Hurwitz проблемасы - Hurwitz problem

Математикада Hurwitz проблемасы, атындағы Адольф Хурвиц, арасындағы мультипликативті қатынастарды табу проблемасы болып табылады квадраттық формалар айнымалылардың белгілі бір сандарындағы квадраттардың қосындылары арасында белгілі болатындарды жалпылайтын.

Екі айнымалының квадраттарының қосындылары арасында белгілі мультипликативті қатынастар бар

(ретінде белгілі Брахмагупта - Фибоначчи сәйкестігі ), сонымен қатар Эйлердің төрт квадраттық сәйкестігі және Дегеннің сегіз шаршы тұлғасы. Бұл нормалар үшін мультипликативтілік ретінде түсіндірілуі мүмкін күрделі сандар, кватерниондар және октониондар сәйкесінше.[1]:1–3[2]

Өріске арналған Хурвиц проблемасы Қ форманың жалпы қатынастарын табу болып табылады

бірге з ішіндегі белгісіз формалар х және ж: яғни әрқайсысы з Бұл Қ-форма терминдерінің сызықтық тіркесімі хменжj.[3]:127 Біз үштік деп атаймыз (рсn) рұқсат етілген үшін Қ егер мұндай сәйкестік бар болса.[1]:125 Үш реттік маңызды емес жағдайларға мыналар жатады:рсrs). Мәселе қызықсыз Қ сипаттаманың 2, өйткені мұндай өрістердің үстінде квадраттардың әрбір қосындысы квадрат болады және біз бұл жағдайды алып тастаймыз. Әйтпесе жол берілу анықтау өрісіне тәуелді емес деп саналады.[1]:137

Хурвитц бұл мәселені 1898 жылы ерекше жағдайда қойды р = с = n және коэффициенттер қабылданған кезде көрсетті C, жалғыз рұқсат етілген мәндер (nnn) болды n = 1, 2, 4, 8:[3]:130 оның дәлелі кез келген сипаттамалық өріске таралады, 2 емес.[1]:3

«Гурвиц-Радон» проблемасы форманың рұқсат етілген үштіктерін табу болып табылады (рnn). Әлбетте (1,nn) рұқсат етіледі. The Гурвиц-Радон теоремасы дейді (ρ (n), nn) кез келген өріске рұқсат етіледі, мұнда ρ (n) үшін анықталған функция n = 2сенv, v тақ, сен = 4а + б, 0 ≤ б ≤ 3, ретінде ρ(n) = 8а + 2б.[1]:137[3]:130

Басқа рұқсат етілген үштікке (3,5,7) жатады[1]:138 және (10, 10, 16).[1]:137

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б c г. e f ж Раджвад, А.Р. (1993). Квадраттар. Лондон математикалық қоғамы Дәрістер сериясы. 171. Кембридж университетінің баспасы. ISBN  0-521-42668-5. Zbl  0785.11022.
  2. ^ Чарльз В.Кертис (1963) «Төрт сегіз шаршы проблема және дивизия алгебралары» Қазіргі алгебра бойынша зерттеулер өңдеген А.А. Альберт, 100–125 беттер, Американың математикалық қауымдастығы, Hurwitz-тің шешімі 115-бетте
  3. ^ а б c Лам, Цит-Юен (2005). Өрістердің квадраттық формаларына кіріспе. Математика бойынша магистратура. 67. Американдық математикалық қоғам. ISBN  0-8218-1095-2. МЫРЗА  2104929. Zbl  1068.11023.