Трансфер-матрицалық әдіс - Transfer-matrix method

Жылы статистикалық механика, трансфер-матрица әдісі Бұл математикалық техника жазу үшін қолданылады бөлім функциясы қарапайым формада. Ол 1941 жылы енгізілген Ганс Крамерс және Григорий Ваньер.^[1]^[2] Бір өлшемді торлы модельдер, бөлім функциясы алдымен ан түрінде жазылады n-мүмкіндіктердің әрқайсысы бойынша қорытынды микростат, сонымен қатар әр микростаттағы жүйенің энергиясына әрбір компоненттің қосқан үлесінің қосымша жиынтығы бар.

Шолу

Жоғары өлшемді модельдерде одан да көп жиынтықтар бар. Бірнеше бөлшектері бар жүйелер үшін мұндай өрнектер тез, тіпті компьютер арқылы жұмыс жасау үшін тым күрделі бола алады.

Оның орнына бөлім функциясын баламалы түрде қайта жазуға болады. Негізгі идея - жазу бөлім функциясы түрінде

{displaystyle {mathcal {Z}} = mathbf {v} _ {0} cdot left {prod _ {k = 1} ^ {N} mathbf {W} _ {k} ight} cdot mathbf {v} _ {N + 1}}

қайда v₀ және v_N+1 өлшем векторлары болып табылады б және б × б матрицалар W_к деп аталады матрицаларды беру. Кейбір жағдайларда, әсіресе мерзімді шекаралық шарттары бар жүйелер үшін, бөлу функциясы қарапайым түрде жазылуы мүмкін

{displaystyle {mathcal {Z}} = оператордың аты {tr} сол жақта {prod _ {k = 1} ^ {N} mathbf {W} _ {k} ight}}

мұндағы «tr» сандарды білдіреді матрицалық із. Кез-келген жағдайда, бөлу функциясы дәл көмегімен шешілуі мүмкін жеке анализ. Егер матрицалар барлығы бірдей матрица болса W, бөлім функциясы келесідей болуы мүмкін N^мың ең үлкен меншіктің мәні W, ізі екі диагональды матрицалар көбейтіндісінің меншікті мәндерінің қосындысы мен жеке мәндерінің қосындысы болғандықтан, олардың жеке мәндерінің көбейтіндісіне тең болады.

Трансфер-матрицалық әдіс жалпы жүйені а-ға бөлуге болатын кезде қолданылады жүйелі тек іргелес ішкі жүйелермен өзара әрекеттесетін ішкі жүйелер. Мысалы, үш өлшемді кубтық тор айналдыру ан Үлгілеу тек іргелес өзара әрекеттесетін спиндердің екі өлшемді жазықтық торларының тізбегіне бөлінуі мүмкін. Өлшем б туралы б × б трансфер матрицасы ішкі жүйенің күйлерінің санына тең; трансфер матрицасының өзі W_к кодтайды статистикалық салмақ ішкі жүйенің белгілі бір күйімен байланысты к - 1 басқа ішкі жүйенің жанында болук.

Осы әдіс бойынша есептелетін бақыланатын заттардың мысалы ретінде белгілі бір күйдің ықтималдығы ${displaystyle m}$ позицияда пайда болады х береді:

{displaystyle mathrm {Pr} _ {m} (x) = {frac {operatorname {tr} left [prod _ {k = 1} ^ {x} mathbf {W} _ {k} mathbf {Pj} prod _ {k '= x + 1} ^ {N} mathbf {W} _ {k'} ight]} {operatorname {tr} left [prod _ {k = 1} ^ {N} mathbf {W} _ {k} ight]}}}

Қайда ${displaystyle Pj}$ күй үшін проекция матрицасы болып табылады ${displaystyle m}$ элементтері бар ${displaystyle Pj_ {mu u} = атырау _ {mu u} delta _ {mu m}}$

Трансфер-матрицалық әдістер көптеген мәселелердің нақты шешімдері үшін маңызды болды статистикалық механика, оның ішінде Зимм – Брагг және Лифсон-Ройг модельдері туралы спираль-катушкалардың ауысуы, үшін матрицалық модельдерді тасымалдау ақуыз-ДНҚ байланысы, сондай-ақ екі өлшемді әйгілі нақты шешім Үлгілеу арқылы Ларс Онсагер.

Сондай-ақ қараңыз

Аударым операторы

Әдебиеттер тізімі

^ Крамерс, Х. А .; Ваньер, Г. Х. (1941). «Екі өлшемді ферромагнетиканың статистикасы. I бөлім». Физикалық шолу. 60 (3): 252–262. Бибкод:1941PhRv ... 60..252K. дои:10.1103 / PhysRev.60.252. ISSN 0031-899X.
^ Крамерс, Х. А .; Ваньер, Г. Х. (1941). «Екі өлшемді ферромагнетиканың статистикасы. II бөлім». Физикалық шолу. 60 (3): 263–276. дои:10.1103 / PhysRev.60.263. ISSN 0031-899X.

Ескертулер

Родни Дж. Бакстер (1982). Статистикалық механикадағы нақты шешілген модельдер. Академиялық баспасөз. ISBN 978-0-12-083182-1.
Тейф В.Б. (2007). «Гендерді реттеу кезінде ДНҚ-ақуыз-дәрілік байланыстыруды есептеу үшін матрицалық формальды трансферт». Нуклеин қышқылдары. 35 (11): e80. дои:10.1093 / nar / gkm268. PMC 1920246. PMID 17526526.
Ефремов А.К., Винардхи Р.С., Ян Дж (2016). «ДНҚ-полимерлі микромеханиканың керілу және моменттің шектеулері жағдайында трансфер-матрицалық есептеулері». Физ. Аян Е.. 94 (3): 032404. Бибкод:2016PhRvE..94c2404E. дои:10.1103 / PhysRevE.94.032404. PMID 27739846.
Ефремов А.К., Ян Дж (2018). «ДНҚ-ақуыздың өзара әрекеттесуіне кернеу мен моменттің шектеулерінің әсерін трансфер-матрицалық есептеулер». Нуклеин қышқылдары. 46 (13): 6504–6527. дои:10.1093 / nar / gky478. PMC 6061897. PMID 29878241.

Бұл физика - қатысты мақала а бұта. Сіз Уикипедияға көмектесе аласыз оны кеңейту.

[KramersWannier1941-1] Крамерс, Х. А .; Ваньер, Г. Х. (1941). «Екі өлшемді ферромагнетиканың статистикасы. I бөлім». Физикалық шолу. 60 (3): 252–262. Бибкод:1941PhRv ... 60..252K. дои:10.1103 / PhysRev.60.252. ISSN 0031-899X.

[KramersWannier1941a-2] Крамерс, Х. А .; Ваньер, Г. Х. (1941). «Екі өлшемді ферромагнетиканың статистикасы. II бөлім». Физикалық шолу. 60 (3): 263–276. дои:10.1103 / PhysRev.60.263. ISSN 0031-899X.

[1]

[2]