Сызықтық - Linearization

Жылы математика, сызықтық табуда сызықтық жуықтау а функциясы берілген сәтте. Функцияның сызықтық жуықтауы бірінші ретті Тейлордың кеңеюі қызығушылықтың айналасында. Зерттеуінде динамикалық жүйелер, сызықтық бағалау жергілікті бағалау әдісі тұрақтылық туралы тепе-теңдік нүктесі а жүйе туралы бейсызықтық дифференциалдық теңдеулер немесе дискретті динамикалық жүйелер.^[1] Бұл әдіс сияқты өрістерде қолданылады инженерлік, физика, экономика, және экология.

Функцияны сызықтық сипаттау

А функциясы болып табылады сызықтар - әдетте есептеу мақсатында пайдалануға болатын сызықтар. Сызықтық түрлендіру - функцияның шығуын жуықтаудың тиімді әдісі ${ displaystyle y = f (x)}$ кез келген жағдайда ${ displaystyle x = a}$ мәні негізінде және көлбеу функциясының at ${ displaystyle x = b}$ , мынадай жағдай болса ${ displaystyle f (x)}$ бойынша ажыратуға болады ${ displaystyle [a, b]}$ (немесе ${ displaystyle [b, a]}$ ) және сол ${ displaystyle a}$ жақын ${ displaystyle b}$ . Қысқаша айтқанда, сызықтық сипаттама функцияның шығуына жуықтайды ${ displaystyle x = a}$ .

Мысалға, ${ displaystyle { sqrt {4}} = 2}$ . Алайда, қандай жақындастыру болар еді ${ displaystyle { sqrt {4.001}} = { sqrt {4 + .001}}}$ ?

Кез-келген берілген функция үшін ${ displaystyle y = f (x)}$ , ${ displaystyle f (x)}$ жуықтауға болады, егер ол белгілі дифференциалданатын нүктеге жақын болса. Ең басты талап - бұл ${ displaystyle L_ {a} (a) = f (a)}$ , қайда ${ displaystyle L_ {a} (x)}$ болып табылады ${ displaystyle f (x)}$ кезінде ${ displaystyle x = a}$ . The көлбеу нысаны теңдеуі нүкте берілген түзудің теңдеуін құрайды ${ displaystyle (H, K)}$ және көлбеу ${ displaystyle M}$ . Бұл теңдеудің жалпы түрі: ${ displaystyle y-K = M (x-H)}$ .

Нүктені қолдану ${ displaystyle (a, f (a))}$ , ${ displaystyle L_ {a} (x)}$ болады ${ displaystyle y = f (a) + M (x-a)}$ . Себебі дифференциалданатын функциялар болып табылады жергілікті сызықтық, ауыстыру үшін ең жақсы көлбеу сызықтың көлбеуі болады тангенс дейін ${ displaystyle f (x)}$ кезінде ${ displaystyle x = a}$ .

Жергілікті сызықтық тұжырымдамасы ең көп нүктелерге қолданылады ерікті түрде жабу дейін ${ displaystyle x = a}$ , салыстырмалы түрде жақын, сызықтық жуықтау үшін салыстырмалы түрде жақсы жұмыс істейді. Көлбеу ${ displaystyle M}$ жанама сызықтың көлбеуі дәл болуы керек ${ displaystyle x = a}$ .

$ F (x) = x ^ 2 $ жуықтаух, f(х))

Көрнекі түрде ілеспе диаграмма -ның жанама сызығын көрсетеді ${ displaystyle f (x)}$ кезінде ${ displaystyle x}$ . At ${ displaystyle f (x + h)}$ , қайда ${ displaystyle h}$ кез-келген кішігірім оң немесе теріс мән, ${ displaystyle f (x + h)}$ жанама сызықтың нүктедегі мәніне жақын ${ displaystyle (x + h, L (x + h))}$ .

Функциясын сызықтық сипаттауға арналған соңғы теңдеу ${ displaystyle x = a}$ бұл:

${ displaystyle y = (f (a) + f '(a) (x-a))}$

Үшін ${ displaystyle x = a}$ , ${ displaystyle f (a) = f (x)}$ . The туынды туралы ${ displaystyle f (x)}$ болып табылады ${ displaystyle f '(x)}$ , және көлбеу ${ displaystyle f (x)}$ кезінде ${ displaystyle a}$ болып табылады ${ displaystyle f '(a)}$ .

Мысал

Табу ${ displaystyle { sqrt {4.001}}}$ , біз бұл фактіні қолдана аламыз ${ displaystyle { sqrt {4}} = 2}$ . Сызықтықтау ${ displaystyle f (x) = { sqrt {x}}}$ кезінде ${ displaystyle x = a}$ болып табылады ${ displaystyle y = { sqrt {a}} + { frac {1} {2 { sqrt {a}}}} (x-a)}$ , өйткені функциясы ${ displaystyle f '(x) = { frac {1} {2 { sqrt {x}}}}}$ функцияның көлбеуін анықтайды ${ displaystyle f (x) = { sqrt {x}}}$ кезінде ${ displaystyle x}$ . Ауыстыру ${ displaystyle a = 4}$ , 4-тегі сызықтық теңдеу ${ displaystyle y = 2 + { frac {x-4} {4}}}$ . Бұл жағдайда ${ displaystyle x = 4.001}$ , сондықтан ${ displaystyle { sqrt {4.001}}}$ шамамен ${ displaystyle 2 + { frac {4.001-4} {4}} = 2.00025}$ . Шынайы мәні 2.00024998-ге жақын, сондықтан сызықтық сәйкестендірудің салыстырмалы қателігі пайыздың миллионнан бір бөлігінен аз болады.

Көп айнымалы функцияны сызықтық түрге келтіру

Функцияны сызықтық теңдеу ${ displaystyle f (x, y)}$ бір сәтте ${ displaystyle p (a, b)}$ бұл:

${ displaystyle f (x, y) f (a, b) + сол жақ. { frac { жартылай f (x, y)} { жартылай x}} оң | _ {a, b} ( xa) + солға. { frac { жартылай f (х, у)} { жартылай}}} оңға | _ {a, b} (yb)}$

Көп айнымалы функцияны сызықтық сипаттауға арналған жалпы теңдеу ${ displaystyle f ( mathbf {x})}$ бір сәтте ${ displaystyle mathbf {p}}$ бұл:

${ displaystyle f ({ mathbf {x}}) шамамен f ({ mathbf {p}}) + сол жақта. { nabla f} right | _ { mathbf {p}} cdot ({ mathbf {x}} - { mathbf {p}})}$

қайда ${ displaystyle mathbf {x}}$ - және айнымалылардың векторы ${ displaystyle mathbf {p}}$ қызығушылықтың сызықтық сызығы болып табылады.^[2]

Сызықтық сызуды қолдану

Сызықтық оқуға арналған құралдарды пайдалануға мүмкіндік береді сызықтық жүйелер сызықтық емес функцияның берілген нүктеге жақын жүріс-тұрысын талдау. Функцияны сызықтық сипаттау оның бірінші ретті мүшесі болып табылады Тейлордың кеңеюі қызығушылықтың айналасында. Теңдеуімен анықталған жүйе үшін

{ displaystyle { frac {d mathbf {x}} {dt}} = mathbf {F} ( mathbf {x}, t)}

,

сызықтық жүйені келесі түрде жазуға болады

{ displaystyle { frac {d mathbf {x}} {dt}} approx mathbf {F} ( mathbf {x_ {0}}, t) + D mathbf {F} ( mathbf {x_ {) 0}}, t) cdot ( mathbf {x} - mathbf {x_ {0}})}

қайда ${ displaystyle mathbf {x_ {0}}}$ қызығушылық тудыратын және ${ displaystyle D mathbf {F} ( mathbf {x_ {0}})}$ болып табылады Якобиан туралы ${ displaystyle mathbf {F} ( mathbf {x})}$ бойынша бағаланды ${ displaystyle mathbf {x_ {0}}}$ .

Тұрақтылықты талдау

Жылы тұрақтылық талдау автономды жүйелер, біреуін қолдануға болады меншікті мәндер туралы Якоб матрицасы бойынша бағаланады гиперболалық тепе-теңдік нүктесі сол тепе-теңдіктің табиғатын анықтау. Бұл мазмұны сызықтық теорема. Уақыт бойынша өзгеретін жүйелер үшін сызықтық түрлендіру қосымша негіздеуді қажет етеді.^[3]

Микроэкономика

Жылы микроэкономика, шешім қабылдау ережелері сызықтандыруға мемлекеттік-ғарыштық тәсілмен жуықтауы мүмкін.^[4] Бұл тәсіл бойынша Эйлер теңдеулері туралы утилитаны максимизациялау проблемасы стационарлық тұрақты күйде айналады.^[4] Алынған динамикалық теңдеулер жүйесінің ерекше шешімі табылды.^[4]

Оңтайландыру

Жылы математикалық оңтайландыру, шығын функциялары мен сызықтық емес компоненттерді сызықтық шешудің әдісін қолдану үшін сызықтық сипаттауға болады Қарапайым алгоритм. Оңтайландырылған нәтижеге анағұрлым тиімдірек қол жеткізіледі және а ретінде детерминирленеді жаһандық оңтайлы.

Мультифизика

Жылы мульфизика жүйелер - бір-бірімен өзара әрекеттесетін бірнеше физикалық өрістерді қамтитын жүйелер - физикалық өрістердің әрқайсысына қатысты сызықтық сызу орындалуы мүмкін. Әрбір өріске қатысты жүйені осылай сызықтандыру монолитті итерациялық шешім процедураларын қолдану арқылы шешуге болатын сызықтық монолитті теңдеулер жүйесін туғызады. Ньютон-Рафсон әдіс. Бұған мысалдар келтіруге болады МРТ сканері нәтижесінде электромагниттік, механикалық және акустикалық өрістер жүйесі пайда болады.^[5]

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

^ Scholarpedia-дағы бір динамикалық жүйенің күрделі өлшеміндегі сызықтық проблема
^ Сызықтық. Джонс Хопкинс университеті. Электр және компьютерлік техника кафедрасы Мұрағатталды 2010-06-07 сағ Wayback Machine
^ Леонов, Г.А .; Кузнецов, Н.В. (2007). «Уақыт бойынша өзгеретін сызықтық және перрондық эффекттер». Халықаралық бифуркация және хаос журналы. 17 (4): 1079–1107. Бибкод:2007IJBC ... 17.1079L. дои:10.1142 / S0218127407017732.
^ ^а ^б ^c Моффатт, Майк. (2008) About.com Мемлекеттік-ғарыштық тәсіл Экономикалық сөздік; Терминдер С.-дан басталады. 2008 жылдың 19 маусымы.
^ Бэгуэлл, С .; Леджер, П.Д .; Гил, А. Дж .; Маллетт, М .; Kruip, M. (2017). «Сызықты а.к.- акримметриялық МРТ сканерлеріндегі акусто-магнетомеханикалық байланыстырудың шексіз элементтік құрылымы «. Инженериядағы сандық әдістерге арналған халықаралық журнал. 112 (10): 1323–1352. Бибкод:2017IJNME.112.1323B. дои:10.1002 / nme.5559.

Сыртқы сілтемелер

Сызықтық оқулықтар

Модельді талдау және басқару дизайнына арналған сызықтық байланыс

[1] Scholarpedia-дағы бір динамикалық жүйенің күрделі өлшеміндегі сызықтық проблема

[2] Сызықтық. Джонс Хопкинс университеті. Электр және компьютерлік техника кафедрасы Мұрағатталды 2010-06-07 сағ Wayback Machine

[3] Леонов, Г.А .; Кузнецов, Н.В. (2007). «Уақыт бойынша өзгеретін сызықтық және перрондық эффекттер». Халықаралық бифуркация және хаос журналы. 17 (4): 1079–1107. Бибкод:2007IJBC ... 17.1079L. дои:10.1142 / S0218127407017732.

[statespace-4] а ^б ^c Моффатт, Майк. (2008) About.com Мемлекеттік-ғарыштық тәсіл Экономикалық сөздік; Терминдер С.-дан басталады. 2008 жылдың 19 маусымы.

[5] Бэгуэлл, С .; Леджер, П.Д .; Гил, А. Дж .; Маллетт, М .; Kruip, M. (2017). «Сызықты а.к.- акримметриялық МРТ сканерлеріндегі акусто-магнетомеханикалық байланыстырудың шексіз элементтік құрылымы «. Инженериядағы сандық әдістерге арналған халықаралық журнал. 112 (10): 1323–1352. Бибкод:2017IJNME.112.1323B. дои:10.1002 / nme.5559.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]