Алқа полиномы - Necklace polynomial

Жылы комбинаторлық математика, алқа полиномы, немесе Мороны алқаларды есептеу функциясы, енгізген C. Моро  (1872 ), -ның айқын алқалар санын есептейді n α қол жетімді түстердің ішінен таңдалған моншақтар. Алқалар апериодты деп есептеледі (қайталанатын тізбектерден тұрмайды), ал санау «аударылмай» (моншақтардың ретін өзгертпестен) жасалады. Бұл санау функциясы, басқалармен қатар, бос Ли алгебраларының санын және шектеулі өрістегі азайтылмайтын көпмүшелердің санын сипаттайды.

Анықтама

Алқа көпмүшелері - бұл көпмүшеліктер тобы айнымалыда осындай

Авторы Мобиус инверсиясы олар береді

қайда классикалық Мебиус функциясы.

Деп аталатын жақын отбасы жалпы алқа полиномы немесе алқаларды есептеудің жалпы функциясы, бұл:

қайда болып табылады Эйлердің тотентті қызметі.

Қолданбалар

Алқа көпмүшелері келесідей көрінеді:

  • Саны апериодты алқалар (немесе баламалы) Линдон сөздері ) оны реттеу арқылы жасауға болады n түрлі-түсті моншақтар α қол жетімді түстер. Мұндай алқалардың екеуі тең деп саналады, егер олар айналуымен байланысты болса (бірақ шағылысуы мүмкін емес). Апериодикалық ие, айналмалы симметриясыз алқаларға жатады n нақты айналымдар. Көпмүшелер алқалардың санын, оның ішінде мерзімділерін беріңіз: бұл оңай есептеледі Поля теориясы.
  • Дәреженің өлшемі n бөлігі Lie алгебрасы қосулы α генераторлар («Виттің формуласы»[1]). Мұнда сәйкес өлшемнің n кесіндісінің өлшемі болуы керек Иордания алгебрасы.
  • Ұзындықтың нақты сөздерінің саны n ішінде Зал жиналды. Холл жиынтығы Lie алгебрасының тегін негізін ұсынады; осылайша, бұл жоғарыда айтылғандардың жалпыланған параметрі.
  • Моникалық төмендетілмейтін көпмүшеліктер саны n астам ақырлы өріс бірге α элементтер (қашан негізгі күш). Мұнда - бұл бастапқы болатын көпмүшеліктер саны (төмендетілмейтін дәреже).
  • Ішіндегі көрсеткіш циклотомды сәйкестілік.

Көпмүшелер осы әртүрлі параметрлерде пайда болғанына қарамастан, олардың арасындағы нақты қатынастар жұмбақ немесе белгісіз болып қалады. Мысалы, қысқартылмайтын көпмүшелер мен Линдон сөздерінің арасында белгілі биекция жоқ.[2]

Арасындағы қатынастар М және N

Үшін көпмүшелер М және N тұрғысынан оңай байланысты Дирихлет конволюциясы арифметикалық функциялар қатысты тұрақты ретінде.

  • Формуласы М береді ,
  • Формуласы N береді .
  • Олардың өзара байланысы береді немесе баламалы , бері n болып табылады толық мультипликативті.

Бұлардың кез келген екеуі үшіншісін білдіреді, мысалы:

Дирихлет алгебрасында жою арқылы.

Мысалдар

Үшін , нөлдік ұзындықтан бастап, олар бүтін реттілік

1, 2, 1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, ... (реттілік A001037 ішінде OEIS )

Тұлғалар

Көпмүшелер Metropolis & Rota берген әр түрлі комбинаторлық сәйкестілікке бағынады:

«gcd» қайда ең үлкен ортақ бөлгіш және «lcm» болып табылады ең кіші ортақ еселік. Жалпы,

бұл сонымен қатар:

Циклотомдық сәйкестілік

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Лотир, М. (1997). Сөздер бойынша комбинаторика. Математика энциклопедиясы және оның қолданылуы. 17. Перрин, Д .; Ройтенауэр, С .; Берстел, Дж .; Пин, Дж .; Пирилло, Г .; Фоата, Д .; Сакарович Дж .; Саймон, Мен .; Шютценбергер, М. П .; Чофрут, С .; Кори, Р .; Линдон, Роджер; Рота, Джан-Карло. Роджер Линдонның кіріспе сөзі (2-ші басылым). Кембридж университетінің баспасы. 79, 84 б. ISBN  978-0-521-59924-5. МЫРЗА  1475463. Zbl  0874.20040.
  2. ^ Эми Глен, (2012) Линдон сөздерінің комбинаторикасы, Мельбурндағы әңгіме
  • Ройтенауэр, Кристоф (1988). «Mots циркуляторлары және полиномдары төмендетілмейтін». Энн. Sc. Математика. Квебек. 12 (2): 275–285.