Блазиустың шекаралық қабаты - Blasius boundary layer

Жылы физика және сұйықтық механикасы, а Блазиустың шекаралық қабаты (атымен Пол Ричард Генрих Блазиус ) тұрақты екі өлшемді ламинарды сипаттайды шекаралық қабат тұрақты жартылай ағынға параллель ұсталатын жартылай шексіз пластинада пайда болады. Кейінірек Фалькнер мен Скан сына ағымы туралы Блазиустың шешімін жалпылама жасадыФалькнер-Скан шекаралық қабаты ), яғни плита ағынға параллель емес болатын ағындар.

Прандтлдің шекаралық деңгей теңдеулері

A схемалық Blasius ағыны профилінің диаграммасы. Ағындық жылдамдық компоненті

{displaystyle u (eta) / U (x)}

ұқсастық айнымалысының функциясы ретінде көрсетілген

{displaystyle eta}

.

Масштабты дәлелдерді қолдану, Людвиг Прандтл^[1] терминдерінің жартысына жуығы Навье-Стокс теңдеулері шекаралық қабаттар ағындарында шамалы (тақтайшаның алдыңғы шетіне жақын шағын аймақты қоспағанда). Бұл белгілі теңдеулердің қысқартылған жиынтығына әкеледі шекаралық теңдеулер. Тұтқырлығы мен тығыздығы тұрақты сығылмайтын ағын үшін мыналар оқылады:

Үздіксіздік: ${displaystyle {dfrac {ішінара u} {ішінара x}} + {dfrac {ішінара v} {ішінара y}} = 0}$

${displaystyle x}$ -Моментум: ${displaystyle u {dfrac {ішінара u} {ішінара x}} + v {dfrac {ішінара u} {ішінара y}} = - {dfrac {1} {ho}} {dfrac {ішінара p} {ішінара x}} + {u} {dfrac {ішінара ^ {2} u} {ішінара y ^ {2}}}}$

${displaystyle y}$ -Моментум: ${displaystyle {dfrac {ішінара p} {ішінара y}} = 0}$

Мұнда координаттар жүйесі таңдалады ${displaystyle x}$ ағынның бағытымен және табаққа параллель бағытталған ${displaystyle y}$ еркін ағынға бағытталған координат, ${displaystyle u}$ және ${displaystyle v}$ болып табылады ${displaystyle x}$ және ${displaystyle y}$ жылдамдық компоненттері, ${displaystyle p}$ болып табылады қысым, ${displaystyle ho}$ болып табылады тығыздық және ${displaystyle u}$ болып табылады кинематикалық тұтқырлық.

The ${displaystyle y}$ -моментум теңдеуі шекаралық қабаттағы қысым кез келген берілген үшін еркін ағынға тең болуы керек дегенді білдіреді ${displaystyle x}$ үйлестіру. Жылдамдық профилі еркін ағында біркелкі болғандықтан, дауыл жоқ, сондықтан қарапайым Бернулли теңдеуі жоғары деңгейде қолдануға болады Рейнольдс нөмірі шектеу ${displaystyle {dfrac {p} {ho}} + {dfrac {U ^ {2}} {2}} =}$ константор, сараланғаннан кейін: ${displaystyle {dfrac {1} {ho}} {dfrac {dp} {dx}} = - U {dfrac {dU} {dx}}}$ Мұнда ${displaystyle U (x)}$ - бұл сұйықтықтың шекаралық қабаттан тыс жылдамдығы және Эйлер теңдеулері (сұйықтық динамикасы).

Фон Карман моменті интеграл және Blasius профиліне арналған энергия интегралына дейін азаяды

{displaystyle {frac {au _ {w}} {ho U ^ {2}}} = {frac {жартылай дельта _ {2}} {ішінара x}} + {frac {v_ {w}} {U}}}

{displaystyle {frac {2varepsilon} {ho U ^ {3}}} = {frac {ішінара delta _ {3}} {ішінара x}} + {frac {v_ {w}} {U}}}

қайда ${displaystyle au _ {w}}$ қабырғадағы ығысу стрессі, ${displaystyle v_ {w}}$ қабырғаға енгізу / сору жылдамдығы, ${displaystyle varepsilon}$ бұл энергияның бөліну жылдамдығы, ${displaystyle delta _ {2}}$ импульстің қалыңдығы және ${displaystyle delta _ {3}}$ бұл энергияның қалыңдығы.

Осы теңдеуге бірнеше ұқсастық шешімдері ағынның әртүрлі типтері үшін, соның ішінде жалпақ табақша шекара қабаттары үшін де табылды. Термин ұқсастық ағынның әртүрлі позицияларындағы жылдамдық профильдері масштабтау коэффициентінен бөлек бірдей болатын қасиетке жатады. Бұл шешімдер көбінесе сызықтық емес қарапайым дифференциалдық теңдеулер түрінде ұсынылады.

Бласий теңдеуі - бірінші ретті шекара қабаты

Блазиус^[2] еркін ағынның жылдамдығы тұрақты болатын жағдайда ұқсастық шешімін ұсынды, ${displaystyle U (x) = U = {ext {тұрақты}}, dU / dx = 0}$ , ол еркін ағынға параллель бағытталған жалпақ табақша үстіндегі шекара қабатына сәйкес келеді. Өзіне ұқсас шешім теңдеулер мен шекаралық шарттар трансформация кезінде өзгермейтін болғандықтан болады

{displaystyle xightarrow c ^ {2} x, quar yightarrow cy, quad uightarrow u, quad vightarrow {frac {v} {c}}}

қайда ${displaystyle c}$ кез келген оң тұрақты болып табылады. Ол өзіне ұқсас айнымалыларды енгізді

Блазиустың шекаралық қабатын дамыту (масштабта емес). Жылдамдық профилі

{displaystyle f '}

тақта бойымен таңдалған позицияларда қызыл түспен көрсетілген. Көк сызықтар жоғарыдан төменге қарай 99% ағынның жылдамдық сызығын бейнелейді (

{displaystyle delta _ {99 \%}, шамамен 3.5}

), орын ауыстыру қалыңдығы (

{displaystyle delta _ {*}, және шамамен 1.21}

) және

{displaystyle delta (x)}

(

{displaystyle eta = 1}

). Қараңыз Шекаралық қабаттың қалыңдығы толығырақ түсіндіру үшін.

{displaystyle eta = {dfrac {y} {delta (x)}} = y {sqrt {dfrac {U} {u x}}}, quad psi = {sqrt {u Ux}} f (eta)}

қайда ${displaystyle delta (x) propto {sqrt {u x / U}}}$ болып табылады шекара қабатының қалыңдығы және ${displaystyle psi}$ болып табылады ағын функциясы жаңадан енгізілген ағын функциясы енгізілген, ${displaystyle f (eta)}$ , тек ұқсастық айнымалысының функциясы болып табылады. Бұл жылдамдық компоненттеріне тікелей әкеледі

{displaystyle u (x, y) = {dfrac {ішінара psi} {ішінара y}} = Uf '(және), төртбұрыш v (x, y) = - {dfrac {ішінара psi} {ішінара x}} = {frac {1} {2}} {sqrt {dfrac {u U} {x}}} [eta f '(eta) -f (eta)]}

Мұндағы жай туынды сөзді қай жерде білдіреді ${displaystyle eta}$ .Қозғалыс импульсінің теңдеуіне ауыстыру Бласий теңдеуін береді

{displaystyle 2f '' '+ f''f = 0}

Шектік шарттар сырғанау жағдайы, қабырғаның өткізбейтіндігі және шекаралық қабаттан тыс еркін ағынның жылдамдығы

{displaystyle u (x, 0) = 0 тірек f '(0) = 0}

{displaystyle v (x, 0) = 0 тірек f (0) = 0}

{displaystyle u (x, infty) = Uightarrow f '(infty) = 1}

Бұл сызықтық емес үшінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу оны сандық түрде шешуге болады, мысалы. бірге түсіру әдісі.

Шағын түрі ${displaystyle eta << 1}$ болып табылады

{displaystyle f (eta) = {frac {1} {2}} alfa eta ^ {2} + O (eta ^ {5}), qquad alfa = 0.4696}

және үлкенге арналған шектеу формасы ${displaystyle eta >> 1}$ болып табылады

{displaystyle f (eta) = eta - eta + Oleft ((eta - eta) ^ {- 2} e ^ {- {frac {1} {2}} (eta - eta) ^ {2}} ight), qquad eta = 1.21678}

Эксперименттік бақылаулармен салыстыруға болатын сәйкес параметрлер - орын ауыстыру қалыңдығы ${displaystyle delta ^ {*}}$ , импульс қалыңдығы ${displaystyle heta}$ қабырғадағы ығысу стрессі ${displaystyle au _ {w}}$ және күш тарту ${displaystyle F}$ ұзындыққа әсер ету ${displaystyle l}$ Блазиус профиліне берілген тақтаның

{displaystyle delta ^ {*} = int _ {0} ^ {infty} сол (1- {frac {u} {U}} ight) dy = 1,72 {sqrt {frac {u x} {U}}}}

{displaystyle heta = int _ {0} ^ {infty} {frac {u} {U}} сол (1- {frac {u} {U}} ight) dy = 0,665 {sqrt {frac {ux} {U} }}}

{displaystyle au _ {w} = mu сол жақ ({frac {ішінара u} {ішінара y}} ight) _ {y = 0} = 0.332 {sqrt {frac {ho mu U ^ {3}} {x}}} }

{displaystyle F = 2int _ {0} ^ {l} au _ {w} dx = 1.328 {sqrt {ho mu lU ^ {3}}}}

Фактор ${displaystyle 2}$ тарту күшінің формуласында пластинаның екі жағын да есепке алу керек.

Blasius ерітіндісінің бірегейлігі

Блазиустың шешімі математикалық тұрғыдан ерекше емес,^[3]^:131 сияқты Людвиг Прандтл өзі бұл туралы атап өтті транспозиция теоремасы сияқты зерттеушілер қатары бойынша талданды Кит Стюартсон, Пол А. Либби.^[4] Бұл шешімге меншікті функциялардың шексіз дискретті жиынтығының кез келгенін қосуға болады, олардың әрқайсысы біртекті шарттармен және шексіздік деңгейінде экспоненциалды ыдырауымен сызықтық бұзылған теңдеуді қанағаттандырады. Осы өзіндік функциялардың біріншісі - болып шығады ${displaystyle x}$ шығу тегі тиімді орналасуындағы белгісіздікті білдіретін бірінші ретті Бласиус ерітіндісінің туындысы.

Екінші ретті шекара қабаты

Бұл шекаралық қабаттың жуықтауы қабырғадан қашықтықта нөлдік емес тік жылдамдықты болжайды, оны келесі ретпен ескеру қажет сыртқы инвисцидті қабат және сәйкес ішкі шекара қабатының шешімі, ол өз кезегінде жаңа тік жылдамдықты болжайды және т.б. Блазиус теңдеуінен бірінші ретті шекара қабаты есебі үшін шексіздіктегі тік жылдамдық мынада

{displaystyle v = 0.86 {sqrt {frac {u U} {x}}}}

Екінші ретті шекара қабаты үшін шешім нөлге тең. Сыртқы инвисцидті және ішкі шекаралық қабатқа арналған шешім^[3]^:134

{displaystyle psi (x, y) sim {egin {case} y- {sqrt {frac {u} {Ux}}} eta Re {sqrt {2 (x + iy)}}, & {ext {external}} {sqrt {2u Ux}} f (eta) +0, & {ext {internal}} end {case}}}

Тағы да бірінші ретті шекаралық есепте сияқты, осы шешімге меншікті шешімнің шексіз жиынтығының кез-келгенін қосуға болады. Барлық шешімде ${displaystyle Re = Ux / u}$ ретінде қарастыруға болады Рейнольдс нөмірі.

Үшінші ретті шекара қабаты

Екінші ретті ішкі есеп нөлге тең болғандықтан, үшінші ретті есепке сәйкес түзетулер нөл, яғни үшінші ретті сыртқы есеп екінші ретті сыртқы есеппен бірдей.^[3]^:139 Үшінші ретті түзетудің шешімі нақты өрнекке ие емес, бірақ ішкі шекара қабатын кеңейту формасы бар,

{displaystyle psi (x, y) sim {sqrt {2u Ux}} f (eta) + 0 + left ({frac {u} {Ux}} ight) ^ {3/2} left [log left ({frac {) Ux} {u}} ight) {sqrt {frac {x} {2}}} f_ {32} (eta) + {frac {1} {sqrt {2x}}} f_ {31} (eta) ight] + cdot cdot cdot}

қайда ${displaystyle f_ {32}}$ бірінші ретті шекара қабаты шешімінің бірінші өзіндік шешімі болып табылады (бұл ${displaystyle x}$ бірінші ретті Бласиус ерітіндісінің туындысы) және арналған ${displaystyle f_ {31}}$ бірегей емес және мәселе анықталмаған тұрақты күйде қалады.

Блазийдің сорғышпен шекаралық қабаты

Сору - бұл шекаралық қабатты бөлуді кейінге қалдырудың кең таралған әдістерінің бірі.^[5] Қабырғадағы біркелкі сору жылдамдығын қарастырыңыз ${displaystyle v (0) = - V}$ . Брайан Твейтс^[6] бұл мәселенің шешімі алдыңғы шепке өте жақын қашықтыққа сорғышсыз Блазиус шешімімен бірдей екенін көрсетті. Трансформацияны таныстыру

{displaystyle psi = {sqrt {2Uu x}} f (xi, eta), quad xi = V {sqrt {frac {x} {2Uu}}}, quad eta = {sqrt {frac {U} {2u x}} } у}

шекаралық қабат теңдеулеріне әкеледі

{displaystyle u = U {frac {ішінара f} {ішінара эта}}, квадрат v = - {sqrt {frac {Uu} {2x}}} солға (f + xi {frac {ішінара f} {ішінара xi}} - eta {frac {ішінара f} {ішінара eta}} ight),}

{displaystyle {frac {ішінара ^ {3} f} {жартылай ета ^ {3}}} + f {frac {жартылай ^ {2} f} {жартылай эта ^ {2}}} + xi қалды ({frac {жартылай f} {жартылай xi}} {frac {жартылай ^ {2} f} {жартылай eta ^ {2}}} - {frac {жартылай ^ {2} f} {жартылай xi жартылай eta}} {frac {жартылай f} {ішінара және}} кеш) = 0}

шекаралық шарттармен,

{displaystyle f (xi, 0) = xi, quad {frac {ішінара f} {ішінара eta}} (xi, 0) = 0, quad {frac {ішінара f} {ішінара eta}} (xi, infty) = 0 .}

Фон Мизес түрленуі

Иглиш 1944 жылы толық сандық шешімді алды.^[7] Егер одан әрі фон Мизес трансформация^[8] енгізілді

{displaystyle sigma = 2xi, quad psi -Vx = {frac {Uu} {2V}} sigma au ^ {2}, quad phi = {frac {4u ^ {2}} {U ^ {2}}}, quad chi = U ^ {2} -u ^ {2} = U ^ {2} қалды (1- {frac {V} {4}} түн),}

онда теңдеулер болады

{displaystyle {sqrt {phi}} {frac {жарым-жартылай ^ {2} phi} {жартылай au ^ {2}}} + сол жақ (2sigma au + au ^ {3} - {frac {sqrt {phi}} {au} } ight) {frac {ішінара phi} {жартылай au}} = 2сигма au ^ {2} {frac {жартылай phi} {жартылай сигма}}}

шекаралық шарттармен,

{displaystyle phi (0, au) = 4, quad phi (sigma, 0) = 0, quad phi (sigma, infty) = 4.}

Бұл параболалық дербес дифференциалдық теңдеу бастап бастап шеруге болады ${displaystyle sigma = 0}$ сандық.

Асимптотикалық сору профилі

Соруға байланысты конвекция және қатты қабырғаға байланысты диффузия кері бағытта әрекет ететіндіктен, профиль шекаралас қабат шексіз өсетін Блазиус профилінен айырмашылығы үлкен қашықтықта тұрақты шешімге жетеді. Шешім алдымен алынды Гриффит және Меред.^[9] Пластинаның алдыңғы шетінен қашықтыққа арналған ${displaystyle xgg u U / V ^ {2}}$ , шекаралық қабаттың қалыңдығы да, шешім де тәуелді емес ${displaystyle x}$ берілген

{displaystyle delta = {frac {u} {V}}, төртбұрыш u = U (1-e ^ {- yV / u}), v = -V төрттік.}

Стюартсон^[10] толық ерітіндінің асимптотикалық сору профиліне сәйкестігін зерттеді.

Сығылатын Блазиустың шекаралық қабаты

Мұнда Блазиус көрсетілген шекара қабаты ерекше энтальпия ${displaystyle h}$ қабырғада зерттеледі. The тығыздық ${displaystyle ho}$ , тұтқырлық ${displaystyle mu}$ және жылу өткізгіштік ${displaystyle kappa}$ енді бұл жерде тұрақты емес. Масса, импульс және энергияны сақтау теңдеуі айналады

{displaystyle {egin {aligned} {frac {ішінара (ho u)} {ішінара x}} + {frac {ішінара (ho v)} {ішінара y}} & = 0, ho қалды (u {frac {ішінара u } {ішінара x}} + v {frac {ішінара u} {ішінара y}} ight) & = {frac {жартылай} {ішінара y}} қалды (mu {frac {жартылай u} {жартылай}} ight), ho сол (u {frac {ішінара h} {ішінара x}} + v {frac {ішінара h} {ішінара y}} ight) & = {frac {жартылай} {жартылай}} қалды ({frac {mu} {Pr}} {frac {ішінара h} {ішінара y}} ight) + mu сол жаққа ({frac {ішінара u} {ішінара y}} ight) ^ {2} соңы {тураланған}}}

қайда ${displaystyle Pr = c_ {p_ {infty}} mu _ {infty} / kappa _ {infty}}$ болып табылады Prandtl нөмірі жұрнақпен ${displaystyle жарамсыз}$ шексіздікпен бағаланатын қасиеттерді білдіреді. Шекара шарттары болады

{displaystyle u = v = h-h_ {w} (x) = 0 {ext {for}} y = 0}

,

{displaystyle u-U = h-h_ {infty} = 0 {ext {for}} y = infty {ext {or}} x = 0}

.

Сығылмайтын шекаралық қабаттан айырмашылығы, ұқсастық шешімі тек трансформация болған жағдайда ғана болады

{displaystyle xightarrow c ^ {2} x, quad yightarrow cy, quad uightarrow u, quad vightarrow {frac {v} {c}}, quad hightarrow h, quad ho ightarrow ho, quad mu ightarrow mu}

егер бұл мүмкін болса ғана мүмкін болады ${displaystyle h_ {w} = {ext {constant}}}$ .

Хауарттың трансформациясы

Сығылатын Блазиустың шекаралық қабаты

Өзіне ұқсас айнымалыларды қолдану арқылы таныстыру Ховард-Дородницын трансформациясы

{displaystyle eta = {sqrt {frac {U} {2u _ {infty} x}}} int _ {0} ^ {y} {frac {ho} {ho _ {infty}}} dy, quad f (eta) = {frac {psi} {sqrt {2u _ {infty} Ux}}}, quad {ilde {h}} (eta) = {frac {h} {h_ {infty}}}, quad {ilde {h}} _ {w} = {frac {h_ {w}} {h_ {infty}}}, quad {ilde {ho}} = {frac {ho} {ho _ {infty}}}, quad {ilde {mu}} = {frac {mu} {mu _ {infty}}}}

теңдеулер азаяды

{displaystyle {egin {aligned} 2 ({ilde {ho}} {ilde {mu}} f '') '+ ff' '= 0, ({ilde {ho}} {ilde {mu}} {ilde { h}} ')' + Prf {ilde {h}} '+ Pr (гамма -1) M ^ {2} {ilde {ho}} {ilde {mu}} f' '^ {2} = 0end {тураланған }}}

қайда ${displaystyle гамма}$ болып табылады меншікті жылу қатынасы және ${displaystyle M = U / c_ {құпия}}$ болып табылады Мах нөмірі, қайда ${displaystyle c_ {infty}}$ болып табылады дыбыс жылдамдығы. Теңдеуді бір рет шешуге болады ${displaystyle {ilde {ho}} = {ilde {ho}} ({ilde {h}}), {ilde {mu}} = {ilde {mu}} ({ilde {h}})}$ көрсетілген. Шекара шарттары

{displaystyle f (0) = f '(0) = heta (0) - {ilde {h}} _ {w} = f' (infty) -1 = {ilde {h}} (infty) -1 = 0 .}

Ауа үшін жиі қолданылатын өрнектер ${displaystyle gamma = 1,4, Pr = 0,7, {ilde {ho}} = {ilde {h}} ^ {- 1}, {ilde {mu}} = {ilde {h}} ^ {2/3}}$ . Егер ${displaystyle c_ {p}}$ тұрақты болады ${displaystyle {ilde {h}} = {ilde {heta}} = T / T_ {infty}}$ . Пластиналық температура қоршаған ортаның температурасымен бірдей болғанымен, шекаралас қабат ішіндегі температура жоғарылайды, диссипативті қыздыру есебінен және әрине, бұл диссипация эффектілері тек Мах нөмірі ${displaystyle M}$ үлкен.

Параболалық координаталардағы бірінші ретті Блазиус шекара қабаты

Шекаралық қабат теңдеулері болғандықтан Параболалық дербес дифференциалдық теңдеу, мәселенің табиғи координаттары параболалық координаттар.^[3]^:142 -Дан трансформация Декарттық координаттар ${displaystyle (x, y)}$ дейін параболалық координаттар ${displaystyle (xi, eta)}$ арқылы беріледі

{displaystyle x + iy = {frac {1} {2}} (xi + ieta) ^ {2}, quad x = {frac {1} {2}} (xi ^ {2} -eta ^ {2}) , квадрат у = xi eta}

.

Сондай-ақ қараңыз

Сыртқы сілтемелер

[1] - Бласиустың түпнұсқа қағазының ағылшын тіліндегі аудармасы - NACA техникалық меморандум 1256.

Сілтемелер

^ Прандтл, Л. (1904). «Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung». Verhandlinger 3. Int. Математика. Конгр. Гейдельберг: 484–491.
^ Бласиус, Х. (1908). «Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung». З.Энгью. Математика. Физ. 56: 1–37.
^ ^а ^б ^c ^г. Ван Дайк, Милтон (1975). Сұйықтық механикасындағы тербелу әдістері. Параболикалық баспасөз. ISBN 9780915760015.
^ Либби, Пол А. және Герберт Фокс. «Ламинарлы шекара-қабат теориясындағы кейбір бұзылу шешімдері». Сұйықтық механикасы журналы 17.3 (1963): 433-449.
^ Розенхед, Луис, ред. Ламинарлы шекаралық қабаттар. Clarendon Press, 1963 ж.
^ Твейтс, Брайан. Үздіксіз соратын шекаралық қабатты ағынның кейбір түрлері бойынша. HM канцеляриялық кеңсесі, 1946 ж.
^ Иглис, Рудольф. Exakte Berechnung der laminaren Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte mit homogener Absaugung. Ольденбург, 1944.
^ Фон Мизес, Ричард. «Бемеркунген зур гидродинамик.» З.Энгью. Математика. Mech 7 (1927): 425-429.
^ Гриффит, А.А. және Мередит Ф.В. «Шекаралық қабатты сорып алуды қолдану есебінен әуе кемесінің жұмысының мүмкін жақсаруы.» Корольдік авиацияны құру туралы есеп № E 3501 (1936): 12.
^ Стюартсон, К. «Шекаралық қабаттар теориясындағы асимптотикалық кеңею туралы». Қолданбалы математикадағы зерттеулер 36.1-4 (1957): 173-191.

Пайдаланылған әдебиеттер

Парланж, Дж. Й .; Брэддок, Р.Д .; Сандер, Г. (1981). «Блазиус теңдеуін шешуге аналитикалық жуықтау». Acta Mech. 38 (1–2): 119–125. Бибкод:1981AcMec..38..119P. дои:10.1007 / BF01351467.
Позрикидис, C. (1998). Сұйықтықтың теориялық және есептеу динамикасына кіріспе. Оксфорд. ISBN 978-0-19-509320-9.
Schlichting, H. (2004). Шекара қабаты теориясы. Спрингер. ISBN 978-3-540-66270-9.
Уилкокс, Дэвид С. Сұйықтықтың негізгі механикасы DCW Industries Inc. 2007 ж
Бойд, Джон П. (1999), «Күрделі жазықтықтағы Блазиус функциясы», Тәжірибелік математика, 8 (4): 381–394, дои:10.1080/10586458.1999.10504626, ISSN 1058-6458, МЫРЗА 1737233

[1] Прандтл, Л. (1904). «Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung». Verhandlinger 3. Int. Математика. Конгр. Гейдельберг: 484–491.

[2] Бласиус, Х. (1908). «Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung». З.Энгью. Математика. Физ. 56: 1–37.

[VanDyke-3] а ^б ^c ^г. Ван Дайк, Милтон (1975). Сұйықтық механикасындағы тербелу әдістері. Параболикалық баспасөз. ISBN 9780915760015.

[4] Либби, Пол А. және Герберт Фокс. «Ламинарлы шекара-қабат теориясындағы кейбір бұзылу шешімдері». Сұйықтық механикасы журналы 17.3 (1963): 433-449.

[5] Розенхед, Луис, ред. Ламинарлы шекаралық қабаттар. Clarendon Press, 1963 ж.

[6] Твейтс, Брайан. Үздіксіз соратын шекаралық қабатты ағынның кейбір түрлері бойынша. HM канцеляриялық кеңсесі, 1946 ж.

[7] Иглис, Рудольф. Exakte Berechnung der laminaren Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte mit homogener Absaugung. Ольденбург, 1944.

[8] Фон Мизес, Ричард. «Бемеркунген зур гидродинамик.» З.Энгью. Математика. Mech 7 (1927): 425-429.

[9] Гриффит, А.А. және Мередит Ф.В. «Шекаралық қабатты сорып алуды қолдану есебінен әуе кемесінің жұмысының мүмкін жақсаруы.» Корольдік авиацияны құру туралы есеп № E 3501 (1936): 12.

[10] Стюартсон, К. «Шекаралық қабаттар теориясындағы асимптотикалық кеңею туралы». Қолданбалы математикадағы зерттеулер 36.1-4 (1957): 173-191.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]