Квазидетерминант - Quasideterminant

Математикада квазидетерминант деген сөздің орнын басады анықтауыш үшін матрицалар коммутативті емес жазбалармен. Мысал 2 × 2 квазидетерминанттар келесідей:

Жалпы, бар n2 үшін анықталған квазидетерминанттар n × n матрица (матрицадағы әр позиция үшін бір), бірақ жоғарыда келтірілген терминдердің болуы оқырманға кідіріс беруі керек: олар әрдайым анықтала бермейді, тіпті олар анықталған кезде де, жазбалар ауысқанда детерминанттарға дейін азаяды. Керісінше,

қайда жою дегенді білдіреді менші қатар және jбастап баған A.

The жоғарыда келтірілген мысалдар 1926 - 1928 жылдары енгізілген Ричардсон[1][2] және Heyting,[3] бірақ олар сол кезде шеттетілген, өйткені олар жазбаларда көпмүшелік емес еді . Бұл мысалдар 1991 жылы қайта ашылып, жаңа өмірге ие болды Гельфанд И.М. және В.С. Ретах.[4][5] Онда олар көптеген таныс детерминанттық қасиеттердің квазидетерминанталдық нұсқаларын жасайды. Мысалы, егер бастап салынған оны қалпына келтіру арқылы -ші қатар (сол жақта) бойынша , содан кейін . Сол сияқты, егер бастап салынған көбейтіндісін қосу арқылы (солға) - үшінші қатар басқа жолға, содан кейін . Олар тіпті квазидетерминанталдық нұсқасын жасайды Крамер ережесі.

Анықтама

(суреттің анықтамасы)

Келіңіздер болуы матрица (міндетті түрде ауыстырылмайтын) сақинадан және түзету . Келіңіздер () кіру , рұқсат етіңіз белгілеу - қатар бағанмен жойылды және рұқсат етіңіз белгілеу - баған қатармен жойылды. () -квазидетерминант егер субматрица анықталса айналдырылады . Бұл жағдайда,

Қатысты формуланы еске түсіріңіз (ауыстырмалы сақиналар үшін) анықтауышқа, дәлірек айтсақ . Жоғарыда келтірілген анықтама жалпылама болып табылады (тіпті шартты емес сақиналар үшін де)

екі жақтың мағынасы болған кезде.

Тұлғалар

Квазидетерминанттың маңызды қасиеттерінің бірі - Гельфанд пен Ретах «тұқым қуалаушылық қағидасы» деп атайды. Ол квазидетерминантты кезең-кезеңімен қабылдауға мүмкіндік береді (және коммутативті аналогы жоқ). Көрнекі түрде айтайық

Бұл матрицалық блок ыдырау матрица бірге а матрица. Егер () кіру ішінде жатыр , бұл айтады

Яғни, квазидетерминанттың квазидетерминанты - квазидетерминант. Мұны қысқаша түрде айту керек: UNLIKE детерминанттары, квазидетерминанттар матрицаларды блок-матрицалық жазбалармен қарапайым матрицалардан ерекшеленбейді (детерминанттар жасай алмайтын нәрсе, өйткені блок-матрицалар бір-бірімен жүрмейді). Яғни, жоғарыда көрсетілген сәйкестіктің нақты түрі таңқаларлық болса да, бар кейбіреулері мұндай сәйкестілік аз. Қағаздардағы басқа тұлғалар [4][5] (i) «гомологиялық қатынастар» деп аталады, олар жалпы жолдағы немесе бағандағы екі квазидетерминанттың бір-бірімен тығыз байланысты екендігін және (ii) Сильвестр формула.

(i) Жалпы жолды немесе бағанды ​​бөлетін екі квазидетерминант қанағаттандырады

немесе

сәйкесінше, барлық таңдау үшін , сондықтан қатысатын квазидетерминанттар анықталады.

(ii) Тұқымқуалаушылық қағидасы сияқты, Сильвестрдің сәйкестігі - квазидетерминантты рекурсивті есептеу әдісі. Белгілеуді жеңілдету үшін біз арнайы жағдайды көрсетеміз. Келіңіздер жоғарғы сол жақта болыңыз субматрицасы матрица және координатты () . Келіңіздер болуы матрица, бірге ретінде анықталған () - квазидетерминант матрица іргелес болу арқылы қалыптасады бірінші жол бағандары , бірінші баған жолдары және жазба . Сонда біреу бар

Гельфанд пен Ретахтың осы тақырыпқа арналған алғашқы мақалаларынан бастап көптеген басқа сәйкестіктер пайда болды, олардың көпшілігі классикалық детерминантты сәйкестіктің аналогтары болды. Кроб пен Леклерктің 1995 жылғы мақаласы, [6] Біреуін бөлектеу үшін жол / баған кеңейту идентификациясын қарастырамыз. Жолды түзету бойымен кеңейту. Детерминанттық формуланы еске түсіріңіз . Квазидетерминанттар қанағаттандырады

(баған бойымен кеңейту ), және

(қатар бойымен кеңейту ).

Басқа детерминанттарға қосылыстар

Квазидетерминант, әрине, коммутативті емес параметрлер үшін жалғыз анықтаушы аналог емес, мүмкін ең танымал мысалдар Dieudonné детерминанты және кванттық анықтауыш. Алайда, бұлар қандай-да бір жолмен квазидетерминантпен байланысты. Мысалға,

оң жақтағы факторлармен бір-бірімен коммутация. Сияқты басқа да танымал мысалдар Березиндіктер, Мур және детерминанттарды зерттеу, Капелли детерминанттары, және Картье-Фоата типіндегі детерминанттар квазидетерминанттар тұрғысынан да айқын көрінеді. Гельфанд белгілі болды (коммутативті емес) детерминантты «жақсы» деп анықтайды, егер ол квазиминорлардың туындылары ретінде көрсетілуі мүмкін болса.

Қолданбалар

С. Гельфанд пен Р. Уилсонмен бірге жүргізген 2005 жылғы сауалнамалық мақаласын өзгерту,[7] Гельфанд пен Ретах квазидетерминанттарды «коммутативті алгебрада негізгі ұйымдастырушы құрал ретінде қабылдап, оларға коммутативті алгебрада детерминанттардың рөлін бірдей беруді» қолдайды. Математиканың интегралданатын жүйелер сияқты салаларында квазидетерминантты айтарлықтай пайдалану қолданылды,[8][9] ұсыну теориясы,[10][11] алгебралық комбинаторика,[12] теориясы симметриялы емес функциялар, [13] теориясы бөлу сақиналары бойынша көпмүшелер, [14] және геометрия.[15][16][17]

Жоғарыда келтірілген бірнеше қолданбалар қолданады квази-Плюкер координаттары, олар өзгермейтін грассманниялар мен жалаушаларды бірдей етіп параметрлейді Плюкер координаттары істеу Шөптер және коммутативті өрістердің жалаулары. Бұл туралы толығырақ ақпаратты сауалнама мақаласынан табуға болады.[7]

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ А.Р. Ричардсон, гиперкомплексті детерминанттар, Математика елшісі. 55 (1926), жоқ. 1.
  2. ^ А.Р. Ричардсон, бөлу алгебрасы бойынша сызықтық теңдеулер, Proc. Лондон математикасы. Soc. 28 (1928), жоқ. 2018-04-21 121 2.
  3. ^ A. Heyting, Die theorie der linearen gleichungen in einer zahlenspezies mit nichtkommutativer multiplikation, Математика. Энн. 98 (1928), жоқ. 1.
  4. ^ а б I. Гельфанд, В. Ретах, матрицалардың коммутативті емес сақиналар бойынша анықтаушылары, Функция. Анал. Қолдану. 25 (1991), жоқ. 2018-04-21 121 2.
  5. ^ а б И. Гельфанд, В. Ретах, коммутативті емес детерминанттар теориясы және графиканың сипаттамалық функциялары, Функция. Анал. Қолдану. 26 (1992), жоқ. 4.
  6. ^ Д.Кроб, Б.Леклерк, квази-детерминанттар мен кванттық детерминанттардың минорлық сәйкестілігі, Комм. Математика. Физ. 169 (1995), жоқ. 1.
  7. ^ а б I. Гельфанд, С. Гелфанд, В. Ретах, Р.Л. Уилсон, квазидетерминанттар. Adv. Математика. 193 (2005), жоқ. 1. (eprint )
  8. ^ П.Этиноф, И.Гельфанд, В.Ретах, Набельді интегралданатын жүйелер, квазидетерминанттар және Марченко леммасы. Математика. Res. Летт. 5 (1998), жоқ. 1-2.
  9. ^ Джилсон Дж. Ниммо, К.М. Соман, коммутативті емес модификацияланған KP теңдеуінің квазидетерминантты шешімдеріне тікелей көзқарас туралы, J. физ. Ж: математика. Теория. 41 (2008), жоқ. 8. (eprint )
  10. ^ А.Молев, яньяндықтар және олардың қосымшалары, жылы Алгебра туралы анықтамалық, т. 3, Солтүстік-Голландия, Амстердам, 2003. (eprint )
  11. ^ Дж.Брундан, А.Клешев, Янгян Ю параболалық презентациялары (gl_n), Комм. Математика. Физ. 254 (2005). (eprint )
  12. ^ М.Конвалинка, И.Пак, МакМахон магистр теоремасының ауыстырылмайтын кеңейтімдері, Adv. Математика. 216 (2007), жоқ. 1. (eprint )
  13. ^ И. Гельфанд, Д. Кроб, А. Ласку, Б. Леклерк, В. Ретах, Дж. Тибон, Коммутативті емес симметриялық функциялар. Adv. Математика. 112 (1995), жоқ. 2. (eprint )
  14. ^ I. Гельфанд, В. Ретах, Коммутативті емес Вьетнам теоремасы және симметриялық функциялар. Гельфанд математикалық семинарлары, 1993-1995 жж.
  15. ^ Шкода, коммутативті емес геометриядағы коммутативті емес локализация, «алгебра мен топологиядағы коммутативті емес локализация», Лондон математикасы. Soc. Дәріс сериясы, 330, Кембридж Университеті. Пресс, Кембридж, 2006. (eprint )
  16. ^ Лаув, кванттық және квази-плюкер координаттары, Дж. Алгебра (296) 2006 ж. 2. (eprint )
  17. ^ А.Беренштейн, В.Ретах, Коммутативті қос Брухат жасушалары және олардың факторизациясы, IMRN 2005. (eprint )