Қатысушылар теңсіздік - Loewners torus inequality - Wikipedia

Чарльз Левнер 1963 ж

Жылы дифференциалды геометрия, Левнердің торус теңсіздігі болып табылады теңсіздік байланысты Чарльз Левнер. Бұл байланысты систола және аудан ерікті Риман метрикасы үстінде 2-тор.

Мәлімдеме

Тордағы қысқа цикл

1949 жылы Чарльз Левнер 2-ден әр метрикаторус оңтайлы теңсіздікті қанағаттандырады

мұндағы «sys» ол систола, яғни созылмайтын циклдің ең аз ұзындығы. Оң жағында пайда болатын тұрақты болып табылады Гермит тұрақтысы Левнердің торус теңсіздігін келесідей етіп жазуға болатындай етіп, 2 өлшемде

Әдебиетте теңсіздік туралы алғаш рет айтылды Пу (1952).

Теңдік жағдайы

Теңдіктің шекаралық жағдайына тек егер метрика тегіс және гомотетикалық деп аталатын болса ғана қол жеткізіледі тең бүйірлі торс, яғни палуба түрлендірулерінің тобы дәл осы торус алты бұрышты тор ішіндегі бірліктің текше тамырлары арқылы өрілген .

Баламалы тұжырымдау

Екі еселенген мерзімді метрика берілген (мысалы, кірістіру ол өзгермейтін болып табылады изометриялық әрекет), нөлдік емес элемент бар және нүкте осындай , қайда әрекет етудің негізгі домені болып табылады, ал бұл Риман қашықтығы, атап айтқанда, қосылатын жолдың ең аз ұзындығы және .

Левнер торы теңсіздігінің дәлелі

Левнердің торус теңсіздігін дисперсияның есептеу формуласын қолдану арқылы оңай дәлелдеуге болады,

Атап айтқанда, формула қолданылады ықтималдық өлшемі берілген тордың конформды класындағы жазық тордың бірлік ауданы өлшемімен анықталады. Кездейсоқ шама үшін X, берілген метриканың конформдық коэффициентін жазыққа қатысты қабылдайды. Содан кейін күтілетін мән E (X 2) of X 2 берілген метриканың жалпы ауданын өрнектейді. Сонымен қатар, күтілетін мән E (X) of X қолдану арқылы систоламен байланысты болуы мүмкін Фубини теоремасы. Дисперсиясы X содан кейін изопериметриялық ақауға ұқсас изосистолалық ақау деп санауға болады Боннесеннің теңсіздігі. Сондықтан бұл тәсіл Левнердің торос теңсіздігінің изосистолалық ақауымен келесі нұсқасын шығарады:

қайда ƒ - бұл оның конформды класындағы жазық метриканың өлшем бірлігіне қатысты метриканың конформдық коэффициенті.

Жоғары тұқымдас

Теңсіздік немесе жоқ

позитивті емес барлық беттермен қанағаттандырылады Эйлерге тән белгісіз. Үшін бағдарланған беттер 2 және 20 және одан жоғары тұқымдардың жауаптары оң, төменде Катц пен Сабуродың жұмыстарын қараңыз.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  • Хоровиц, Чарльз; Катц, Карин Усади; Катц, Михаил Г. (2009). «Изосистолалық дефектпен Левнер торы теңсіздігі». Геометриялық анализ журналы. 19 (4): 796–808. arXiv:0803.0690. дои:10.1007 / s12220-009-9090-ж. МЫРЗА  2538936.
  • Катц, Михаил Г. (2007). Систолалық геометрия және топология. Математикалық зерттеулер және монографиялар. 137. Дж. Сүлейменнің қосымшасымен. Провиденс, RI: Американдық математикалық қоғам. дои:10.1090 / аман / 137. ISBN  978-0-8218-4177-8. МЫРЗА  2292367.
  • Катц, Михаил Г .; Сабуро, Стефан (2005). «Систолалық экстремалды беттер мен асимптотикалық шекаралардың энтропиясы». Эргодикалық теория динамикасы. Жүйелер. 25 (4): 1209–1220. arXiv:math.DG / 0410312. дои:10.1017 / S0143385704001014. МЫРЗА  2158402.
  • Катц, Михаил Г .; Сабуро, Стефан (2006). «Гипереллиптикалық беттер - бұл Loewner». Proc. Amer. Математика. Soc. 134 (4): 1189–1195. arXiv:math.DG / 0407009. дои:10.1090 / S0002-9939-05-08057-3. МЫРЗА  2196056.
  • Пу, Пао Мин (1952). «Кейбір бағдарланбаған Риман коллекторларындағы кейбір теңсіздіктер». Тынық мұхиты Дж. 2 (1): 55–71. МЫРЗА  0048886.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)