Матрица дирихлеттің таралуын өзгертеді - Matrix variate Dirichlet distribution

Жылы статистика, матрица дирихлеттің үлестіріміне өзгереді жалпылау болып табылады матрица әр түрлі бета-таралуы.

Айталық ${ displaystyle U_ {1}, ldots, U_ {r}}$ болып табылады ${ displaystyle p times p}$ оң анықталған матрицалар бірге ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {r} U_ {i}$ , қайда ${ displaystyle I_ {p}}$ болып табылады ${ displaystyle p times p}$ сәйкестік матрицасы. Сонда біз ${ displaystyle U_ {i}}$ әр түрлі дирихлет матрицасы бар, ${ displaystyle сол жақ (U_ {1}, ldots, U_ {r} оң) sim D_ {p} сол (a_ {1}, ldots, a_ {r}; a_ {r + 1} оң)}$ , егер олардың буыны болса ықтималдық тығыздығы функциясы болып табылады

{ displaystyle left { beta _ {p} left (a_ {1}, ldots, a_ {r}, a_ {r + 1} right) right } ^ {- 1} prod _ {i = 1} ^ {r} det left (U_ {i} right) ^ {a_ {i} - (p + 1) / 2} det left (I_ {p} - sum _ {) i = 1} ^ {r} U_ {i} оң) ^ {a_ {r + 1} - (p + 1) / 2}}

қайда ${ displaystyle a_ {i}> (p-1) / 2, i = 1, ldots, r + 1}$ және ${ displaystyle beta _ {p} left ( cdots right)}$ болып табылады көп айнымалы бета-функция.

Егер біз жазатын болсақ ${ displaystyle U_ {r + 1} = I_ {p} - sum _ {i = 1} ^ {r} U_ {i}}$ содан кейін PDF қарапайым форманы алады

{ displaystyle left { beta _ {p} left (a_ {1}, ldots, a_ {r + 1} right) right } ^ {- 1} prod _ {i = 1} ^ {r + 1} det left (U_ {i} right) ^ {a_ {i} - (p + 1) / 2},}

деп түсіну туралы ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {r} U_ {i} = I_ {p}}$ .

Теоремалар

хи квадрат-дирихле нәтижесін жалпылау

Айталық ${ displaystyle S_ {i} sim W_ {p} сол жақ (n_ {i}, Sigma оң), i = 1, ldots, r + 1}$ дербес таратылады Тілек ${ displaystyle p times p}$ оң анықталған матрицалар. Содан кейін, анықтау ${ displaystyle U_ {i} = S ^ {- 1/2} S_ {i} солға (S ^ {- 1/2} оңға) ^ {T}}$ (қайда ${ displaystyle S = sum _ {i = 1} ^ {r + 1} S_ {i}}$ - және матрицаларының қосындысы ${ displaystyle S ^ {1/2} солға (S ^ {- 1/2} оңға) ^ {T}}$ болып табылады ${ displaystyle S}$ ), Бізде бар

{ displaystyle сол жақ (U_ {1}, ldots, U_ {r} оң) sim D_ {p} сол (n_ {1} / 2, ..., n_ {r + 1} / 2 ) оң).}

Шекті үлестіру

Егер ${ displaystyle сол жақ (U_ {1}, ldots, U_ {r} оң) sim D_ {p} сол (a_ {1}, ldots, a_ {r + 1} оң)}$ және егер ${ displaystyle s leq r}$ , содан кейін:

{ displaystyle сол жақ (U_ {1}, ldots, U_ {s} оң) sim D_ {p} сол (a_ {1}, ldots, a_ {s}, sum _ {i = s +1} ^ {r + 1} a_ {i} оң)}

Шартты бөлу

Сондай-ақ, жоғарыдағыдай жазумен, тығыздығы ${ displaystyle сол (U_ {s + 1}, ldots, U_ {r} оң) сол | сол (U_ {1}, ldots, U_ {s} оң) оңға.}$ арқылы беріледі

{ displaystyle { frac { prod _ {i = s + 1} ^ {r + 1} det left (U_ {i} right) ^ {a_ {i} - (p + 1) / 2} } { бета _ {p} солға (a_ {s + 1}, ldots, a_ {r + 1} оңға) det солға (I_ {p} - sum _ {i = 1} ^ { s} U_ {i} right) ^ { sum _ {i = s + 1} ^ {r + 1} a_ {i} - (p + 1) / 2}}}}

біз қайда жазамыз ${ displaystyle U_ {r + 1} = I_ {p} - sum _ {i = 1} ^ {r} U_ {i}}$ .

бөлу

Айталық ${ displaystyle сол жақ (U_ {1}, ldots, U_ {r} оң) sim D_ {p} сол (a_ {1}, ldots, a_ {r + 1} оң)}$ және солай делік ${ displaystyle S_ {1}, ldots, S_ {t}}$ бөлімі болып табылады ${ displaystyle left [r + 1 right] = left {1, ldots r + 1 right }}$ (Бұл, ${ displaystyle cup _ {i = 1} ^ {t} S_ {i} = солға [r + 1 оңға]}$ және ${ displaystyle S_ {i} cap S_ {j} = emptyset}$ егер ${ displaystyle i neq j}$ ). Содан кейін, жазу ${ displaystyle U _ {(j)} = sum _ {i in S_ {j}} U_ {i}}$ және ${ displaystyle a _ {(j)} = sum _ {i in S_ {j}} a_ {i}}$ (бірге ${ displaystyle U_ {r + 1} = I_ {p} - sum _ {i = 1} ^ {r} U_ {r}}$ ), Бізде бар:

{ displaystyle left (U _ {(1)}, ldots U _ {(t)} right) sim D_ {p} left (a _ {(1)}, ldots, a _ {(t)}) оң).}

бөлімдер

Айталық ${ displaystyle сол жақ (U_ {1}, ldots, U_ {r} оң) sim D_ {p} сол (a_ {1}, ldots, a_ {r + 1} оң)}$ . Анықтаңыз

{ displaystyle U_ {i} = left ({ begin {array} {rr} U_ {11 (i)} & U_ {12 (i)} U_ {21 (i)} & U_ {22 (i)}) end {array}} right) qquad i = 1, ldots, r}

қайда ${ displaystyle U_ {11 (i)}}$ болып табылады ${ displaystyle p_ {1} times p_ {1}}$ және ${ displaystyle U_ {22 (i)}}$ болып табылады ${ displaystyle p_ {2} times p_ {2}}$ . Жазу Шур комплементі ${ displaystyle U_ {22 cdot 1 (i)} = U_ {21 (i)} U_ {11 (i)} ^ {- 1} U_ {12 (i)}}$ Бізде бар