Сызықтық тұрақтылық - Linear stability

Математикада, теориясында дифференциалдық теңдеулер және динамикалық жүйелер, нақты стационарлық немесе квазистациялық шешім сызықты емес жүйеге шақырылады сызықтық тұрақсыз егер сызықтық Осы шешімдегі теңдеудің формасы болады ${displaystyle {frac {dr} {dt}} = Ar}$, қайда A сызықтық болып табылады оператор кімдікі спектр меншікті мәндері бар оң нақты бөлігі. Егер барлық меншікті мәндер болса теріс нақты бөлігі, содан кейін шешім деп аталады сызықтық тұрақты. Сызықтық тұрақтылықтың басқа атауларына кіреді экспоненциалды тұрақтылық немесе бірінші жуықтау тұрғысынан тұрақтылық.^[1][2] Егер меншікті мән болса нөл нақты бөлік, содан кейін тұрақтылық туралы мәселені бірінші жуықтау негізінде шешу мүмкін емес және біз «орталық және фокус мәселесі» деп аталатын тәсілге жақындаймыз.^[3]

1-мысал: ODE

Дифференциалдық теңдеу

${displaystyle {frac {dx} {dt}} = x-x ^ {2}}$

екі стационарлық (уақытқа тәуелді емес) шешімдері бар: х = 0 және х = 1. сызықтықтау х = 0 формасы бар${displaystyle {frac {dx} {dt}} = x}$. Сызықтық оператор болып табылады A₀ = 1. Меншікті мән жалғыз болып табылады ${displaystyle lambda = 1}$. Бұл теңдеудің шешімдері жылдамдықпен өседі; стационарлық нүкте х = 0 сызықтық тұрақсыз.

Сызықтықтауды шығару үшін х = 1, біреу жазады${displaystyle {frac {dr} {dt}} = (1 + r) - (1 + r) ^ {2} = - r-r ^ {2}}$, қайда р = х - 1. Сызықтық теңдеу ол кезде ${displaystyle {frac {dr} {dt}} = - r}$; сызықтық оператор болып табылады A₁ = −1, жалғыз меншікті мән ${displaystyle lambda = -1}$, демек, бұл стационарлық нүкте түзу тұрақты.

2-мысал: NLS

The сызықты емес Шредингер теңдеуі

${displaystyle i {frac {ішінара u} {ішінара t}} = - {frac {ішінара ^ {2} u} {ішінара x ^ {2}}} - | u | ^ {2k} u}$, қайда сен(х,т) ∈ ℂ және к > 0,

бар жалғыз толқындық ерітінділер форманың ${displaystyle phi (x) e ^ {- iomega t}}$.^[4]Сызықтық сызықты дара толқынға шығару үшін шешімді формада қарастырады${displaystyle u (x, t) = (phi (x) + r (x, t)) e ^ {- iomega t}}$. Бойынша сызықтық теңдеу ${displaystyle r (x, t)}$арқылы беріледі

${displaystyle {frac {жарым-жартылай} {жартылай t}} {egin {bmatrix} {ext {Re}}, r {ext {Im}}, rend {bmatrix}} = A {egin {bmatrix} {ext {Re} }, r {ext {Im}}, rend {bmatrix}},}$

қайда

${displaystyle A = {egin {bmatrix} 0 & L_ {0} - L_ {1} & 0end {bmatrix}},}$

бірге

${displaystyle L_ {0} = - {frac {жартылай} {жартылай x ^ {2}}} - kphi ^ {2} -omega}$

және

${displaystyle L_ {1} = - {frac {ішінара} {ішінара x ^ {2}}} - (2k + 1) phi ^ {2} -omega}$

The дифференциалдық операторлар.Сәйкес Вахитов - Колоколовтың тұрақтылық критерийі,^[5]қашан к > 2, спектрі A сызықтық теңдеу сызықтық (экспоненциалды) тұрақсыз болатындай оң нүктелік меншікті мәндерге ие; 0 <үшінк ≤ 2, спектрі A сәйкес келетін жалғыз толқындар сызықтық тұрақты болатындай етіп, таза елестетеді.

Сызықтық тұрақтылық тұрақтылықты автоматты түрде білдірмейді, атап айтқанда, қашан к = 2, жалғыз толқындар тұрақсыз. Екінші жағынан, 0 <үшінк <2, жалғыз толқындар тек сызықтық тұрақты ғана емес, сонымен қатар орбиталық тұрақты.^[6]

Сондай-ақ қараңыз

• Асимптотикалық тұрақтылық
• Сызықтық (тұрақтылықты талдау)
• Ляпуновтың тұрақтылығы
• Орбиталық тұрақтылық
• Тұрақтылық теориясы
• Вахитов - Колоколовтың тұрақтылық критерийі

Әдебиеттер тізімі