Риб сфера теоремасы - Reeb sphere theorem

Жылы математика, Риб сфера теоремасы, атындағы Джордж Риб, дейді

Жабық бағытталған бағдарланған коллектор М n бұл мойындайды дара жапырақтар тек орталықтардың болуы гомеоморфты дейін сфера Sn және жапырақшаның нақты екі ерекшелігі бар.

Морзе жапырағы

Қабыршақтың ерекшелігі F болып табылады Морзе түрі егер оның шағын ауданында жапырақтың барлық жапырақтары болса деңгей жиынтығы а Морзе функциясы, даралық болу а сыни нүкте функциясы. Ерекшелік - а орталығы егер бұл а жергілікті экстремум функцияның; әйтпесе, сингулярлық - а седла.

Орталықтардың саны c және ерлер саны , нақты , коллекторлық топологиямен тығыз байланысты.

Біз белгілейміз , индекс сингулярлық , қайда к - Морзе функциясының сәйкес критикалық нүктесінің индексі. Атап айтқанда, орталықта 0 индексі, седла индексі кем дегенде 1 болады.

A Морзе жапырағы F коллекторда М Бұл жекеше көлденең бағытталған кодименция, кластың бір жапырағы жекелеген ерекшеліктермен:

  • әрбір сингулярлығы F Морзе типіне жатады,
  • әрқайсысы дара жапырақ L қайталанбас даралықты қамтидыб; қосымша, егер содан кейін қосылмаған.

Риб сфера теоремасы

Бұл жағдай , седла жоқ іс.

Теорема:[1] Келіңіздер өлшемнің тұйықталған бағдарланған коллекторы болу . Мұны ойлаңыз мойындайды а - бір жапырақты көлденең бағытталған кодименция олардың барлығының бос емес жиынтығы бар. Содан кейін сингулярлық жиынтығы екі нүктеден тұрады сфераға гомеоморфты болып келеді .

Бұл салдар Риб тұрақтылық теоремасы.

Жалпылау

Жалпы жағдай

1978 жылы Эдуар Вагнер Риб сферасының теоремасын морс жапырақтарына седлалармен қорытады. Ол орталықтардың саны садақалар санымен салыстырғанда көп болмайтынын көрсетті, атап айтқанда, . Сондықтан екі жағдай бар :

(1)
(2)

Ол (1) қанағаттандыратын сингулярлықпен фолияны мойындайтын коллектордың сипаттамасын алды.

Теорема:[2] Келіңіздер Морзе жапырағын мойындайтын ықшам жалғанған коллектор болыңыз бірге орталықтар және ерлер. Содан кейін . Егер ,

  • геомоморфты болып табылады ,
  • барлық ерлердің индексі бар 1,
  • әрбір қалыпты жапырақ диффеоморфты .

Соңында, 2008 жылы Сезар Камачо мен Бруно Скардуа істі қарады (2), . Бұл аз мөлшерде мүмкін.

Теорема:[3] Келіңіздер ықшам қосылған коллектор болуы және морзе жапырағы . Егер , содан кейін

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Риб, Джордж (1946), «Sur les points singuliers d'une forme de Pfaff shikètement intégrable ou d'une fonction numérique», C. R. Acad. Ғылыми. Париж (француз тілінде), 222: 847–849, МЫРЗА  0015613.
  2. ^ Вагнеур, Эдуард (1978), «Formes de Pfaff à singularités non dégénérées», Annales de l'Institut Fourier (француз тілінде), 28 (3): xi, 165–176, МЫРЗА  0511820.
  3. ^ Камачо, Сезар; Скардуа, Бруно (2008), «Морзаның ерекшеліктерімен фолиация туралы», Американдық математикалық қоғамның еңбектері, 136 (11): 4065–4073, arXiv:математика / 0611395, дои:10.1090 / S0002-9939-08-09371-4, МЫРЗА  2425748.