Шарлардағы векторлық өрістер - Vector fields on spheres

Жылы математика, талқылау шарлардағы векторлық өрістер классикалық проблемасы болды дифференциалды топология, бастап басталады түкті доп теоремасы, жіктеу бойынша ерте жұмыс алгебралар.

Нақтырақ айтқанда, мәселе қанша сызықтық тәуелсіз тегіс жерде нөлдік векторлық өрістер құруға болады сфера жылы N-өлшемді Евклид кеңістігі. Нақты жауап 1962 жылы берілген Фрэнк Адамс. Бұл бұрыннан белгілі болды[1], тікелей пайдалану арқылы Клиффорд алгебралары, кем дегенде ρ (N) Осындай өрістер -1 (төмендегі анықтаманы қараңыз). Адамс өтініш берді гомотопия теориясы және топологиялық K-теориясы[2] бұдан әрі тәуелсіз векторлық өрістер табылмайтындығын дәлелдеу.

Техникалық мәліметтер

Толығырақ сұрақ «дөңгелек сфераларға» және оларға қатысты тангенді байламдар: шын мәнінде экзотикалық сфералар изоморфты жанама байламдары бар Радон-Хурвиц сандары ρ(N) кез-келген гомотопиялық сфераның жанама байламының сызықты тәуелсіз бөлімдерінің максималды санын анықтау. Іс N тақ қамқорлық жасайды Пуанкаре - Хопф индексі теоремасы (қараңыз түкті доп теоремасы ), сондықтан іс N тіпті оның кеңейтілуі. Адамс үздіксіз максималды саны (тегіс бұл жерде ешқандай айырмашылық болмас еді) (N - 1) -сфера дәл ρ(N) − 1.

Кен орындарының құрылысы шындықпен байланысты Клиффорд алгебралары, бұл кезеңділігі бар теория модуль 8 мұнда да көрінеді. Бойынша Грам-Шмидт процесі, сызықтық тәуелсіздік немесе өрістерді сұрау бірдей (нүктелік) ортонормальды негіз әр сәтте.

Радон-Хурвиц сандары

The Радон-Хурвиц сандары ρ(n) бұрынғы жұмысында пайда болады Иоганн Радон (1922) және Адольф Хурвиц (1923) туралы Hurwitz проблемасы қосулы квадраттық формалар.[3] Үшін N тақ санның көбейтіндісі түрінде жазылған A және а екінің күші 2B, жаз

B = c + 4г.,    0 ≤ c < 4.

Содан кейін[3]

ρ(N) = 2c + 8г..

-Ның алғашқы бірнеше мәні ρ(2n) болып табылады (бастап (реттілігі) A053381 ішінде OEIS )):

2, 4, 2, 8, 2, 4, 2, 9, 2, 4, 2, 8, 2, 4, 2, 10, ...

Тақ үшін n, функция мәні ρ(n) бір.

Бұл сандар басқа, басқа салаларда кездеседі. Жылы матрица теориясы, Радон-Хурвиц саны шындықтың сызықтық ішкі кеңістігінің максималды мөлшерін есептейді n×n матрицалар, ол үшін әрбір нөлдік емес матрица а ұқсастықты өзгерту, яғни ортогональ матрица және а скаляр матрица. Жылы квадраттық формалар, Hurwitz проблемасы квадраттық формалар арасындағы мультипликативті сәйкестікті сұрайды. Классикалық нәтижелер 1952 жылы қайта қаралды Бено Экман. Олар қазір облыстарда, соның ішінде қолданылады кодтау теориясы және теориялық физика.

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Джеймс, И.М. (1957). «Шарлардағы ақ нүкте өнімдері және векторлық өрістер». Кембридж философиялық қоғамының еңбектері. 53: 817–820.
  2. ^ Адамс, Дж. Ф. (1962). «Сфералардағы векторлық өрістер». Математика жылнамалары. 75: 603–632. дои:10.2307/1970213. Zbl  0112.38102.
  3. ^ а б Раджвад, А.Р. (1993). Квадраттар. Лондон математикалық қоғамы Дәрістер сериясы. 171. Кембридж университетінің баспасы. б. 127. ISBN  0-521-42668-5. Zbl  0785.11022.