Матрицалық аналитикалық әдіс - Matrix analytic method

Жылы ықтималдықтар теориясы, матрицалық аналитикалық әдіс бұл қайталанатын құрылымы бар Марков тізбегінің стационарлық ықтималдық үлестірімін есептеу әдісі және бір өлшемнен көп емес шексіз өсетін күй кеңістігі.^[1][2] Мұндай модельдер жиі сипатталады M / G / 1 типті Марков тізбектері өйткені олар өтпелерді M / G / 1 кезегінде сипаттай алады.^[3][4] Әдіс - неғұрлым күрделі нұсқасы матрицалық геометриялық әдіс және M / G / 1 тізбектері үшін классикалық шешім әдісі болып табылады.^[5]

Әдістің сипаттамасы

M / G / 1 типті стохастикалық матрица формалардың бірі болып табылады^[3]

${ displaystyle P = { begin {pmatrix} B_ {0} & B_ {1} & B_ {2} & B_ {3} & cdots A_ {0} & A_ {1} & A_ {2} & A_ {3} & cdots & A_ {0} & A_ {1} & A_ {2} & cdots && A_ {0} & A_ {1} & cdots vdots & vdots & vdots & vdots & ddots end { pmatrix}}}$

қайда B_мен және A_мен болып табылады к × к матрицалар. (Матрицаның белгіленбеген жазбалары нөлдерді көрсететінін ескеріңіз.) Мұндай матрица ендірілген Марков тізбегі M / G / 1 кезегінде.^[6][7] Егер P болып табылады қысқартылмайтын және оң қайталанатын онда стационарлық үлестіру теңдеулер шешімімен беріледі^[3]

${ displaystyle P pi = pi quad { text {and}} quad mathbf {e} ^ { text {T}} pi = 1}$

қайда e барлық мәндері 1-ге сәйкес келетін өлшем векторын білдіреді. құрылымын сәйкестендіру P, π бөлінеді π₁, π₂, π₃,…. Бұл ықтималдықтарды есептеу үшін бағанның стохастикалық матрицасы G деп есептеледі^[3]

${ displaystyle G = sum _ {i = 0} ^ { infty} G ^ {i} A_ {i}.}$

G көмекші матрица деп аталады.^[8] Матрицалар анықталған^[3]

${ displaystyle { begin {aligned} { overline {A}} _ {i + 1} & = sum _ {j = i + 1} ^ { infty} G ^ {ji-1} A_ {j} { overline {B}} _ {i} & = sum _ {j = i} ^ { infty} G ^ {ji} B_ {j} end {aligned}}}$

содан кейін π₀ шешу жолымен табылады^[3]

${ displaystyle { begin {aligned} { overline {B}} _ {0} pi _ {0} & = pi _ {0} quad left ( mathbf {e} ^ { text {T}} + mathbf {e} ^ { text {T}} left (I- sum _ {i = 1} ^ { infty} { overline {A}} _ {i} right) ^ {- 1} sum _ {i = 1} ^ { infty} { overline {B}} _ {i} right) pi _ {0} & = 1 end {aligned}}}$

және π_мен арқылы беріледі Рамасвами формуласы,^[3] бірінші рет Вайдянатан Рамасвами 1988 жылы жариялаған сандық тұрақты қатынас.^[9]

${ displaystyle pi _ {i} = (I - { overline {A}} _ {1}) ^ {- 1} left [{ overline {B}} _ {i + 1} pi _ { 0} + sum _ {j = 1} ^ {i-1} { overline {A}} _ {i + 1-j} pi _ {j} right], i geq 1.}$

Есептеу G

Екі танымал қайталанатын әдістер есептеу үшін G,^[10][11]

• функционалдық қайталанулар
• циклдік редукция.

Құралдар

• MAMSolver^[12]

Әдебиеттер тізімі