңгі сызық {u'v '}}) - { frac { жарымжан} { ішінара x}} ({ сызықша {u' ^ {2}}})}$

${ displaystyle { overline {u}} { partional { overline {v}} over ішінара x} + { overline {v}} { partional { overline {v}} over ішінара y} = - {1 over rho} { ішінара { сызық {p}} үстінен ішінара y} + nu сол ({ ішінара ^ {2} { үстіңгі сызық {v}} үстінен ішінара x ^ {2}} + { ішінара ^ {2} { үстіңгі сызық {v}} үстінен ішінара у ^ {2}} оң) - { frac { жарым-жартылай} { ішінара x}} ({ үстіңгі сызық {u'v '}}) - { frac { жарымжан} { жартылай}} ({ сызық {v' ^ {2}}})}$

Ұқсас тәртіптілік анализін қолданып, жоғарыда келтірілген теңдеулерді жетекші тапсырыс шарттарына келтіруге болады. Ұзындық шкалаларын таңдау арқылы ${ displaystyle delta}$ көлденең бағыттағы өзгерістер үшін және ${ displaystyle L}$ ағынды бағыттағы өзгерістер үшін, бірге ${ displaystyle delta << L}$, х импульсінің теңдеуі мынаны жеңілдетеді:

${ displaystyle { overline {u}} { partional { overline {u}} over ішінара x} + { overline {v}} { жарым-жартылай { overline {u}} over ішінара y} = - {1 үстінде rho} { ішінара { сызықша {p}} үстінде ішінара x} - { frac { жартылай} { ішінара y}} ({ сызықша {u'v '}} ).}$

Бұл теңдеуді қанағаттандырмайды сырғанау жағдайы қабырғаға. Прандтль өзінің шекаралық деңгей теңдеулеріне ұқсас, тұтқыр мүше импульс импульсінің теңдеуінде жетекші ретке айналуы үшін ұзындықтың жаңа кіші шкаласын қолдану керек. Таңдау арқылы ${ displaystyle eta << delta}$ ретінде ж- масштаб, осы «ішкі шекара қабаты» үшін жетекші импульс импульсінің теңдеуі:

${ displaystyle 0 = - {1 үстінде rho} { ішінара { үсті сызық {p}} үстінде ішінара x} + { nu} { жартылай ^ {2} { үстіңгі сызық {u}} артық іштей у ^ {2}} - { frac { жартылай} { жартылай}} ({ сызықша {u'v '}}).}$

Рейнольдстың шексіз санының шегінде қысым градиентінің мүшесі турбулентті шекара қабатының ішкі аймағына әсер етпейтінін көрсетуге болады. Жаңа «ішкі ұзындық шкаласы» ${ displaystyle eta}$ бұл тұтқыр ұзындық шкаласы және ретке келтірілген ${ displaystyle { frac { nu} {u _ {*}}}}$, бірге ${ displaystyle u _ {*}}$ турбулентті ауытқудың жылдамдық шкаласы бола отырып, бұл жағдайда а үйкеліс жылдамдығы.

Ламинарлық шекаралық теңдеулерден айырмашылығы, ағын масштабтарының әртүрлі жиынтығымен басқарылатын екі режимнің болуы (яғни ішкі және сыртқы масштабтау) турбулентті шекара қабаты үшін әмбебап ұқсастық шешімін табуды қиын және даулы етті. Ағымның екі аймағын да қамтитын ұқсастық шешімін табу үшін ағынның екі аймағының шешімдерін асимптотикалық түрде сәйкестендіру қажет. Мұндай талдау не деп аталатынды береді заңнама немесе күш-заң.

Қосымша мерзім ${ displaystyle { overline {u'v '}}}$ турбулентті шекаралық қабат теңдеулерінде Рейнольдстың ығысу кернеуі белгілі және белгісіз априори. Турбулентті шекаралық қабат теңдеулерінің шешімі а-ны қолдануды қажет етеді турбуленттік модель, бұл Рейнольдстың ығысу стрессін белгілі ағынның айнымалылары немесе туындылары бойынша өрнектеуге бағытталған. Мұндай модельдердің дәлдігі мен жалпылығының болмауы қазіргі заманғы сұйықтық динамикасындағы турбулентті ағындық қасиеттерді сәтті болжауға үлкен кедергі болып табылады.

Жақын қабырға аймағында тұрақты стресс қабаты бар. Қабырғаға жақын жылдамдықтың вертикальды ауытқуларының сөнуіне байланысты Рейнольдстің кернеу мүшесі елеусіз болады және сызықтық жылдамдық профилі бар екенін анықтаймыз. Бұл тек өте жақсы қабырға аймағына жақын.

Жылу және масса алмасу

1928 жылы француз инженері Андре Левек ағынды сұйықтықтағы конвективті жылу алмасуға тек бетке өте жақын жылдамдық мәндері әсер ететіндігін байқады.^[14][15] Үлкен Prandtl ағындары үшін температура / массаның бетінен ағынның температурасына өтуі жер бетіне жақын өте жұқа аймақ бойынша жүреді. Сондықтан сұйықтықтың ең маңызды жылдамдығы - бұл жылдамдықтың өзгеруін бетінен қалыпты қашықтықта сызықтық деп санауға болатын осы өте жұқа аймақтың ішіндегі жылдамдықтар. Осылайша, үшін

${ displaystyle u (y) = U сол жақта [1 - { frac {(yh) ^ {2}} {h ^ {2}}} right] = U { frac {y} {h}} сол жақта [2 - { frac {y} {h}} right] ;,}$

қашан ${ displaystyle y rightarrow 0}$, содан кейін

${ displaystyle u (y) шамамен 2U { frac {y} {h}} = theta y,}$

қайда θ қабырғаға қиылысатын Пуазейль параболасының тангенсі болып табылады.Левек шешімі Пуазейль ағынына жылу беру үшін ерекше болғанымен, оның түсінігі басқа ғалымдарды жылу шекара-қабат мәселесін дәл шешуге жетелейді.^[16] Шух шекаралық қабатта, сен қайтадан -ның сызықтық функциясы болып табылады ж, бірақ бұл жағдайда қабырға тангенсі функциясы болып табылады х.^[17] Ол мұны Левек профилінің өзгертілген нұсқасымен білдірді,

${ displaystyle u (y) = theta (x) y.}$

Бұл тіпті жақсы болса да, өте жақсы жуықтауға әкеледі ${ displaystyle Pr}$ тек сұйық металдар болатындай етіп сандар ${ displaystyle Pr}$ 1-ден әлдеқайда аз болса, оны емдеу мүмкін емес.^[16]1962 жылы Кестин мен Персен термиялық шекара қабаты импульс қабатында және қабырға температурасының әр түрлі үлестірілуінде болған кезде жылу беру шешімдерін сипаттайтын еңбек жариялады.^[18] Температура секіретін жазық табақша мәселесі үшін ${ displaystyle x = x_ {0}}$, олар параболалық жылулық шекара-қабат теңдеуін қарапайым дифференциалдық теңдеуге келтіретін ауыстыруды ұсынады. Осы теңдеудің шешімі, сұйықтықтың кез-келген нүктесіндегі температура, толық емес түрінде көрсетілуі мүмкін гамма функциясы.^[15] Шлихтинг термиялық шекара-қабат теңдеуін шешімі бірдей толық емес гамма функциясы болатын кәдімгі дифференциалдық теңдеуге келтіретін баламалы алмастыруды ұсынды.^[19]

Шекаралық қабатты талдаудан конвективті тасымалдау тұрақтылары

Пол Ричард Генрих Блазиус жоғарыда айтылғандарға нақты шешім шығарды ламинарлы шекаралық қабат теңдеулер.^[20] The қалыңдық шекара қабатының ${ displaystyle delta}$ функциясы болып табылады Рейнольдс нөмірі ламинарлы ағынға арналған.

${ displaystyle delta approx 5.0 {x over { sqrt {Re}}}}$

${ displaystyle delta}$ = шекаралық қабаттың қалыңдығы: жылдамдық алыс өріс жылдамдығының 99% -дан аз болатын ағын аймағы ${ displaystyle v _ { infty}}$; ${ displaystyle x}$ - бұл жартылай шексіз тақта бойындағы орналасу, және ${ displaystyle Re}$ болып берілген Рейнольдс саны ${ displaystyle rho v _ { infty} x / mu}$ (${ displaystyle rho =}$ тығыздығы және ${ displaystyle mu =}$ динамикалық тұтқырлық).

Блазиус ерітіндісі шекаралық шарттарды өлшемсіз түрде қолданады:

${ displaystyle {v_ {x} -v_ {S} over v _ { infty} -v_ {S}} = {v_ {x} over v _ { infty}} = {v_ {y} over v_ { infty}} = 0}$     кезінде     ${ displaystyle y = 0}$

${ displaystyle {v_ {x} -v_ {S} over v _ { infty} -v_ {S}} = {v_ {x} over v _ { infty}} = 1}$     кезінде     ${ displaystyle y = infty}$ және ${ displaystyle x = 0}$

Жылдамдық шекара қабаты (жоғарғы, қызғылт сары) және температуралық шекара қабаты (төменгі, жасыл) импульс / энергия теңгерімдері мен шекаралық шарттардың ұқсастығына байланысты функционалды форманы бөліседі.

Көп жағдайда тайып кетпейтін шекара шарты оны сақтайтынын ескеріңіз ${ displaystyle v_ {S}}$, пластинаның бетіндегі сұйықтық жылдамдығы барлық жерлерде пластинаның жылдамдығына тең. Егер пластина қозғалмаса, онда ${ displaystyle v_ {S} = 0}$. Сұйықтықтың сырғуына жол берілсе, әлдеқайда күрделі туынды қажет.^[21]

Шындығында, жартылай шексіз пластинаның үстіндегі шекаралық қабаттағы ламинарлық жылдамдық профиліне арналған Блазиус ерітіндісін жылу мен масса алмасу үшін жылу және шоғырлану шекара қабаттарын сипаттау үшін оңай кеңейтуге болады. Дифференциалды х импульсінің тепе-теңдігінен (қозғалыс теңдеуі) емес, мұнда ұқсас алынған Энергия және Масса тепе-теңдігі қолданылады:

Энергия:         ${ displaystyle v_ {x} { жартылай T артық жартылай x} + v_ {y} { жартылай T артық жартылай y} = {k артық rho C_ {p}} { жартылай ^ {2 } T over ішінен y ^ {2}}}$

Масса:           ${ displaystyle v_ {x} { ішінара c_ {A} артық жартылай x} + v_ {y} { жартылай с_ {A} артық жартылай y} = D_ {AB} { жартылай ^ {2} c_ {A} over ішінен y ^ {2}}}$

Импульстің тепе-теңдігі үшін кинематикалық тұтқырлық ${ displaystyle nu}$ деп санауға болады импульс диффузиясы. Энергия балансында бұл жылу диффузиясымен ауыстырылады ${ displaystyle alpha = {k / rho C_ {P}}}$және жаппай диффузия бойынша ${ displaystyle D_ {AB}}$ бұқаралық теңгерімде. Заттың жылу диффузиясында, ${ displaystyle k}$ оның жылу өткізгіштігі, ${ displaystyle rho}$ оның тығыздығы және ${ displaystyle C_ {P}}$ оның жылу сыйымдылығы. АБ индексі В түрлеріне таралатын А түрлерінің диффузиясын білдіреді.

Деген болжам бойынша ${ displaystyle alpha = D_ {AB} = nu}$, бұл теңдеулер импульс балансына эквивалентті болады. Осылайша, Prandtl нөмірі үшін ${ displaystyle Pr = nu / альфа = 1}$ және Шмидт нөмірі ${ displaystyle Sc = nu / D_ {AB} = 1}$ Blasius шешімі тікелей қолданылады.

Тиісінше, бұл туынды шекаралық шарттардың ауыстырылатын түрін қолданады ${ displaystyle v}$ бірге ${ displaystyle T}$ немесе ${ displaystyle c_ {A}}$ (абсолютті температура немесе А түрлерінің концентрациясы). S индексі беткі жағдайды білдіреді.

${ displaystyle {v_ {x} -v_ {S} over v _ { infty} -v_ {S}} = {T-T_ {S} over T _ { infty} -T_ {S}} = {c_ {A} -c_ {AS} over c_ {A infty} -c_ {AS}} = 0}$     кезінде     ${ displaystyle y = 0}$

${ displaystyle {v_ {x} -v_ {S} over v _ { infty} -v_ {S}} = {T-T_ {S} over T _ { infty} -T_ {S}} = {c_ {A} -c_ {AS} over c_ {A infty} -c_ {AS}} = 1}$     кезінде     ${ displaystyle y = infty}$ және ${ displaystyle x = 0}$

Пайдалану функцияны оңтайландыру Бласиус пластина бетіндегі ығысу кернеуі үшін келесі ерітінді алды.

${ displaystyle tau _ {0} = солға ({ жартылай v_ {x} артық жартылай y} оңға) _ {y = 0} = 0.332 {v _ { infty} артық x} Re ^ { 1/2}}$

Шекаралық шарттар арқылы бұл белгілі

${ displaystyle {v_ {x} -v_ {S} over v _ { infty} -v_ {S}} = {T-T_ {S} over T _ { infty} -T_ {S}} = {c_ {A} -c_ {AS} over c_ {A infty} -c_ {AS}}}$

Пластинаның бетінен жылу / масса ағыны үшін бізге келесі қатынастар берілген

${ displaystyle сол жақта ({ ішінара Т артық ішті у} оңға) _ {y = 0} = 0.332 {T _ { infty} -T_ {S} over x} Re ^ {1/2}}$

${ displaystyle сол жақта ({ ішінара c_ {A} артық жартылай y} оңға) _ {y = 0} = 0.332 {c_ {A infty} -c_ {AS} over x} Re ^ {1 / 2}}$

Сондықтан ${ displaystyle Pr = Sc = 1}$

${ displaystyle delta = delta _ {T} = delta _ {c} = {5.0x over { sqrt {Re}}}}$

қайда ${ displaystyle delta _ {T}, delta _ {c}}$ ағын аймақтары болып табылады ${ displaystyle T}$ және ${ displaystyle c_ {A}}$ олардың алыс өріс мәндерінің 99% -нан азы.^[22]

Белгілі бір сұйықтықтың Prandtl саны көбіне бірлік бола бермейтіндіктен, онымен жұмыс істеген неміс инженері Э.Полхаузен Людвиг Прандтл қолдану үшін осы теңдеулерді эмпирикалық түрде кеңейтуге тырысты ${ displaystyle Pr neq 1}$. Оның нәтижелерін қолдануға болады ${ displaystyle Sc}$ сонымен қатар.^[23] Ол Prandtl саны 0,6-дан үлкен екенін анықтады жылулық шекара қабатының қалыңдығы шамамен берген:

Жылулық шекара қабатындағы жылдамдықтың шекара қабатымен салыстырмалы қалыңдығын (қызылмен) әр түрлі Prandtl сандарына арналған сызба. Үшін ${ displaystyle Pr = 1}$, екеуі тең.

${ displaystyle { delta over delta _ {T}} = Pr ^ {1/3}}$          сондықтан          ${ displaystyle { delta over delta _ {c}} = Sc ^ {1/3}}$

Осы шешімнен шекаралық қабат ағынының аймағына негізделген конвективті жылу / масса алмасу тұрақтыларын сипаттауға болады. Фурье өткізгіштік заңы және Салқындату туралы Ньютон заңы жоғарыда келтірілген ағын терминімен және шекара қабатының қалыңдығымен біріктірілген.

${ displaystyle {q over A} = - k сол ({ жартылай T артық жартылай y} оң) _ {y = 0} = h_ {x} (T_ {S} -T _ { infty} )}$

${ displaystyle h_ {x} = 0.332 {k over x} Re_ {x} ^ {1/2} Pr ^ {1/3}}$

Бұл жергілікті конвективті тұрақты береді ${ displaystyle h_ {x}}$ жартылай шексіз жазықтықтың бір нүктесінде. Пластинаның ұзындығына интегралдау орташа мәнді береді

${ displaystyle h_ {L} = 0.664 {k over x} Re_ {L} ^ {1/2} Pr ^ {1/3}}$

Жаппай тасымалдау шарттарымен алынғаннан кейін (${ displaystyle k}$ = конвективті масса алмасу константасы, ${ displaystyle D_ {AB}}$ = А түрлерінің В түрлеріне диффузиялануы, ${ displaystyle Sc = nu / D_ {AB}}$ ), келесі шешімдер алынады:

${ displaystyle k '_ {x} = 0.332 {D_ {AB} over x} Re_ {x} ^ {1/2} Sc ^ {1/3}}$

${ displaystyle k '_ {L} = 0.664 {D_ {AB} over x} Re_ {L} ^ {1/2} Sc ^ {1/3}}$

Бұл шешімдер Prandtl / Schmidt саны 0,6-дан жоғары ламинарлы ағынға қолданылады.^[22]

Әскери-теңіз архитектурасы

Бұл бөлім кеңейтуді қажет етеді. Сіз көмектесе аласыз оған қосу. (Сәуір 2009)

Ұшақтарға қолданылатын көптеген қағидалар кемелерге, сүңгуір қайықтарға және теңіз платформаларына да қатысты.

Кемелер үшін әуе кемелерінен айырмашылығы сығылмайтын ағындармен айналысады, мұнда судың тығыздығының өзгеруі шамалы (қысымның 1000кПа-ға жақындауы 2-3 кг / м ғана өзгеріске әкеледі)³). Сұйықтық динамикасының бұл өрісі гидродинамика деп аталады. Кеме инженері алдымен гидродинамиканы, ал күшін кейінірек жасайды. Шекаралық қабаттың дамуы, бұзылуы және бөлінуі өте маңызды болады, өйткені судың тұтқырлығы жоғары ығысу кернеулерін тудырады. Жоғары тұтқырлықтың тағы бір салдары - бұл сырғанау ағынының әсері, онда кеме жоғары жылдамдықпен губканы жыртып өтетін найза тәрізді қозғалады.^{[дәйексөз қажет ]}

Шекаралық қабат турбинасы

Бұл әсер пайдаланылды Тесла турбина, патенттелген Никола Тесла 1913 жылы. Ол безсіз деп аталады турбина өйткені ол әдеттегі турбинадағыдай жүздерге әсер ететін сұйықтықты емес, шекаралық қабат әсерін қолданады. Шекаралық қабатты турбиналар когезиялық типтегі турбина, майсыз турбина және Prandtl қабатты турбина деп аталады (кейін Людвиг Прандтл ).

Цилиндрдегі өтпелі шекара қабатының қалыңдығын өлшемдік анализді қолдану арқылы болжау

Цилиндрлік ағынға арналған өтпелі және тұтқыр күш теңдеулерін қолдану арқылы сіз Вомерсли санын табу арқылы өтпелі шекара қабатының қалыңдығын болжай аласыз (${ displaystyle N_ {w}}$).

Өтпелі күш = ${ displaystyle rho vw}$

Тұтқыр күш = ${ displaystyle { mu v over delta _ {1} ^ {2}}}$

Оларды бір-біріне тең етіп қою:

${ displaystyle rho vw = { mu v over delta _ {1} ^ {2}}}$

Дельтаға шешім:

${ displaystyle delta _ {1} = { sqrt { mu over rho w}} = { sqrt { v over w}}}$

Өлшемсіз нысанда:

${ displaystyle {L over delta _ {1}} = {L { sqrt {w over v}}} = N_ {w}}$

қайда ${ displaystyle N_ {w}}$ = Вомерсли нөмірі; ${ displaystyle rho}$ = тығыздық; ${ displaystyle v}$ = жылдамдық; ${ displaystyle w =}$ ?; ${ displaystyle delta _ {1}}$ = өтпелі шекара қабатының ұзындығы; ${ displaystyle mu}$ = тұтқырлық; ${ displaystyle L}$ = сипаттамалық ұзындық.

Цилиндрдегі шекаралық қабаттағы ағынның конвективті жағдайын өлшемді талдаудың көмегімен болжау

Цилиндрлік ағын үшін шекаралық қабаттағы конвективті және тұтқыр күш теңдеулерін қолдану арқылы сіз шекаралас қабаттағы конвективті ағынның жағдайларын өлшемсіз Рейнольдс санын табу арқылы болжай аласыз (${ displaystyle Re}$).

Конвективті күш: ${ displaystyle rho v ^ {2} over L}$

Тұтқыр күш: ${ displaystyle { mu v over delta _ {2} ^ {2}}}$

Оларды бір-біріне тең етіп қою:

${ displaystyle { rho v ^ {2} over L} = { mu v over delta _ {2} ^ {2}}}$

Дельтаға шешім:

${ displaystyle delta _ {2} = { sqrt { mu L over rho v}}}$

Өлшемсіз нысанда:

${ displaystyle {L over delta _ {2}} = { sqrt { rho vL over mu}} = { sqrt {Re}}}$

қайда ${ displaystyle Re}$ = Рейнольдс нөмірі; ${ displaystyle rho}$ = тығыздық; ${ displaystyle v}$ = жылдамдық; ${ displaystyle delta _ {2}}$ = конвективті шекара қабатының ұзындығы; ${ displaystyle mu}$ = тұтқырлық; ${ displaystyle L}$ = сипаттамалық ұзындық.

Шекаралық қабатты қабылдау

Шекаралық қабатты қабылдау ұлғаюды жоғарылатады ұшақтың жанармай тиімділігі артқа бекітілген қозғалтқыш баяу ішу фюзеляж шекара қабаты және энергияны қайта қуаттау ояну жақсаруды азайту және жақсарту қозғаушы тиімділік.Бұрмаланған ауа ағынында жұмыс істеу үшін желдеткіш ауыр болады және оның тиімділігі төмендейді, ал оны біріктіру қиынға соғады. Аврора D8 немесе француз зерттеу агенттігі Onera Нова, фюзеляждың шекара қабатының 40% жұтып, круизде 5% үнемдейді.^[24]

Airbus наутилиус концепциясын ұсынды ICAS 2018 жылдың қыркүйегіндегі конгресс: фюзеляждың барлық шекара қабатын жұту, ал минимумды азайту азимутальды ағынның бұрмалануы, фюзеляж 13-18: 1-мен екі шпиндельге бөлінеді айналып өту коэффициенті Желдеткіштер.Пропульсивтік тиімділік қарама-қарсы айналу сияқты 90% дейін ашық роторлар кішігірім, жеңіл, онша күрделі емес және шулы қозғалтқыштармен, ол әдеттегі 15: 1 айналмалы қозғалтқышпен салыстырғанда отынның жануын 10% -дан төмендетуі мүмкін.^[24]

Сондай-ақ қараңыз

• Шекара қабатын бөлу
• Шекаралық қабаттың қалыңдығы
• Термиялық шекара қабатының қалыңдығы мен формасы
• Шекаралық қабатты сору
• Қабатты бақылау
• Блазиустың шекаралық қабаты
• Фалькнер-Скан шекаралық қабаты
• Экман қабаты
• Планетарлық шекара қабаты
• Қабырғаның логарифмдік заңы
• Пішін коэффициенті (шекаралық қабат ағыны)
• Қиын стресс
• Беткі қабат

Әдебиеттер тізімі

• Шансон, Х. (2009). Қолданбалы гидродинамика: идеал және нақты сұйықтық ағындарына кіріспе. CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, The Netherlands, 478 pages. ISBN  978-0-415-49271-3.
• A.D. Polyanin and V.F. Zaitsev, Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton – London, 2004. ISBN  1-58488-355-3
• A.D. Polyanin, A.M. Kutepov, A.V. Vyazmin, and D.A. Kazenin, Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN  0-415-27237-8
• Hermann Schlichting, Klaus Gersten, E. Krause, H. Jr. Oertel, C. Mayes "Boundary-Layer Theory" 8th edition Springer 2004 ISBN  3-540-66270-7
• John D. Anderson, Jr., "Ludwig Prandtl's Boundary Layer", Бүгінгі физика, Желтоқсан 2005
• Андерсон, Джон (1992). Аэродинамика негіздері (2-ші басылым). Toronto: S.S.CHAND. 711–714 беттер. ISBN  0-07-001679-8.
• H. Tennekes және J. L. Lumley, "A First Course in Turbulence", The MIT Press, (1972).
• Lectures in Turbulence for the 21st Century by William K. George

Сыртқы сілтемелер

• National Science Digital Library – Boundary Layer
• Moore, Franklin K., "Displacement effect of a three-dimensional boundary layer ". NACA Report 1124, 1953.
• Benson, Tom, "Шекаралық қабат ". NASA Glenn Learning Technologies.
• Boundary layer separation
• Boundary layer equations: Exact Solutions – from EqWorld
• Jones, T.V. BOUNDARY LAYER HEAT TRANSFER