Кватерниондық талдау - Quaternionic analysis

Жылы математика, кватерниондық талдау функцияларын зерттейді кватерниондар домен және / немесе ауқым ретінде. Мұндай функцияларды атауға болады кватернион айнымалысының функциялары функциялары сияқты а нақты айнымалы немесе а күрделі айнымалы деп аталады.

Сияқты күрделі және нақты талдау сияқты ұғымдарын зерттеуге болады аналитикалық, голоморфия, үйлесімділік және сәйкестік төрттіктер контекстінде. Күрделі сандардан және реал сияқты емес, төрт түсінік сәйкес келмейді.

Қасиеттері

The проекциялар кватернионның скалярлық бөлігіне немесе векторлық бөлігіне, сондай-ақ және versor функциялар, бұл кватернион құрылымын түсінуге негіз болатын мысалдар.

Кватернион айнымалысының маңызды мысалы болып табылады

қайсысы векторлық бөлігін айналдырады q арқылы ұсынылған бұрыштан екі есе артық сен.

Кватернион мультипликативті кері тағы бір негізгі функция, бірақ басқа санау жүйелеріндегі сияқты және байланысты проблемалар, әдетте, сипатына байланысты алынып тасталады нөлге бөлу.

Аффиналық түрленулер төрттіктердің формасы бар

Сызықтық бөлшек түрлендірулер кватерниондар элементтерімен ұсынылуы мүмкін матрицалық сақина жұмыс істейді проективті сызық аяқталды . Мысалы, кескіндер қайда және бекітілген билер өндіруге қызмет етеді эллиптикалық кеңістіктің қозғалысы.

Кватернионның айнымалы теориясы кейбір жағынан күрделі айнымалы теориядан ерекшеленеді. Мысалы: The күрделі конъюгат күрделі жазықтықты бейнелеу - бұл орталық құрал, бірақ арифметикалық емес енгізуді қажет етеді, аналитикалық емес жұмыс. Шынында да, конъюгация өзгереді бағдар арифметикалық функциялары өзгермейтін жазықтық фигуралар.

Айырмашылығы күрделі конъюгат, кватернион коньюгациясын арифметикалық түрде көрсетуге болады, сияқты

Бұл теңдеуді бастап, дәлелдеуге болады негіз {1, i, j, k}:

.

Демек, бастап болып табылады сызықтық,

Сәттілік кешенді талдау бай отбасын қамтамасыз етуде голоморфты функциялар ғылыми жұмыс үшін кейбір жұмысшыларды квартниондық айнымалы функциясымен 4 кеңістікті зерттеуге дейін, күрделі сандарға негізделген жазықтық теориясын кеңейтуге күш салды.[1] Бұл күштер қорытындыланды Дэвурс (1973).[a]

Дегенмен күрделі ұшақтар одағы ретінде пайда болады, келесі ұсыныс күрделі функцияларды кеңейту ерекше күтімді қажет ететіндігін көрсетеді:

Келіңіздер күрделі айнымалының функциясы болуы керек, . Сонымен, солай делік болып табылады тіпті функция туралы және сол болып табылады тақ функция туралы . Содан кейін кеңейту болып табылады кватернион айнымалысына қайда және .Сосын рұқсат етіңіз конъюгатын білдіреді , сондай-ақ . Дейін кеңейту көрсетілген кезде толық болады . Шынында да, гипотеза бойынша

біреуі алады

Омографиялар

Келесіде белгілеу үшін қос нүктелер мен тік жақшалар қолданылады біртекті векторлар.

The айналу ось туралы р кватерниондардың классикалық қолданылуы ғарыш картаға түсіру.[2]A тұрғысынан гомография, айналу көрсетілген

қайда Бұл versor. Егер б * = −б, содан кейін аударма арқылы өрнектеледі

Ротация және аударма xr айналу осі бойымен берілген

Мұндай картаға түсіру а деп аталады бұранданың жылжуы. Классикалық кинематика, Chasles теоремасы дененің кез-келген қатты қозғалысын бұранданың орын ауыстыруы ретінде көрсетуге болатындығын айтады. А Евклидтік жазықтық изометриясы айналу күрделі сан арифметикасы болғандықтан, Чейзл теоремасы және бұрандалы ось қажет, гомографиясы бар кватерион арифметикасы туралы мәселе: Let с перпендикуляр оң минус немесе квадрат түбірі болуы керек р, бірге т = rs.

Өткен осьті қарастырайық с және параллель р. Бұл туралы ротация көрсетіледі[3] гомографиялық құрамы бойынша

қайда

Енді (с, т) -план жазыңыз, шеңберді анықтайды жартылай жазықтықта

Кез келген б осы жарты жазықтықта шеңбер бойынан шыққан сәуледе жатыр және жазуға болады

Содан кейін жоғары = аз, бірге гомографияны білдіретін ретінде конъюгация аударманың айналуының б.

Кватерниондарға арналған туынды

Гамильтон заманынан бастап, тәуелсіздікті талап ететіні түсінікті болды туынды дифференциалдың нөлге қарай жүретін жолынан тым шектеулі: ол тіпті алып тастайды дифференциациядан. Демек, кватерниондық айнымалының функциялары үшін бағытқа тәуелді туынды қажет.[4][5]Кватерниондық аргументтің полиномдық функциясының өсуін қарастыру, өсімнің аргументтің өсуінің сызықтық картасы екендігін көрсетеді.[күмәнді ] Осыдан анықтама жасауға болады:

Үздіксіз картажиынтықта дифференциалданатын деп аталады , егер, әр сәтте , картаның өсуі ретінде ұсынылуы мүмкін

қайда

кватернион алгебрасының сызықтық картасы жәнеосындай үздіксіз карта

Сызықтық картакартаның туындысы деп аталады .

Төрттіктерде туынды ретінде көрсетілуі мүмкін

Сондықтан картаның дифференциалды екі жағында жақшалары бар төмендегідей болуы мүмкін.

Қосындыдағы терминдер саны функцияға байланысты болады f. Өрнектер туынды компоненттер деп аталады.

Кватерниондық функцияның туындысы келесі теңдіктерге ие

Функция үшін f(х) = акс, туынды болып табылады

сондықтан компоненттер:

Сол сияқты, функция үшін f(х) = х2, туынды болып табылады

және компоненттері:

Соңында, функция үшін f(х) = х−1, туынды болып табылады

және компоненттері:

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Дэвурс (1973) 1935 жылғы нөмірін еске түсіреді Mathematici Helvetici түсініктемелері мұнда «тұрақты функциялардың» баламалы теориясы басталды Фуэтер (1936) идеясы арқылы Морера теоремасы: кватернион функциясы «тұрақты қалдырылады «қашан интеграл кез-келген кішкентайдан жоғалады беткі қабат құрамында . Сонда Лиувилл теоремасы орындайды: шектелген нормасы бар жалғыз кватернион функциясы тұрақты болып табылады. Тұрақты функцияларды құрудың бір әдісі - қолдану қуат сериясы нақты коэффициенттермен. Deavours сонымен бірге аналогтарын ұсынады Пуассон интеграл, Коши интегралдық формуласы, және презентациясы Максвелл теңдеулері кватернион функцияларымен электромагнетизм.

Дәйексөздер

  1. ^ (1936 ж )
  2. ^ (Кэйли 1848, әсіресе 198 бет)
  3. ^ (Гамильтон 1853, §287 б. 273,4)
  4. ^ (Гамильтон 1866, II тарау, Кватерниондардың функцияларының дифференциалдары мен дамуы туралы, 391-449 бб.)
  5. ^ (1881 ж, Chapitre 5: Quaternions саралануы, 104–117 бб.)

Әдебиеттер тізімі