Sedenion - Sedenion

Седениялар
Таңба	${ displaystyle mathbb {S}}$
Түрі	ассоциативті емес алгебра
Бірліктер	e0... е15
Мультипликативті сәйкестілік	e0
Негізгі қасиеттері	қуат ассоциативтілігі тарату
Жалпы жүйелер
${ displaystyle mathbb {N}}$ Натурал сандар ${ displaystyle mathbb {Z}}$ Бүтін сандар ${ displaystyle mathbb {Q}}$ Рационал сандар ${ displaystyle mathbb {R}}$ Нақты сандар ${ displaystyle mathbb {C}}$ Күрделі сандар ${ displaystyle mathbb {H}}$ Кватерниондар Аз таралған жүйелер Октониялар (${ displaystyle mathbb {O}}$) Седениялар (${ displaystyle mathbb {S}}$)

Жылы абстрактілі алгебра, седенциялар 16- құрайдыөлшемді коммутативті емес және ассоциативті емес алгебра үстінен шындық; оларды қолдану арқылы алынады Кейли-Диксон құрылысы дейін октониондар және, осылайша, октониялар - бұл сенедиялардың субальгебрасы. Октониялардан айырмашылығы, седениялар ан емес балама алгебра. Кейлен-Диксон құрылысын сенедондарға қолдану 32 өлшемді алгебраны береді, кейде 32-иондар немесе тригинтадуониондар.^[1] Кейден-Диксон құрылысын седенцияларға бірнеше рет ерікті түрде қолдануға болады.

Термин sedenion басқа 16 өлшемді алгебралық құрылымдар үшін қолданылады, мысалы, екі данадан тұратын тензор көбейтіндісі бикватерниондар, немесе 4-тен 4-ке дейінгі матрицалар алгебрасы немесе зерттелген Смит (1995).

Арифметика

Кубқа дейінгі 4D кеңеюінің көрнекілігі октион,^[2] ретінде көрсетілген 35 үштік гиперпландар нақты арқылы ${ displaystyle (e_ {0})}$ келтірілген мысалдың шыңы. Ерекшелік тек үштік екенін ескеріңіз ${ displaystyle (e_ {1})}$, ${ displaystyle (e_ {2})}$, ${ displaystyle (e_ {3})}$ гиперпланет жасамайды ${ displaystyle (e_ {0})}$.

Ұнайды октониондар, көбейту седенциялардың екеуі де емес ауыстырмалы не ассоциативті.Бірақ октониялардан айырмашылығы, седенияларда болмыс қасиеті де жоқ балама.Олар, алайда, қуат ассоциативтілігі, кез келген элемент үшін осылай деп айтуға болады х туралы ${ displaystyle mathbb {S}}$, қуат ${ displaystyle x ^ {n}}$ жақсы анықталған. Олар да икемді.

Әрбір седения а сызықтық комбинация қондырғы бөлімдері ${ displaystyle e_ {0}}$, ${ displaystyle e_ {1}}$, ${ displaystyle e_ {2}}$, ${ displaystyle e_ {3}}$, ...,${ displaystyle e_ {15}}$, ол а негіз туралы векторлық кеңістік кезеңдер. Әрбір седенияны формада ұсынуға болады

${ displaystyle x = x_ {0} e_ {0} + x_ {1} e_ {1} + x_ {2} e_ {2} + ldots + x_ {14} e_ {14} + x_ {15} e_ { 15}, ,}$.

Қосу және азайту сәйкес коэффициенттерді қосу және азайту арқылы анықталады және көбейту болып табылады тарату үстеме қосу.

Негізіндегі басқа алгебралар сияқты Кейли-Диксон құрылысы, седенцияларда олар құрастырылған алгебра бар. Сонымен, оларда октониондар бар ( ${ displaystyle e_ {0}}$ дейін ${ displaystyle e_ {7}}$ төмендегі кестеде), демек, кватерниондар ( ${ displaystyle e_ {0}}$ дейін ${ displaystyle e_ {3}}$), күрделі сандар (арқылы құрылған ${ displaystyle e_ {0}}$ және ${ displaystyle e_ {1}}$) және реал (арқылы жасалған ${ displaystyle e_ {0}}$).

Седенцияларда мультипликатив бар сәйкестендіру элементі ${ displaystyle e_ {0}}$ және мультипликативті инверсиялар, бірақ олар а емес алгебра бөлімі өйткені оларда бар нөлдік бөлгіштер. Бұл нөлге тең емес екі седенцияны көбейтуге болады дегенді білдіреді: мысалы (${ displaystyle e_ {3}}$ + ${ displaystyle e_ {10}}$)(${ displaystyle e_ {6}}$ − ${ displaystyle e_ {15}}$). Барлық гиперкомплекс саны Кейли-Диксон құрылысына негізделген сенеден кейінгі жүйелер нөлдік бөлгіштерді қамтиды.

Седенияны көбейту кестесі төменде көрсетілген:

көбейту кестесі

мультипликатор ${ displaystyle e_ {j}}$ ${ displaystyle e_ {i} e_ {j}}$ ${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ көбейту ${ displaystyle e_ {i}}$ ${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ −${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ −${ displaystyle e_ {4}}$ −${ displaystyle e_ {7}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ −${ displaystyle e_ {8}}$ −${ displaystyle e_ {11}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ −${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ −${ displaystyle e_ {14}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ −${ displaystyle e_ {3}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ −${ displaystyle e_ {4}}$ −${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ −${ displaystyle e_ {8}}$ −${ displaystyle e_ {9}}$ −${ displaystyle e_ {14}}$ −${ displaystyle e_ {15}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ −${ displaystyle e_ {1}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ −${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ −${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ −${ displaystyle e_ {10}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ −${ displaystyle e_ {8}}$ −${ displaystyle e_ {15}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ −${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ −${ displaystyle e_ {5}}$ −${ displaystyle e_ {6}}$ −${ displaystyle e_ {7}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ −${ displaystyle e_ {8}}$ −${ displaystyle e_ {9}}$ −${ displaystyle e_ {10}}$ −${ displaystyle e_ {11}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ −${ displaystyle e_ {7}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ −${ displaystyle e_ {1}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ −${ displaystyle e_ {3}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ −${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ −${ displaystyle e_ {14}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ −${ displaystyle e_ {8}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ −${ displaystyle e_ {10}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ −${ displaystyle e_ {5}}$ −${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ −${ displaystyle e_ {1}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ −${ displaystyle e_ {15}}$ −${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ −${ displaystyle e_ {11}}$ −${ displaystyle e_ {8}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ −${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ −${ displaystyle e_ {3}}$ −${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ −${ displaystyle e_ {13}}$ −${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ −${ displaystyle e_ {9}}$ −${ displaystyle e_ {8}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ −${ displaystyle e_ {9}}$ −${ displaystyle e_ {10}}$ −${ displaystyle e_ {11}}$ −${ displaystyle e_ {12}}$ −${ displaystyle e_ {13}}$ −${ displaystyle e_ {14}}$ −${ displaystyle e_ {15}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ −${ displaystyle e_ {11}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ −${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ −${ displaystyle e_ {14}}$ −${ displaystyle e_ {1}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ −${ displaystyle e_ {3}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ −${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ −${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ −${ displaystyle e_ {9}}$ −${ displaystyle e_ {14}}$ −${ displaystyle e_ {15}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ −${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ −${ displaystyle e_ {1}}$ −${ displaystyle e_ {6}}$ −${ displaystyle e_ {7}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ −${ displaystyle e_ {10}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ −${ displaystyle e_ {15}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ −${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ −${ displaystyle e_ {3}}$ −${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ −${ displaystyle e_ {7}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ −${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ −${ displaystyle e_ {9}}$ −${ displaystyle e_ {10}}$ −${ displaystyle e_ {11}}$ −${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ −${ displaystyle e_ {1}}$ −${ displaystyle e_ {2}}$ −${ displaystyle e_ {3}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ −${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ −${ displaystyle e_ {14}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ −${ displaystyle e_ {10}}$ −${ displaystyle e_ {5}}$ −${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ −${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ −${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ −${ displaystyle e_ {15}}$ −${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ −${ displaystyle e_ {11}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ −${ displaystyle e_ {6}}$ −${ displaystyle e_ {7}}$ −${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ −${ displaystyle e_ {3}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ −${ displaystyle e_ {13}}$ −${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ −${ displaystyle e_ {9}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ −${ displaystyle e_ {7}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ −${ displaystyle e_ {5}}$ −${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ −${ displaystyle e_ {1}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$

Седенияның қасиеттері

Жоғарыдағы кестеден мынаны көруге болады:

${ displaystyle e_ {0} e_ {i} = e_ {i} e_ {0} = e_ {i} , { text {барлығы үшін}} , i,}$

${ displaystyle e_ {i} e_ {i} = - e_ {0} , , { text {for}} , , i neq 0,}$

${ displaystyle e_ {i} e_ {j} = - e_ {j} e_ {i} , , { text {for}} , , i neq j , , { text {and} } , , i, j neq 0.}$

Ассоциативті

Седениялар ассоциацияға қарсы емес. Төрт генераторды таңдаңыз, ${ displaystyle i, j, k}$ және ${ displaystyle l}$. Келесі 5 цикл осы қатынастардың кем дегенде біреуі байланыстыруы керек екенін көрсетеді.

${ displaystyle (ij) (kl) = - ((ij) k) l = (i (jk)) l = -i ((jk) l) = i (j (kl)) = - (ij) (kl) ) = 0}$

Атап айтқанда, жоғарыдағы кестеде ${ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, e_ {4}}$ және ${ displaystyle e_ {8}}$ соңғы өрнек.${ displaystyle (e_ {1} e_ {2}) e_ {12} = e_ {1} (e_ {2} e_ {12}) = - e_ {15}}$

Кватернионды субальгебралар

Седенияны көбейтудің осы кестесін құрайтын 35 үштік саны 7 үштігімен бірге октониондар арқылы седенияны құруда қолданылады Кейли-Диксон құрылысы қарамен көрсетілген:

Осы үштік индекстерінің екілік көріністері 0-ге тең.

{​{1, 2, 3}, {1, 4, 5}, {1, 7, 6}, {1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, {1, 14, 15},
{2, 4, 6}, {2, 5, 7}, {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2, 15, 13}, {3, 4, 7},
{3, 6, 5}, {3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15, 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13},
{4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15}, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14},
{6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, {7, 12, 11}, {7, 13, 10}​}

Нөлдік бөлгіштердің 84 жиынтығының тізімі {${ displaystyle e_ {a}}$, ${ displaystyle e_ {b}}$, ${ displaystyle e_ {c}}$, ${ displaystyle e_ {d}}$}, қайда (${ displaystyle e_ {a}}$ + ${ displaystyle e_ {b}}$)${ displaystyle circ}$(${ displaystyle e_ {c}}$ + ${ displaystyle e_ {d}}$)=0:

Қолданбалар

Морено (1998) нөлге көбейетін норм-бір седения жұптарының кеңістігі екенін көрсетті гомеоморфты ықшам формасына ерекше Өтірік тобы G₂. (Оның жұмысында «нөлдік бөлгіш» а дегенді білдіретініне назар аударыңыз жұп нөлге көбейетін элементтердің.)

Sedenion нейрондық желілері машиналық оқыту қосымшаларында тиімді және ықшам өрнек құралын ұсынады және бірнеше уақыт қатарларын болжау мәселелерін шешуде қолданылған.^[3]

Сондай-ақ қараңыз

• Пфистердің он алты шаршы тұлға
• Гиперкомплекс нөмірі
• Бөлінген күрделі сан

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Имаеда, К .; Имаеда, М. (2000), «Седениялар: алгебра және талдау», Қолданбалы математика және есептеу, 115 (2): 77–88, дои:10.1016 / S0096-3003 (99) 00140-X, МЫРЗА  1786945
• Баез, Джон С. (2002). «Октониялар». Американдық математикалық қоғамның хабаршысы. Жаңа серия. 39 (2): 145–205. arXiv:математика / 0105155. дои:10.1090 / S0273-0979-01-00934-X. МЫРЗА  1886087.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
• Бисс, Даниэль К .; Кристенсен, Дж. Даниэль; Даггер, Даниел; Исаксен, Даниэль С. (2007). «Кэйли-Диксон алгебраларындағы II ірі аннигиляторлар». Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana. 3: 269–292. arXiv:математика / 0702075.
• Кинион, М.К .; Филлипс, Дж .; Войтеховский, П. (2007). «C-циклдар: кеңейтімдер және конструкциялар». Алгебра журналы және оның қосымшалары. 6 (1): 1–20. arXiv:математика / 0412390. CiteSeerX  10.1.1.240.6208. дои:10.1142 / S0219498807001990.
• Кивунге, Бенард М .; Смит, Джонатан Д. Н (2004). «Қосалқы топтар» (PDF). Түсініктеме. Математика. Унив. Каролина. 45 (2): 295–302.
• Морено, Гильермо (1998), «Кейли-Диксон алгебраларының нақты сандарға нөлдік бөлгіштері», Бол. Soc. Мат Мексика, 3 серия, 4 (1): 13–28, arXiv:q-alg / 9710013, Бибкод:1997q.alg .... 10013G, МЫРЗА  1625585
• Смит, Джонатан Д. Х. (1995), «15 шардағы сол цикл», Алгебра журналы, 176 (1): 128–138, дои:10.1006 / jabr.1995.1237, МЫРЗА  1345298
• L. S. Saud және H. Al-Marzouqi, «Metacognitive Sedenion-нейрондық желі және оны үйрену алгоритмі», IEEE Access, т. 8, 144823-144838 бет, 2020, дои: 10.1109 / ACCESS.2020.3014690.