Қалған картаға түсіру - Residuated mapping

Математикада а қалдықты картаға түсіру теориясында туындайды жартылай тапсырыс берілген жиынтықтар. Ол а тұжырымдамасын нақтылайды монотонды функция.

Егер A, B болып табылады посет, функция f: A → B монотонды деп анықталады, егер ол тәртіпті сақтаса: яғни, егер х ≤ ж білдіреді f(х) ≤ f(ж). Бұл шарттың баламасы алдын-ала түсіру астында f әрқайсысының төмен орнатылған туралы B - төмен мән A. Біз анықтаймыз негізгі орнатылған форманың бірі болу ↓ {б} = { б' ∈ B : б' ≤ б }. Жалпы, алдын-ала түсірілім f негізгі төмендетудің жиынтығы міндетті емес. Егер ол болса, f аталады қалдық.

Қалған карта ұғымын а деп жалпылауға болады екілік оператор (немесе одан жоғары) ақыл-ой ) компоненттік қалдық арқылы. Бұл тәсіл ішінара реттелген солға және оңға бөлу туралы түсініктерді тудырады магма, оған қосымша а квазигруппа құрылым. (Біреу жоғары деңгейге арналған алгебра туралы айтады). Әдетте қалдықты екілік (немесе жоғары ариттік) карта болып табылады емес біртұтас карта ретінде қалдық.[1]

Анықтама

Егер A, B посет, функция f: A → B болып табылады қалдық егер тек алдын-ала берілген болса ғана f әрбір негізгі принциптің жиынтығы B болып табылады A.

Салдары

Бірге A, B posets, функциялар жиынтығы A → B арқылы тапсырыс беруге болады нүктелік тәртіп f ≤ ж ↔ (∀х ∈ A) f(х) ≤ ж(х).

Мұны көрсетуге болады f монотонды функция (міндетті түрде бірегей) болған жағдайда ғана қалады f +: B → A осындай f o f + . IdB және f + o f . IdA, мұнда и сәйкестендіру функциясы. Функция f + болып табылады қалдық туралы f. Қалдық функция және оның қалдық формасы а Галуа байланысы осы тұжырымдаманың (жақында) монотонды анықтамасы бойынша, және әрбір (монотонды) галуа байланысы үшін төменгі қосылыс қалдықпен жоғарғы қосылыс болып, қалдық қалады.[2] Сондықтан монотонды Галуа байланысы және қалдықты картографиялау түсініктері сәйкес келеді.

Сонымен қатар, бізде бар f -1(↓{б}) = ↓{f +(б)}.

Егер B° дегенді білдіреді қосарланған тапсырыс (қарама-қарсы poset) дейін B содан кейін f : A → B егер бар болса ғана, қалдық картографиялау болып табылады f * осындай f : A → B° және f *: B° → A а Галуа байланысы түпнұсқа астында антитон осы ұғымның анықтамасы.

Егер f : A → B және ж : B → C қалдық кескіндер болып табылады, солай болса функция құрамы fg : A → C, қалдықпен (fg) + = ж +f +. Галуа антитоны байланыстары бұл қасиетті бөліспейді.

Позет бойынша монотонды түрлендірулер (функциялар) жиынтығы - бұл моноидты тапсырыс берді нүктелік ретімен, сондай-ақ қалдық түрлендірулер жиынтығы.[3]

Мысалдар

  • The төбе функциясы бастап R дейін З (әр жағдайда әдеттегі тәртіппен) қалдықты кескінмен табиғи ендіру арқылы қалдықты алады З ішіне R.
  • Ендіру З ішіне R қалдықтары да бар. Оның қалдықтары еден функциясы .

Резидуацияланған екілік операторлар

Егер •: P × Q → R екілік карта болып табылады және P, Q, және R posets болып табылады, содан кейін солға және оңға аудару үшін қалдық компонентін анықтауға болады, яғни тіркелген элементке көбейту. Элемент үшін х жылы P анықтау хλ(ж) = х • ж, және үшін х жылы Q анықтау λх(ж) = ж • х. Сонда • егер ол болса ғана қалдық деп аталады хλ және λх барлығына қалдық х (in.) P және сәйкесінше Q). Солға (және сәйкесінше оңға) бөлу сол жақтағы аудармалардың қалдықтарын алу арқылы анықталады (және сәйкесінше оң жақта): хж = (хλ)+(ж) және х/ж = (λх)+(ж)

Мысалы, әрқайсысы тапсырыс берген топ қалдық болып табылады, және жоғарыда анықталған бөлу деген ұғыммен сәйкес келеді топқа бөлу. Күрделі емес мысал - Mat жиынтығыn(B) of шаршы матрицалар астам буль алгебрасы B, онда матрицалар тапсырыс беріледі бағытта. Белгіленген тәртіп Mat-ны бередіn(B) нүктелі түрде кездеседі, қосылады және толықтырылады. Матрицаны көбейту әдеттегідей «өнім» кездесіп, «қосынды» біріктірумен анықталады. Оны көрсетуге болады[4] бұл XY = (YтX')' және X/Y = (X'Yт) ', қайда X ' толықтауыш болып табылады X, және Yт болып табылады ауыстырылған матрица ).

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Денек, б. 95; Галатос, б. 148
  2. ^ Эрне, 4-ұсыныс
  3. ^ Блит, 2005, б. 193
  4. ^ Блит, б. 198

Әдебиеттер тізімі

  • Дердерьян Дж., «Галуа байланыстары және жұп алгебралары», Математикалық канадалық Дж. 21 (1969) 498-501.
  • Джонатан С. Голан, Семирингтер және аффиндік теңдеулер: теориясы және қолданылуы, Kluwer Academic, 2003, ISBN  1-4020-1358-2. 49-бет.
  • Т.С. Блайт, «Қалдық карталар», Тапсырыс 1 (1984) 187-204.
  • Т.С. Блит, Торлар және реттелген алгебралық құрылымдар, Springer, 2005, ISBN  1-85233-905-5. 7 бет.
  • Т.С. Блит, М.Ф. Джановиц, Қалдықтар теориясы, Pergamon Press, 1972, ISBN  0-08-016408-0. 9 бет.
  • М. Эрне, Дж. Кословски, А. Мельтон, Г. Э. Стреккер, Галуа байланыстарындағы праймер, жылы: Жалпы топология және құрметіне қолдану жөніндегі 1991 жылғы жазғы конференция материалдары Мэри Эллен Рудин және оның жұмысы, Нью-Йорк ғылым академиясының анналдары, т. 704, 1993, 103-125 бб. Интернетте әр түрлі форматта қол жетімді: PS.GZ PS
  • Клаус Денек, Марсель Эрне, Шелли Л. Висмат, Галуа байланыстары мен қосымшалары, Springer, 2004, ISBN  1402018975
  • Галатос, Николаос, Питер Джипсен, Томаш Ковальски және Хироакира Оно (2007), Қалдық торлар. Структуралық логикадағы алгебралық көрініс, Elsevier, ISBN  978-0-444-52141-5.