Аралас Hodge модулі - Mixed Hodge module

Математикада, аралас Hodge модульдері шыңы болып табылады Қожа теориясы, аралас қожалық құрылымдар, қиылысқан когомология, және ыдырау теоремасы арқылы бұзылатын аралас Ходж құрылымдарының вариацияларын талқылауға арналған когерентті негіздеме алты функционалды формализм. Негізінде, бұл нысандар сүзілген жұп болып табылады D-модулі бірге бұрмаланған шоқ функциясы Риман-Гильберт корреспонденциясы жібереді дейін . Бұл а-ны құруға мүмкіндік береді Қожа құрылымы тақырып ашылған кездегі негізгі мәселелердің бірі - қиылысу когомологиясында. Бұл шешілді Морихико Сайто когеренді D-модулінде сүзілуді Hodge құрылымы үшін Hodge сүзуінің аналогы ретінде қолдану тәсілін тапты[1]. Бұл Ходж құрылымын қиылысқан когомологиялық қабықшаға, қарапайым объектілерді беруге мүмкіндік берді Абель категориясы бұрмаланған шоқтардан.

Реферат құрылымы

Аралас қож модулдерін анықтаудың өте күрделі бөлшектеріне тоқталмас бұрын, олар өте күрделі болып табылады, аралас қожа модульдерінің санаты нақты не беретінін түсінген жөн. Күрделі алгебралық әртүрлілік берілген абелиялық категория бар [2]бет 339 келесі функционалдық қасиеттері бар

  1. Бар адал функция рационализация функциясы деп аталады. Бұл аралас Hodge модулінің негізгі рационалды бұрмаланған қабығын береді.
  2. Адал функция бар аралас Hodge модулін оның негізгі D-модуліне жіберу
  3. Бұл функциялар Риман-Гильберт корреспонденцияларына қатысты өздерін жақсы ұстайды , әр аралас Hodge модулі үшін мағынасы изоморфизм бар .

Сонымен қатар, келесі категориялық қасиеттер бар

  1. Аралас қож модулдерінің бір санаттағы санаты аралас қожа құрылымдарының санатына изоморфты,
  2. Кез-келген объект жылы мойындайды а салмақты сүзу әрбір морфизм салмағы бар фильтрацияны қатаң түрде сақтайды, байланысты деңгейлі объектілер жартылай қарапайым, және аралас Hodge модульдері санатында бұл аралас қожа құрылымының салмақтық сүзілуіне сәйкес келеді.
  3. Бар функцияны қосарландыру Verdier-ді дуализациялау функциясын көтеру бұл инволюция .

Морфизм үшін алгебралық сорттардың, байланысты алты функцияның және келесі қасиеттерге ие

  1. кешеннің салмағын арттырмаңыз аралас Hodge модульдері.
  2. кешеннің салмағын төмендетпеңіз аралас Hodge модульдері.

Туынды категориялар арасындағы байланыс

Аралас Hodge модульдерінің алынған санаты конструктивті қабықшалардың алынған санатымен тығыз байланысты бұрмаланған қабықтардың алынған санатына балама. Бұл рационализация функциясы когомологиялық функциямен қаншалықты үйлесетіндігіне байланысты кешеннің аралас Hodge модульдері. Рационализацияны қабылдағанда изоморфизм бар

орта бұзушылық үшін . Ескерту[2]310 бет бұл функция жіберіліп жатыр , бұл псевдоманифольдалардан ерекшеленеді мұндағы бұрмаланушылық функция қайда . Еске салайық, бұл ауысымдық функционалмен бұрмаланған кесінділер құрамын қабылдау ретінде анықталады[2]бет 341

Орнатудың бұл түрі алынған итеру және тарту функцияларында да көрінеді және жақын және жоғалып бара жатқан циклдармен , рационализация функциясы бұларды бұрмаланған қабықшалардың алынған санатындағы аналогтық бұзылған функцияларға жеткізеді.

Тейт модульдері және когомология

Мұнда канондық проекцияны нүктеге белгілейміз . Алғашқы аралас Hodge модульдерінің бірі - салмағы 0 Tate нысаны, ол белгіленген сәйкес объектінің кері тартылуы ретінде анықталады , сондықтан

Оның салмағы нөлге тең, сондықтан салмағы 0 Tate объектісіне сәйкес келеді аралас Ходж құрылымдары санатында. Бұл нысан пайдалы, өйткені оны әр түрлі когомологияны есептеу үшін қолдануға болады алты функционалды формализм арқылы және оларға аралас Ходж құрылымын беру. Оларды кестемен қорытындылауға болады

Сонымен қатар, жабық ендіру берілген жергілікті когомологиялық топ бар

Аралас қожа құрылымдарының вариациялары

Сорттардың морфизмі үшін алға жылжитын карталар және аралас Hodge құрылымдарының деградациялық вариацияларын беріңіз . Бұл вариацияларды жақсы түсіну үшін ыдырау теоремасы және қиылысу когомологиясы қажет.

Қиылысқан когомология

Аралас Hodge модульдері категориясының анықтайтын ерекшеліктерінің бірі - қиылысу когомологиясын оның тілінде тіркестіруге болады. Бұл карталар үшін декомпозиция теоремасын қолдануға мүмкіндік береді сорттардың Қиылысу кешенін анықтау үшін рұқсат етіңіз әртүрліліктің ашық тегіс бөлігі болыңыз . Содан кейін. Қиылысу кешені ретінде анықтауға болады

қайда

бұрмаланған қабықтардағы сияқты[2]311 бет. Атап айтқанда, бұл қондырғы қиылысқан когомология топтарын көрсету үшін қолданыла алады

таза салмағы бар Қожа құрылымы.

Сондай-ақ қараңыз

Пайдаланылған әдебиеттер

  1. ^ «Сүзілген $ mathcal {D} $ - модульдері арқылы қожа құрылымы». www.numdam.org. Алынған 2020-08-16.
  2. ^ а б c г. Питерс, C. (Крис) (2008). Аралас қожалық құрылымдар. Springer Berlin Heidelberg. ISBN  978-3-540-77017-6. OCLC  1120392435.