Өлшем функциясы - Size functor

Бұл мақала тақырыпты білмейтіндерге контекстің жеткіліксіздігін қамтамасыз етеді. Өтінемін көмектесіңіз мақаланы жақсарту арқылы оқырманға көбірек контекст беру. (Қаңтар 2018) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Берілген өлшем жұбы ${ displaystyle (M, f) }$ қайда ${ displaystyle M }$ Бұл көпжақты өлшем${ displaystyle n }$ және ${ displaystyle f }$ ерікті нақты болып табылады үздіксіз функция оны анықтады ${ displaystyle i}$-шы өлшем функциясы,^[1] бірге ${ displaystyle i = 0, ldots, n }$, деп белгіленеді ${ displaystyle F_ {i} }$, болып табылады функция жылы ${ displaystyle Fun ( mathrm {Rord}, ​​ mathrm {Ab}) }$, қайда ${ displaystyle mathrm {Rord} }$ болып табылады санат реттелген нақты сандар, және ${ displaystyle mathrm {Ab} }$ болып табылады санат туралы Абел топтары, келесі жолмен анықталған. Үшін ${ displaystyle x leq y }$, параметр ${ displaystyle M_ {x} = {p in M: f (p) leq x } }$, ${ displaystyle M_ {y} = {p in M: f (p) leq y } }$, ${ displaystyle j_ {xy} }$ қосқанға тең ${ displaystyle M_ {x} }$ ішіне ${ displaystyle M_ {y} }$, және ${ displaystyle k_ {xy} }$ тең морфизм жылы ${ displaystyle mathrm {Rord} }$ бастап ${ displaystyle x }$ дейін ${ displaystyle y }$,

• әрқайсысы үшін ${ displaystyle x in mathbb {R} }$, ${ displaystyle F_ {i} (x) = H_ {i} (M_ {x}); }$
• ${ displaystyle F_ {i} (k_ {xy}) = H_ {i} (j_ {xy}). }$

Басқаша айтқанда, өлшем функциясы гомология сабақтарының туу және өлу процесін зерттейді, өйткені төменгі деңгей өзгереді. ${ displaystyle M }$ тегіс және ықшам және ${ displaystyle f }$ Бұл Морзе функциясы, функция ${ displaystyle F_ {0} }$ деп аталады, бағытталған ағаштармен сипатталған ${ displaystyle H_ {0} }$ - ағаштар.

Кеңейту ретінде өлшем функциясы туралы түсінік енгізілді гомология теориясы және категория теориясы идеясының өлшем функциясы. Функционалды өлшемді енгізудің негізгі мотиві байқауға негізделген өлшем функциясы ${ displaystyle ell _ {(M, f)} (x, y) }$ бейнесінің дәрежесі ретінде қарастыруға болады ${ displaystyle H_ {0} (j_ {xy}): H_ {0} (M_ {x}) rightarrow H_ {0} (M_ {y})}$.

Өлшем функциясы туралы түсінік ұғыммен қатаң байланысты тұрақты гомология тобы,^[2]оқыды тұрақты гомология. Екенін атап өткен жөн ${ displaystyle i }$- тұрақты гомологиялық топ бейнесімен сәйкес келеді гомоморфизм ${ displaystyle F_ {i} (k_ {xy}) = H_ {i} (j_ {xy}): H_ {i} (M_ {x}) оң жақ H_ {i} (M_ {y})}$.

Сондай-ақ қараңыз

• Өлшем теориясы
• Өлшем функциясы
• Гомотопия тобы
• Өлшем жұбы

Әдебиеттер тізімі