Риман-Рох теоремасы тегіс коллекторларға арналған - Riemann–Roch theorem for smooth manifolds

Жылы математика, а Риман-Рох теоремасы тегіс коллекторларға арналған сияқты нәтижелердің нұсқасы болып табылады Хирзебрух-Риман-Рох теоремасы немесе Гротендик-Риман-Рох теоремасы (GRR) гипотезасыз тегіс коллекторлар тартылған а күрделі құрылым. Осы түрдегі нәтижелер келесі түрде алынды Майкл Атия және Фридрих Хирзебрух 1959 жылы талаптарды а спин құрылымы.

Қалыптастыру

Келіңіздер X және Y тегіс бағытталған жабық коллекторлар,және f: X → Y үздіксіз карта v_f=f^*(TY) − TX ішінде K тобы K (X) .Егер dim (X) X dim (Y) mod 2 болса, онда

${ displaystyle mathrm {ch} (f_ {K *} (x)) = f_ {H *} ( mathrm {ch} (x) e ^ {d (v_ {f}) / 2} { hat { A}} (v_ {f}))}$

мұндағы ch Черн кейіпкері, d (т.)_f) интеграл элементі когомологиялық топ H²(Y, З) қанағаттанарлықг.(v_f) ≡ f^* w₂(Т.Y)-w₂(Т.X) mod 2, f_{K *} The Гизин гомоморфизмі K-теориясы үшін және f_{H *} когомология үшін Гизин гомоморфизмі.^[1]Бұл теореманы алдымен Атия мен Хирзебрух дәлелдеген.^[2]

Теорема бірнеше ерекше жағдайларды қарастыру арқылы дәлелденді.^[3] Егер Y болып табылады Бос кеңістік векторлық байламның V аяқталды X, содан кейін Гизин карталары Томның изоморфизмі болып табылады, содан кейін бөлу принципі, теореманы сызық байланысы үшін нақты есептеу арқылы тексеру жеткілікті.

Егер f: X → Y кірістіру болып табылады, содан кейін қалыпты буманың Thom кеңістігі X жылы Y түтікшелі көрші ретінде қарастыруға болады Xжылы Y, және кесу картаны береді

${ displaystyle u: H ^ {*} (B (N), S (N)) to H ^ {*} (Y, Y-B (N)) to H ^ {*} (Y)}$

және

${ displaystyle v: K (B (N), S (N)) to K (Y, Y-B (N)) to K (Y)}$.

К-теориясы / когомологиясы үшін Гизин картасы Томмен изоморфизмнің құрамы ретінде анықталған. X Том кеңістігіне N, және Черн кейіпкері бірге жүретіндіктен сен және v, теорема ендіруге де қатысты.f: X → Y.

Соңында, жалпы картаны анықтай аламыз f: X → Yендіруге

${ displaystyle i: X - Y есе S ^ {2n}}$

және проекциясы

${ displaystyle p: Y есе S ^ {2n} дейін Y.}$

Теорема ендіру үшін шынайы, проекциялау үшін Гизин картасы - Черн символымен жүретін Ботт периодтылығы изоморфизмі, сондықтан теорема осы жалпы жағдайда да орындалады.

Қорытынды

Содан кейін Атия мен Хирзебрух бұл істе мамандандырылған және жетілдірілген X = нүкте, мұндағы шарт спин құрылымының тіршілігіне айналады Y. Қорытындылар қосулы Понтрягин сабақтары және J-гомоморфизм.

Ескертулер